Haarmåttet på en lokalkompakt grupp: Ett bevis från grunden av dess existens och entydighet

Abstract

Syftet med denna rapport är att bevisa att det på varje lokalkompakt grupp finns ett så kallat vänster-Haarmått, och att detta är unikt upp till en multiplikativ konstant. Läsaren antas inte vara förtrogen med varken topologi, måtteori eller integrationsteori, utan en stor del av rapporten består av en grundlig genomgång av den nödvändiga bakgrundsteorin inom dessa områden. Från topologin kommer kompakthet och kontinuitet spela en avgörande roll. Viktiga resultat är Urysohns lemma och Tychonoffs sats, som båda används i beviset av huvudresultatet. Ett antal satser rörande topologiska rum som är Hausdorff och lokalkompakta formuleras även. Inom måtteorin presenteras, förutom grundläggande definitioner och räkneregler, en allmän metod för hur ett mått kan konstrueras med hjälp av ett så kallat yttre mått. Denna metod används sedan för konstruktionen av Haarmåttet. Den viktigaste komponenten i integrationsteorikapitlet är definitionen av den så kallade Lebesgueintegralen. Även monotona konvergenssatsen är ett viktigt resultat, som behövs i beviset av Haarmåttets entydighet. Innan huvudresultatet bevisas presenteras även definitionen av, och ett antal satser hörande till, lokalkompakta grupper.