Knutteori

Abstract

Detta arbete syftar till att ge läsaren en pedagogisk introduktion till knutteori och Taits förmodanden. Vi inleder med att ge en rigorös grund till knutar och ekvivalens mellan knutar, och går sedan vidare till att betrakta knutdiagram och deras egenskaper. Att kunna skapa en fullständig förteckning av knutdiagram utan redundans är ett stort problem inom knutteorin, och Taits förmodanden är ett viktigt verktyg för detta. Taits första förmodan innebär att det för vissa typer av knutar finns en slags enklaste form, med ett minsta antal korsningar. Detta betyder att om det går att konstatera att en given knut har dessa egenskaper, då är den på sin enklaste form och kan den inte vara ekvivalent med knutar med färre korsningar. Vi presenterar bevis för dessa förmodanden med hjälp av knutinvarianten Jonespolynomet, som har önskvärda egenskaper för att studera alternerande knutdiagram.