Lösning av diofantiska ekvationer med hjälp av Fourieranalys: En studie av Hardy-Littlewoods cirkelmetod

Abstract

I detta kandidatarbete i matematik vid Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet studeras två applikationer av Hardy-Littlewoods cirkelmetod. Det redogörs för en förbättring på Warings problem för ett godtyckligt antal olika potenser. Integralen från Hardy- Littlewoods cirkelmetod löses med Hardy-Littlewood uppdelning i major och minor arcs. Vid uppskattningen av minor arcsen används Hölders olikhet tillsamans med ett korollarium visat av Wooley. Major arcsen delas up i singulära serien och singulära integralen som estimeras separat. Slutligen kombineras detta för att få en asymptotisk formel. Hardy-Littlewoods cirkelmetod används även för att visa Vinogradovs sats. För att kunna estimera antalet sätt att representera ett heltal i termer av olika antal primtal delas enhetsintervallet upp i major och minor arcs. En uppskattning görs sedan av integralen över de båda mängderna med bland annat Siegel-Walfisz sats. Genom sammanslagning av dessa tar vi fram den slutgiltiga asymptotiska formlen.