Tillämpning och Visualisering av Kvaternioner

Abstract

Den här rapporten undersöker hur kvaternioner kan visualiseras och användas i diverse tillämpningar. Generaliseringen av komplexa tal upp till fyra dimensioner, senare känt som den hyperkompelxa talmängden kvaternioner presenterades för världen av Sir William Rowan Hamilton, 1854, och har sedan dess applicerats inom flera områden. I denna rapporten utreds hur kvaternioner kan användas och visualiseras inom tre tillämpningsområden men först beskrivs nödvändig teori och bakgrund. I rapporten har en jämförelse mellan kvaternioner och den alternativa metoden, Eulervinklar, studerats för att belysa skillnader i metoderna. Den grundläggande teorin för kvaternioner används därefter för att få en förståelse för teorin och hur kvaternioner fungerar genom två visualiserade fenomen vars förklaring endast är möjlig med kvaternioner, boll- och bält-tricket. Därefter behandlas mer avancerad teori inom tre tillämpningsområden; datorgrafik, stelkroppsdynamik och differentialgeometri. Inom differentialgeometri så behandlar denna rapporten hur man kan beskriva 3D ytor med hjälp av så kallade kvaternionramar och kvaternion-Gaussavbildning, vilket möjliggör ett sätt att beskriva en yta och dess egenskaper. Dessutom undersöks möjligheterna att använda kvaternioner inom stelkroppsdynamik genom en simulerad kollision mellan två konvexa stelkroppar med en friktionskoefficient och varför det kan vara fördelaktigt att använda sig av kvaternioner. Visualiserngarna av kvaternioner i rapporten är genomförda med olika metoder, men alla visualiseringar har genomförts i antigen Blender eller MatLab. Resultatet i rapporten ger en kännedom om diverse tillämpningar och visualiseringar om kvaternioner. Dessutom belyses också begränsningar med den alternativa metoden, Eulervinklar, som kvaternioner inte besitter. De begränsningar som Eulervinklar besitter innebär att kvaternioner är en fördelaktig metod i de tillämpningar vi studerat.