Det här verket har digitaliserats vid Göteborgs universitetsbibliotek och är fritt att använda. Alla tryckta texter är OCR-tolkade till maskinläsbar text. Det betyder att du kan söka och kopiera texten från dokumentet. Vissa äldre dokument med dåligt tryck kan vara svåra att OCR-tolka korrekt vilket medför att den OCR-tolkade texten kan innehålla fel och därför bör man visuellt jämföra med verkets bilder för att avgöra vad som är riktigt. Th is work has been digitized at Gothenburg University Library and is free to use. All printed texts have been OCR-processed and converted to machine readable text. Th is means that you can search and copy text from the document. Some early printed books are hard to OCR-process correctly and the text may contain errors, so one should always visually compare it with the ima- ges to determine what is correct. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 C M Rapport R25:1991 Geoteknik och statistik Partialkoefficienter Per-Evert Bengtsson Bo Berggren Lars Ohlsson Håkan Stille V-HUSETS BIBLIOTEK, LTH 1 5000 400135534 Byt forskning det R25:1991 GEOTEKNIK OCH STATISTIK Partialkoef ficienter Per-Evert Bengtsson Bo Berggren Lars Ohlsson Håkan Stille Denna rapport hänför sig till forskningsanslag 810430-4 från Statens råd för byggnadsforskning till Statens geotekniska institut, Linköping. REFERAT Ett av de forskningsprojekt som genomfördes i anslutning till införandet av partialkoefficientmetoden i geotekniken bedrevs gemensamt av Statens geotekniska institut och Institutionen för jord- och bergmekanik, KTH, med medel från BFR. Projektet redovisades i sex delrapporter. Inne­ hållet i dessa delrapporter har ställts samman och delvis reviderats i en slutrapport. Projektets syfte var att utreda vilka faktorer som främst styr valet av partialkoefficienter, informera om vad par­ tialkoefficientmetoden innebär samt få underlag till ut­ formning av anvisningar för stabilitetsutredningar gäl­ lande naturliga slänter. Projektet har uppehållit sig vid följande avsnitt: - Beskrivning av säkerhetsbegreppet - Undersökning av naturliga variationer i jordlagrens egenskaper - Exempelstudie av riskanalys - Beskrivning av beslutsteorins användning vid bedöm­ ning av släntstabilitet - Redovisning av praktiska exempel I slutrapporten sammanfattas de viktigaste principerna som ligger till grund för partialkoefficientmetoden och dess praktiska tillämpning inom geotekniken. Speciellt anges och föreslås en förenklad metod att beräkna partial­ koefficienter . I rapporten ges följande rekommendationer i anslutning till partialkoefficientmetoden: - Partialkoefficienter anges för alla ingående, osäkra variabler - Partialkoefficienter beräknas med empiriskt förfarande, t ex föreslagen metod - Variansredukticn bör beaktas - Kontroll ska krävas för grova fel I Byggforskningsrådets rapportserie redovisar forskaren sitt anslagsprojekt. Publiceringen innebär inte att rådet tagit ställning till åsikter, slutsatser och resultat. Denna skrift är tryckt på miljövänligt, oblekt papper. R25:1991 ISBN 91-540-5326-9 Statens råd för byggnadsforskning, Stockholm gotab 93529, Stockholm 1991 INNEHALL FÖRORD BETECKNINGAR 1. ALLMÄNT 1.1 Projektet 1.2 Total säkerhetsfaktorns begränsningar 1.3 Partialkoefficient 1.4 Skillnader mellan olika "konstruktionsmaterial" 1.5 Ett viktigt påpekande 2. STATISTISKA METODER 2.1 Inledning 2.2 Statistiska parametrar 2.3 Ba.yes-statistik 3. RISKBASERAD DIMENSIONERING 3.1 Inledning 3.2 Beräkningsmetoder - tre nivåer 3.21 Nivå III, beräkning av formell brottrisk 3.22 Nivå II, ß-metoden 3.23 Nivå I, Partialkoefficientmetoden 3.3 Andra statistiska metoder 3.31 Inledning 3.32 Sökteori 3.33 Beslutsteori 4. GEOLOGISKA MODELLER 4.1 Inledning 4.2 Geologisk sortering 4.3 Egenskapsbestamning 4.31 Trend 4.32 Variation 4.33 Variansreduktion 4.34 Korrelation 4.4 Undersökningsstrategi 4.41 Varför undersöka 4.42 Beslutsteori 4.43 Bestämning av strategi 4.44 Sökning efter lokala anomalier 4.45 Bestämning av ett skikts egenskaper 4.46 Klassning av jord 5. PARTIALKOEFFICIENTMETODEN I PRAKTISK TILLÄMPNING 5.1 Det qeotekniska problemet 5.11 Inledning 5.12 Partialkoefficientmetodens tillämpning inom geotekniken 5.2 Partialkoefficientmetoden 5.21 Allmänt 5.22 Teoretiskt samband med ß-metoden 5.3 Stokastisk jordmodell 5.31 Inledning 5.32 Begrepp 5.33 Experimentell bestämning av korrelation 5.34 Variansreduktion 5.35 Förslag till statistiskt baserad förenklad praktisk jordmodell 5.36 Praktisk tillämpning av föreslagen jordmodell 5.4 Beräkning av part i alkoeffi ci enter 5.41 Inledande exempel 5.5 Sammanfattning 5.51 Bestämning av part i alkoeffi ci enter 5.52 Statistisk jordmodell och variansreduktion 5.6 Rekommendati oner REFERENSER BILAGA I BILAGA II FÖRORD Under tiden 1983-1988 bedrevs i samarbete mellan Institutionen för Jord- och bergmekanik, KTH, och Statens geotekniska institut ett BFR- finansierat forskningsprojekt benämnt "Partialkoefficienter i geotek­ niken". Projektet redovisades i sex delrapporter med rubriken "Geotek­ nik & Statistik". Föreliggande rapport är en sammanläggning av dessa sex delrapporter. En viss redigering har gjorts. Det är vår förhoppning att rapporten ska komma till användning för att öka förståelse och användning av statistiskt baserade dimensionerings- metoder för grundkonstruktioner. Speciellt vill vi framhålla den i kapitel 5.4 framställda enkla metoden att beräkna partialkoefficien­ ter. Linköping och Stockholm i april 1990 Per-Evert Bengtsson Lars Ohlsson Bo Berggren Håkan Stille BETECKNINGAR X, Y. . . . stokastisk variabel x. y. . . . z observerat värde, specificerat värde standardiserad normalfördelad variabel z F ( x ), G ( x ). . . . f(x), g(x). . . . observerat el specificerat värde av d:o fördelningsfunktion täthetsfunktion, (sannolikhetstäthetsfunktion för kontinuerlig stokastisk variabel) N storlek av population eller parti n E(X), mx> o2 s2 storlek av ett prov väntevärde av den stokastiska variabeln X varians för en stokastisk variabel varians i ett prov o standardavvikelse för en stokastisk variabel s V(X) COV(X,Y) ox Y eX,Y r P° P" L standardavvikelse i ett prov variationskoefficient för X kovarians mellan X och Y korrelationskoefficient för stokastiska variabler korrelationskoefficient för prov à priori sannolikhet à posteriori sannolikhet likelihood f"(x) bayesians posteriorfördelning e e*,e sammanfattande beteckning för statiska parametrar estimator av parametern 11. ALLMÄNT 1.1 Projektet Partialkoefficientmetoden Infördes i geotekniken i Sverige genom Bo­ verkets Nybyggnadsregler 1989, (BFS 1988:18). Ett av de forskningspro­ jekt som genomfördes i anslutning till införandet av partialkoeffici­ entmetoden i geotekniken bedrevs gemensamt av Statens geotekniska in­ stitut, SGI, och institutionen för Jord- och bergmekanik, KTH, med medel från BFR. Resultatet av undersökningarna i projektet redovisades i sammanlagt sex delrapporter. Innehållet i delrapporterna har ställts samman och delvis reviderats i föreliggande rapport. I projektet "Partialkoefficienter i geotekniken" har följande perso­ ner arbetat: Per Evert Bengtsson, SGI Bo Berggren, SGI/SwedGeo Lars Olsson, KTH/Tyréns Håkan Stille, KTH, Skanska Projektets syfte var att 1. utreda vilka faktorer som främst styr valet av partialkoefficien­ ter, speciellt inom området släntstabilitet 2. informera om vad partialkoefficientmetoden innebär 3. få underlag till utformningen av anvisningar för stabi 1itetsut- redningar gällande naturliga slänter. Projektet drevs gemensamt av SGI och JoB. Projektets olika delar var • Beskrivning av dagens säkerhetsbegrepp mot redovisning av för- och nackdelar. • Undersökning av de naturliga variationerna i jordlagren, t ex va­ riationen av lerans skjuvhållfasthet inom olika orter och djup­ zoner. • Exempelstudie av riskanalys med diskussioner av säkerhetsindex och partialkoefficienter. 2• Beskrivning av beslutsteorins användning med optimering av insat­ ser vid bedömning av en lerslänts stabilitet. • Redovisning av några praktiska exempel från vanliga geotekniska ämnesområden för att värdera påverkan av olika faktorer r---— - —-, StabUJX e,ti diagram TumaegleA Ston. '—- lokalkännedom Berra's Borrbyrå The Advanced Soil Engineering Bureau FIG 1.1 Det är inte självklart att det alltid är lätt att veta vem som har rätt (mest rätt). Stor lokalkännedom betyder mycket, men en allsidig analys av en geokonstruktion ger värdefull information. 1.2 Totalsäkerhetsfaktorns begränsningar I geotekniska beräkningar används säkerhetsfaktorn (totalsäkerhets- faktorn), vilken uttrycker den marginal av kraft eller arbete som er­ fordras för att nå ett beräknat brottvärde. Bättre vore att säkerhets­ faktorn uttryckte risken att nå det beräknade brottvärdet, gärna i förhållande till andra risker i samhället, eftersom vissa av dessa risker förefaller bättre förstådda. 3Säkerhetsfaktorn utgör ofta det centrala beslutsunderlaget exempelvis när det gäller stabi 1itetsfrågor i naturliga lerslänter, men säker­ hetsfaktorn beskriver inte på ett tillfredsställande sätt geotekni- kerns syn på problemen. Geoteknikern kan inte enbart med säkerhets­ faktorn beskriva för andra hur han ser på ett problem. Mycket av den information han förvärvar i ett aktuellt projekt kombinerat med den kunskap och erfarenhet han besitter kommer inte till uttryck. Normalt analyseras risktagande inte tillräckligt utförligt och är svårt att värdera med enbart en säkerhetsfaktor som grund. En ekono­ misk analys kan därigenom få felaktigt resultat och ett beslut kan få ödesdigra konsekvenser. Säkerhetsfaktorns begränsning framgår också av följande exempel (se FIG 1.2). En tung maskin är grundlagd med platta på sand. Jordens bärför­ måga är beräknad till Qc. Genom angränsande schaktningsarbeten sjunker bärförmågan så att säkerhetsfaktorn går mot 1. I värsta fall kan maskinfundamentet kraftigt rubbas ur sitt läge. En likadan maskin är grundlagd på spetsbärande pålar i sand. Den totala bärförmågan är Qc. Maskinen byggs på så att belastningen blir Qc. Vad händer? Maskinfundamentet sjunker i storleksord­ ningen 10 mm, vilket har ingen eller ringa betydelse. I de båda fallen har överskridandet av brottvärde olika konse­ kvens (teknisk och ekonomisk). FIG 1.2 Konsekvensen av bärighetsbrott är olika vid olika grund- läggningsmetoder. 4^-3 Partialkoefficentmetoden i normen Part i al koefficientmetoden har införts i geotekniken i Nybyggnadsregler 1989. Bl a på grund av bristerna med totalsäkerhetsfaktorn infördes partial- koefficientmetoden redan tidigare bl a i AK 79/81 (allmänna regler för bärande konstruktioner) i Sverige och i grundläggningsnormerna i Danmark och Norge. I den danska grundläggningsnormen ges partialkoef­ ficienter tabellvis för påverkande laster, jordens hållfasthetsparame- trar samt på beräknad bärförmåga. Men utöver vissa minimikrav ges ingen vikt vid kvalitet och omfattning av bestämningen av t ex håll- fasthetsparametrarna. Naturligtvis kan det vara så att geoteknikerns kunskaper är så gedigna att alla inverkande faktorer beaktas och självklart kan en beräkning baserad på ett fåtal undersökningsdata ge en grundkonstruktion som har tillräckligt stor marginal till brott. Men en mer omfattande och kvalificerad undersökning kan ur samhälle­ lig synpunkt ge en mer ekonomisk lösning. Ett normsystem bör därför vara uppbyggt på ett sådant sätt att olika faktorer beaktas, såsom kvalitet och omfattning av geoteknisk undersökning, kvalitet av dimen­ sionerings- eller analysmetod, kvalitet av arbetsutförande, konsekvens av varierande egenskaper hos jorden samt konsekvens av brott eller oväntat stora deformationer eller ett s k grovt fel begånget under något moment av projekterings- eller byggprocessen. Normsystemet får dock inte göras alltför komplicerat och svårtillgäng­ ligt. Partialkoefficentmetoden erbjuder möjligheter att välja olika nivåer av styrning av geotekniska utredningar. I ett partialkoeffici- entsystem måste ges möjlighet åt utredaren att välja en i systemet de­ finierad utredningskvalitet med hänsyn till omständigheterna. Exempel­ vis är det ju självklart, men inte alltid praktiserat, att man bör ställa olika krav på en geoteknisk undersökning för en mindre byggnad och på en undersökning för en monumentalbyggnad i sluttande lerter- räng. 1-1 * * 4 Skillnader mellan olika "konstruktionsmaterial“ Det finns tydliga skillnader mellan de olika konstruktionsmaterialen stål, betong och jord. Stålmaterialet tillverkas under strängt kon­ trollerade förhållanden, hål 1fasthetsprovning är lätt att utföra och stålprover är lätta att ta. Stålets deformationsegenskaper är väl kända och enkla att förstå. Dimensioneringsreglerna är därför lätta att specificera. Betongtillverkningen sker under något mindre kontrol- 5lerade och påverkbara förhållanden. Bl a påverkar väderleken på gjut- platsen betongens hållfasthetsegenskaper. Betongprover är 1 vissa fall något svårare att ta än stålprover och betongens deformationsegenska- per är mer komplicerade. Dimensioneringsreglerna blir därför svårare att specificera. Jordlagren har "tillverkats" under betydligt mer svåröverskådliga former än både stål och betong. Jordens deformationsegenskaper är svåra att utreda och förstå och prover är svåra att ta. Om man studerar de olika materialens typiska hållfasthetsparametrar finner man att en viss stålsort kanske har en medeldraghållfasthet (sträckgräns) av 300 MPa med en variationskoefficient* av 0,01. Antalet provningar är mycket stort. Betong har en normal kubhållfast­ het av 25 MPa och en variationskoefficient av ungefär 0,05. Antalet prover är stort. I lös lera är ofta den uppmätta skjuvhålIfastheten 20-50 kPa med en variationskoefficient av 0,1-0,3. Antalet prover är inte stort. Den säkerhetsfaktor som brukar användas vid byggande med de olika materialet är av storleken 1,5-3. En kollaps av ett element i en stålkonstruktion kan betyda mer för konstruktionens säkerhet än en "kollaps" i ett element i en jordvolym. Jämför exempelvis en alltför stor spänningskoncentration i en knutpunkt i ett stålfackverk med fenomenet "piping" vid schaktning för en grundplatta. Stålkonstruktionen kanske kollapsar medan grundplattan endast får en mycket obetydlig extra sättning. Â andra sidan kan piping inträffa i en jorddamm. Konsekvensen av detta har i historien givit stora katastrofer, t ex vid Teton-dammen i USA. * Variationskoefficient = standardavvikelse medelvärde 1.5 Ett viktigt påpekande När man diskuterar användning av statistik inom geotekniken dyker det ibland upp en missuppfattning: "Statistiken ska lösa de qeotekniska problemen". Men statistiska metoder är inget trollspö, som skingrar allt dunkel. Vad man kan göra är bara att kvantifiera alla osäkerheter, beskriva och diskutera dem och få hjälp vid beslutsfattande. Den geotekniska delen (och de geotekniska misstagen) får man stå för själv. Statis­ tiska metoder är ett utmärkt hjälpmedel för geotekniker, inte en er­ sättare för dem. 6Gemene man har ofta betraktat statistik med skepsis och måhända rätt så. Statistik har missbrukats, ibland med avsikt. Det finns dock goda skäl att införa statistiska metoder inom geotekni­ ken. Geoteknisk statistik kan vara så mycket mer än antal pålmetrar! Det främsta skälet ligger i den geotekniska "vetenskapen" själv. Vi vet ju att den ofta är oprecis, till stor del baserad på empiri och till omfattningen bristfälliga dataunderlag (dvs endast ett fåtal pro­ ver). De uttalanden man kan göra är osäkra och förenade med risker, något som återspeglar sig i det normala geoutlåtandets försiktiga for­ muleringar. Situationen skulle förbättras, om inan på ett bra sätt kunde beskriva hur osäker informationen är, hur stor risken är. Detta skulle vara till stor hjälp för beslutsfattare vid val rnellan olika alternativ och när det gäller att bedöma om ytterligare geoteknik behövs i projektet. Man får ju då en möjlighet att väga kostnaden och risken. Man kan även använda en största tillåten risk som säkerhetskriterium i en byggnorm, vi 1 ket är möjligt enligt Nybyggnadsreglerna. 72. STATISTISKA METODER 2.I Inledning Filosofin bakom användandet av statistiska metoder i geotekniken är att beskriva vår kunskap i sannolikhetstermer och utnyttja sannolik“ hetsläran för den matematiska behandlingen. Att se sannolikheten som ett mått på kunskap eller på tilltro till något strider mot den defi­ nition de flesta av oss lärt. Dessa sannolikheter kallas subjektiva och skiljer sig från de klassis­ ka i sin definition och i vissa grundläggande synsätt. Den matematiska behandlingen är dock i stort densamma eftersom de härletts från vissa axiom om sannolikheten. Axiomen uppfylls av bägge typerna av sannolik­ heter. Det bör betonas, att subjektiva sannolikheter inte är något nytt, diskussionen om vilken sannolikhetsuppfattning som är den "rätta" har pågått i mer än tvåhundra år! För tillämpningen inom geotekniken känns den subjektiva sannolik­ hetstol kningen riktig. Man har ofta en erfarenhetsbas att bygga på. 2.1 Statistiska parametrar Grundläggande inom den subjektiva sannolikhetsläran är att man kan översätta erfarenheten till en sannolikhet genom en valsituation där ens uppfattning vägs mot kända sannolikheter. När man uttryckt sin er­ farenhet (och givetvis även ev provdata) i sannolikhetstermer kan man förenkla beskrivningen till några få mått, de statistiska parametrar­ na. Man kan fullständigt redovisa sannolikheten genom en fördelnings­ funktion, se Figur 2.1. FIG 2.1 Fördelningsfunktion. I fördelningsfunktionen anger F(x ) sannolikheten att variabeln X ska anta ett värde som är mindre än eller lika med x . 1 Ett alternativ är att använda en sannolikhetstäthetsfunktion, se Figur 2.2. Täthetsfunktionen är första-derivaten av fördelningsfunktionen. Därför anger f (x ) sannolikhetstätheten för X = x , inte sannolikheten att variabeln X ska anta värdet x . 1 FIG 2.2 Täthetsfunktion. När man vill beskriva en täthetsfördelning (och därmed också motsva­ rande fördelningsfunktion) kan man göra det genom att ange vissa ka­ rakteristiska mått. De två viktigaste beskriver kurvans läge på x-axeln och hur utspridd den är. För att beskriva läget anger man oftast medelvärdet p , som kan ses som funktionens tyngdpunkt, se Figur 2.3. FIG 2.3 Medelvärdet. Som spridningsmått anger man variansen. Den anger det viktade medelvärdet av kvadraten på avvikelsen från medelvärdet. En "flack"! täthetsfunktion betyder stor varians, dvs stor osäkerhet och vice versa, se Figur 2,4. Variansen tecknas o2 =_J (x-px)2 fx(x)dx där (x-px) = avvikelsen fx(x)dx = viktfaktor Fig 2.4 Varians. Ett annat spridningesmått är standardavvikelsen c>x som är variansens positiva kvadratrot. Fördelen med c>x är att den har samma dimension, t ex kPa, som variabeln själv. Ett mycket användbart spridningsmått är variationskoefficienten V(x) ox/px. Variationskoefficienten ger snabbare en uppfattning om spridningen än vad standardavvikelsen gör, se Figur 2.5. 10 /* FIG 2.5 Vari at Ionskoefficient och standardavvikelse. Medelvärdet motsvarar funktionens tungdpunkt. På samma sätt motsvarar variansen tröghetsmomentet runt tyngdpunkten. Man brukar därför kalla dessa storheter för första respektive andra (central)-momentet. Ofta känner man bara dessa två moment och inte funktionen i dess helhet. Man kan ändock göra vissa uttalanden om sannolikheten att va­ riabeln ska anta ett visst värde: Om man kan anta att fördelningen är något så när 1 i k normalfördelning­ en har sannolikheterna de värden som visas i figur 2.6 för att varia­ beln ska anta ett värde i ett visst intervall. 11 FIG 2.6 Sannolikhetsinterval1. Det behövs naturligtvis en enhetlighet i beteckningarna man använder. Ett förslag finns i det följande kapitlet. Ibland kolliderar (t ex o, q) de geotekniska och de statistiska beteckningarna, men oftast framgår det av texten i övrigt vad som avses. 2.3 Bayesstatistik Vid besstämning av de geotekniska parametrarna har man normalt både någon förhandskunskap (erfarenhet) och några provresultat. Den subjektiva sannolikhetsuppfattningen gör att man kan uttrycka för- handskunskapen och provresultaten i statistiska termer. För att kunna tillgodogöra oss bägge dessa informationskällor behövs en metod att väga samman dem så att resultatet uttrycks i sannolik- hetstermer. En sådan metod finns i bayesstatistiken, som fått sitt namn efter Thomas Bayes, en engelsk 1700-talspräst. Principen framgår av Figur 2.7. 12 Förhandskun skap om statistisk parameter Vad provdata säger om den statistiska parametern Sammanvägd för­ delning av den statistiska parametern FIG 2.7 Användning av Bayes' teorem vid uppdatering. Som framgår av figur 2.7 använder man Bayes' teorem på statistiska pa­ rametrar, t ex skjuvhål1fasthetens medelvärde p^, och inte variabeln (i exemplet: skjuvhålIfastheten t) själv. Bayes' teorem lyder f"(0Iz) = k f0(©) P(z|0) l/k = J f°(0) P(zI0) do där 0 betecknas en statistisk parameter (se 2.2 ovan) och där f°(0) = täthetsfördelningen för 0 före man fått ett provresultat, à priori-fördelningen f"(0) = täthetsfördelningen för 0 efter det man fått provresultatet z, posterior-fördelningen P(zI0)= sannolikheten att få provresultatet z, givet att parametern antar värdet 0 Denna sannolikhet, P(z|0), är en funktion av parametern 0 och kallas ofta likelihood L(0). Bayes' teorem kan alltså skrivas i förkortad (2.1) (2.2) 13 form f"(0) = k'f°(0) L(0) (2.3 Bayes' teorem kan alltså användas för att väga samman, uppdatera, en å-priori-sannolikhet med ett provresultat på ett korrekt sätt. Om man accepterar att man kan beskriva sin erfarenhet om t ex jordens skjuvhållfasthet inom ett visst område i sannolikhetstermer så kan man korrekt väga ihop erfarenhet med provdata. Men man måste observera, att ett användande av bayesstatistik också kräver att man anger en à priori-fördelning, även om man har mycket liten förhandskunskap. Man tvingas då använda en svag à priori-fördelning, se Figur 2.8. FIG 2.8 En svag à priori-fördelning. Ibland kan man använda rektangelfördelningen, se Figur 2.9, vilken motsvarar utsagan "Jag är helt säker på att medelvärdet g. ligger mellan 0 och 50 kPa men alla värden däremellan är lika troliga. //r) /y J ctfi or A*// so A rr ^>c er // m ee/f/vart/*/ //ßß t/ip) — • — t (&[*,, *7.) /prov A) *’ ^ (G) (p & i /*/ aOr a'’»/vrr—a ^ on) Liten förhands- kunskap +■ Många prov Proven styr Balans mellan för- handskunskap och provantal Stor förhands- kunskap + Få prov_______ Båda inverkar Förhandskunskapen styr FIG 2.10 Olika styrka hos förhandskunskap och provtantal. När man använder bayesstatistik kan man således utnyttja förhandskun­ skap, vilket man inte kan göra i klassisk statistik. Detta gör, att man med bayesstatistik får en bättre uppskattning med färre prov; förhandskunskapen "ökar antalet prov". När man i klassisk statistik anger t ex ett medelvärde, talar man ofta om ett "konfidensintervall" för det angiva värdet. Detta är ett sätt att ange hur "säkert" det angivna värdet är, och beror bl a av provan­ talet. Det är ett svårt begrepp och användningen leder lätt till pro­ blem. Inom bayesstatistiken finns det något som kallas "bayesiansk fördel­ ning". Den är en sorts "viktad" fördelning där man viktat alla de för­ delningar som uppstår när man ändrar de statistiska parametrarna. Om standardavvikelsen i en normalfördelning antas känd, men inte medelvärdet finns det ett oändligt antal möjliga kurvor (som har olika lägen). Man ger varje kurva en vikt, som svarar mot sannolikheten att just den kurvan är den rätta. (Dvs att det motsvarande medelvärdet är det rätta: f (0) de. Sedan "väger man samman" kurvorna och får den bayesianska fördelningen, se Figur 2.11. fx(x) = J fx(x|0) f0(0) de (2.4) 15 FIG 2.11. Den bayesianska fördelningen av x. Fördelen med att använda den bayesianska fördelningen är att den inne­ håller den s k statistiska osäkerheten, den osäkerhet som härrör från att man bara har ett fåtal prov. Att denna osäkerhet bakats in är orsaken till att kurvan är flackare än ursprungskurvorna. En ökad information används till att uppdatera f(0) till f"(0) och ger på så sätt en snävare fördelning f(0). Ofta är man, som visas i nästa kapitel om riskbaserad dimensionering, intresserad av fördelningens medelvärde och varians. Dessa "bayesians­ ka" moment definieras som vanligt: Px = Jx fx(x) dx (2.5) °x = Jx(X-Px)2 fx0 är det säkra området. Sedan normaliserar man alla variabler så att de får medelvärdet = 0 och standardavvikelsen = 1 och tecknar brottgränsen g(•) =0 i detta koordinatsystem. Säkerhetsindex ß motsvarar det kortaste avståndet från brottgränsen till origo i detta koordinatsystem. (Or i go är medelvärdet för variab­ lerna. ) För det enkla fallet med bara två variabler kan man åskådliggöra definitionen genom figur 3.2 som visar täthetsfuriktionen uppifrån. I figuren är och z2 de normaliserade variablerna där exempelvis 1 20 FIG 3.2 Definition av riskmåttet ß (Nivå II). Eftersom brottrisken är volymen under den del av kurvan som finns utanför brottgränsen inser man att ju större ß är, desto mindre än brottrisken. Om alla ingående variabler uppfyller villkoren att dels vara oberoende, dels vara normal fördel ade samt om brottgränsen är linjär finns det tom ett direkt samband: Pf = ®(-ß) (3.1) Detta förhållande kan utnyttjas när man vill ange vilket ß-värde som krävs för olika säkerhetsklasser i en riskbaserad norm. I Tabell 3.1 visas värden i Nybyggnadsregler. 21 TABELL 3.1 Säkerhetsklasser 1 Nybyggnadsregler Säkerhetsklass i Mindre allvarlig 2 Allvarlig 3 Mycket allvarlig Risk för allvarliga personskador Obetydlig Någon Betydlig Brottsannolikhet Pf 10'4 10'5 10"6 Säkerhetsindex e 3,7 4,3 4,8 Eftersom detta samband mellan ß och brottrisken är viktigt, om olika konstruktioner ska kunna jämföras, har det utvecklats metoder där man kan omvandla beroende eller icke normalfördelade variabler till obero­ ende, normalfördelade. Man har därmed fått en metod, som visserliga kräver mer information än bara de två första momenten, men som närmar sig nivå III-metoden i kvalitet, ß-metoden har dessutom den fördelen att den kan användas för dimensionering och inte bara för säker­ hetskontroll . Själva beräkningen av ß måste i de flesta fall göras iterativt. I praktiken behövs därför dator för beräkningen. 3.23 Nivå I, Partialkoefficientmetoden Aven om statistiska metoder har många fördelar vill man ibland ha en enklare metod för dimensioenring, en metod där man arbetar med deter­ ministiska värden. Man vill samtidigt så långt som möjligt bibehålla säkerhetsfilosofin. Det innebär att man med den förenklade metoden ska få konstruktioner med ett säkerhetsindex minst lika med det föreskriv­ na . Detta är möjligt, om man väljer (deterministiska) värden på de ingåen­ de variablerna så, att man hamnar i den s k designpunkten (se figur 3.2). Då får man en konstruktion som har säkerhetsindex ß. 22 Om man alltså har beräknat fram koordinaterna z, *, z * .... z * j. ^ n för designpunkten kan man räkna fram motsvarande koordinater i det ursprungliga systemet: *1* V OSV (3.2) Men z^* är en funktion av ß. Följande gäller: ■*z . = ßcx. i i (3.3) där ot. är cosinus för riktningen till designpunkten. Faktorn a. kallas också sensitlvltetsfaktor och är en funktion av brottgränsuttrycket g(xx, x2...). Den är negativ för motståndsvariab- ler och positiv för lastvariabler. Man får alltså Xi* = ui . ß a. o .XI 1 XI (3.4) I partialkoefficientmetoden har xk" och "partialkofficienter man infört “karakteristiska . I princip gäller värden X* = i v motståndsvariabler (3.5) X* X1! lastvariabler (3.6) Det måste observeras, att karakteristiska värden och partialkoeffici­ enter är sammanhängande och att valet av partialkoefficienter blir be­ roende av valet av karakteristiskt värde. Det karakteristiska värdet kan vara t ex meelvärdet eller något annat värde, t ex 5%-fraktilen. Detaljer kring partialkoefficientmetoderi och dess uppbyggnad beskrivs i kapitel 5. Vid användningen av partialkoefficientmetoden ska följande säkerhetskrav gälla om konstruktionen är säker * -----x *) > O2 ng(Xj.*, X; (3.7) 23 x, där man satt in värdena xi*. x^* -- xn*. dvs .. respektive vxk i det ursprungliga brottgränsuttrycket g(, x^ -- xn). För att få fram en praktisk partialkoefficientmetod måste förenklingar göras. I ovanstående "exakta" uttryck för partialkoefficienterna måste man känna a.. Dessa sensitivitetsfaktorer är beroende av uttryc­ ket för brottgränsen och man skulle alltså tvingas att först beräka designpunkten med ß-metoden för att kunna beräkna samma konstruktion med partial koefficientmetoden. Förenklingarna av partialkoefficientmetoden måste göras på säkra sidan. Man kommer alltså att med partialkoefficientmetoden få över­ starka konstruktioner, se Figur 3.3. FIG 3.3 Verkligt ß hos konstruktioner dimensionerade med förenklad partialkoefficientmetod. Visserligen kan man optimera partialkoefficienterna för snäva klasser av konstruktioner, men man kan anta, att partialkoefficientmetodens användning i stort kommer att vara begränsad till enkla konstruktio­ ner. Större, mer kostnadskrävande projekt kommer att dimensioneras med ß-metoden. 24 3.3 Andra statistiska metoder 3.31 Inledning Riskbaserad dimensionering är det område där geoteknikern oftast kommer att komma i kontakt med statistiska metoder. Men när man väl anammat filosofin kan man utnyttja den till mycket annat. Några exempel är sökteori beslutsteori fåtalsprovning av konstruktioner 3.32 Sökteori Ofta har det väl hänt att man sonderat inom ett område och haft något enstaka "stenskrap". Sedan ska det schaktas och jorden visar sig vara blockig med extrakostnader och ev tvist som följd. Tillämpning av sökteori skulle kunna ha givit ett annat resultat t ex "Sannolikheten är 75% att jorden är blockig". Sökteori handlar om val av lämpligaste undersökningsinsats för att finna ett föremål och tolkning av sökresultat. Sökteorin utvecklades primärt för militära ändamål (ubåtsjakt) men har även använts inom bl a geoområdet (oljeprospektering). 3.33 Beslutsteori Ofta måste man fatta beslut när flera av de beslutsgrundande faktorer­ na är osäkra och det alltså finns viss risk förknippad med beslutet. Beslutsteori är en möjlighet att ta fram "bästa" beslut enligt på förhand bestämda kriterier på "bäst", vanligtvis minsta kostnad (eller största vinst). Det krävs att man kan ange osäkerheterna i sannolik- hetstermer, samt att man kan beskriva de olika alternativen man kan välja mellan. Dessutom måste man kunna beskriva konsekvenserna av olika val, beroende på hur verkligheten visar sig vara. Beslutsteori är ett kraftfullt verktyg, bl a genom att man kan analysera värdet av provtagningar redan innan det gjorts. Ytterligare en fördel med be­ slutsteori är att den tvingar fram en logisk och väl redovisad lista över tänkbara alternativ, ofta i "träd"-form, se Figur 3.4. 25 FIG 3.4 Enkelt beslutsträd. 3.34 Fåtalsprovning av konstruktioner Att göra en fullskaleprovning av exempelvis pålar är dyrbart, och man vill naturligtvis få ut så mycket som möjligt av resultatet. Bayessta- tistikens principer, med möjlighet att uppdatera förhandskunskap (er­ farenhet) med provdata, är givetvis tillämplig även på detta problem. I Figur 3.5 visas hur resultatet av en provebelastad påle kan användas för att modifiera (den konventionella) säkerhetsfaktorn utan att brottrisken ändras. Figurerna visar hur man, tack vare förhandskun- skapen att variationen inom byggplatsen är liten, får en relativt stor ändring av säkerhetsfaktorn. Om vi t ex kräver (3 = 2,5 kan man ur figuren utläsa: a) Om man inte har någon provbelastning krävs en säkerhetsfaktor av 3,4 26 b) Om vi gör en provbelasting och uppmäter en brottlast som är 1,25 gånger den beräknade kan säkerhetsfaktorn minskas till 2,7. (Om mätt last är avsevärt större än beräknad, tyder detta på osäker­ heter i beräkningsmetoden. Då tillåts ingen ytterligare minskning av säkerhetsfaktorn.) «aSSJ- \ .—i- -4~ — --------- v-4....4---------- -«s- -V—\ —V— - © ! ^St = 2.5 v I 2 L5 j___________ OBSERVED/PREDICTED PILE CAPACITY FIG 3.5 Fåtalsprovning av pålar. (Från Baecher & Rackwitz (1982). Brottrisken är, med subjektiv sannolikhetsuppfattning, en funktion ingående av kunskap och kan därför ändras. 27 4. GEOLOGISKA MODELLER 4.1 Inledning Vid bedömning av risken för brott och säkerheten för ett geoproblem är en av de viktigaste uppgifterna att skaffa information om spridning och variation hos jordegenskaperna. Viktiga begrepp i samband med detta är trend, variation, rymdberoende och fluktuation. De geotekniska undersökningarna bör utformas så att man får dessa informationer. Hur långt den successivt förtätade geout- redningen ska drivas bestäms av tekniskt-ekonomiska överväganden (be­ slutsteori ). En beskrivning av en geoteknisk undersökning, sett ur statistisk syn­ punkt, innebär först en geologisk sortering av de geometriska gränser­ na hos de olika geologiska formationerna. Därefter sker en analys av trender, variationer, rymdberoende och fluktuationer inom varje geolo­ gisk delformation för att uppskatta variationer hos de sökta egenska­ perna. Om denna analys inte är tillräckligt noggrann riskerar man att få oacceptabla risknivår för konstruktioner som idag är accepterade som säkra. 4.2 Geologisk sortering En geoteknisk undersökning har syftet att dels ge uppgift om lager­ följder och dels ge uppgift om egenskaper. Genomförandet av geologisk sortering baseras på ingenjörsgeologisk erfarenhet. Det är önskvärt att strategin över hur sorteringen ska utföras är utformad enligt föl­ jande. Steg 1 Bedömning av förväntad geologisk formation. Steg 2 Några få sonderingar. Ger information om lagerföljd och grov 1agerutbredning. Steg 3 Tätare sondering med lokalisering baserad på information från Steg 1 och Steg 2. I det första steget görs en allmän geologisk bedömning av vilken typ av formation som kan förväntas. Detta görs genom studium av geologiska kartor, flygfoton och besiktning på platsen. Tidigare erfarenhet från området (arkivborrning) gås också igenom. 28 Det andra steget ska ge information om jordmaterialets egenskaper samt förväntad spridning hos lagergränserna. Tillsammans med tidigare er- farnehet inom motsvarande geologiska formationer fås underlag till uppläggning av Steg 3. För bästa användning av statistiska metoder bör en indelning göras av jorden i lager i plan och höjd. En vanlig indelning av en jordprofil är t ex torrskorpa, lera och friktionsjord med en eventuell ytterliga­ re indelning. Ett lerlager kan t ex bestå av två eller flera skikt med olika geologisk bakgrund, t ex glacial och postglacial lera. Vid bedömning av lagergränsernas lägen finns vanligtvis endast ett antal punktbestämningar som underlag. Med hjälp av statistiska metoder kan troliga lägen hos lagergränserna mellan punkterna bedömas och där­ efter en bedömning av trolig lagerföljd göras. En statistisk bestämning av lagergränser med troliga gränser och troligt variationsområde hos gränserna kan ha stor ekonomisk betydelse vid arbeten i lager av helt olika egenskaper (t ex schakt i lera resp berg). På grund av den naturliga horisontala skiktningen hos jord kan i de flesta fall val av omfattning av sondering delas in i två separata problem. I vertikalled krävs en indelning av skiktgränserna helst med kontinuerlig registrering av jordlagerföljden. I horisontalled kan indelningen av undersökningspunkterna göras glesare än i vertikalled. Hur mycket glesare beror av jordlagrens vertikala utbredning. Ju mäk­ tigare jordlagerskikt desto glesare mellan undersökningspunkterna. Undantag finns naturligtvis, t ex om man vill hitta i utsträckning be­ gränsade strukturer som med hänsyn till det geologiska bildningssättet kan förväntas påträffas i ett jordlager. Vid plattgrundläggning finns t ex intresse av att lokalisera eventuella linser eller strukturer som kan förorsaka skillnader i stödsättningar. 4.3 Eqenskapsbestämning Den matematiska beskrivningen av osäkerhetsmomentet vid egenskaps- beskrivning kan indelas i olika analysmoment. • trend • variation • variansreduktion I geotekniken används ofta indirekta bestämningar dvs uppmätning av en egenskap som sedan genom empiri överförs till den sökta egenskapen. Detta samspel mellan egenskaper kallas • korrelation 29 4.31 Trend Efter den geologiska sorteringen vill man för varje jordlager även be­ skriva hur jordparametrarna varierar. Exempelvis föräntas den odräne- rade skjuvhållfastheten hos en högplastisk normalkonsoliderad lera öka med djupet under markytan. BH 1 ALT nr 1 ALT nr 2 FIG 4.1 Horisontal trend? Normalt antas en utpräglad trend i vertikal riktning. Men det kan även finnas en trend i horisontalplanet, jordens "biIdningsplan" el dyl. Exempelvis kan det i en slänt finnas en horisontal trend om nuvarande markyta utgör referensplan. Om i stället datumhöjd (eller förmodad ti­ digare markyta) används som referensplan finns ej någon märkbar hori­ sontal trend, jämför Figur 4.1. Utsortering av trender är viktigt för att man ska få ett riktigt mått på spridnigen. Om i Figur 4,2 hänsyn tas till trenden fås ett visst medelvärde och en viss standardavvikelse. Med hänsyn till trenden fås ett annat medel­ värde och en mycket mindre standardavvikelse. 30 7ju, kPa 0 10 20 30 40 50 0 Alt 1. (1-25 kPa 5 a - 7,5 kPa V - 0,30Alt 1 Alt 2. (i - 4-1,5z kPa o - 0,4* 0,15 z kPa V - 0,10 z (i- medelvärde o- standardavvikelse V- -jj- - variationskoefficient FIG 4.2 Exempel på trend. Vid analys med statistiska metoder kommer brottrisken för alt 1 att vara mycket större än brottrisken för alt 2. Härvid måste dock obser­ veras att trenden i sig är osäker och att detta osäkerhetsmått ska ingå i beräkningen. I alt 1 kanske konstruktionen ej kan tillåtas med hänsyn till normera­ de krav på tillåtna brottrisker medan konstruktionen i alt "kan till­ låtas med god marginal". För ett rikhaltigt material med försumbar horisontal trend kan den sökta jordparametern bedömas "nivå för nivå". Med nivå menas ett visst djupintervall som är klart begränsat, med de möjligheter till under­ sökning som finns förslagsvis 0,5 à 1,0 m, se figur 4.3. egenskap Q.p FIG 4.3 Trend enligt "nivå-ti11-nivå"-metoden. 31 4.32 Variation Det kännetecknande för en statistisk metod är att variationen och osä­ kerheten i materialet beskrivs. Då det i geotekniska sammanhang normalt finns ett rymdberoende brukar stokastiska processer användas för att beskriva jordegenskaperna. Teorierna för stokastiska processer har visat sig vara användbara, eftersom matematik och räkneregler finns utvecklade för dessa. Resultatet från bestämning av en jordparameter kan redovisas i ett histogram. Ett histogram beskrivs med diskreta punkter medan fördelningsfunktionen normalt beskrivs som en kontinuerlig funktion. Fördelningsfunktionens utseende beskrivs med hjälp av de statistiska centralmoementen av olika ordning, se Figur 4.4 egenskap x X: - mätvärde n- antal prov r - centralmomentets ordningsnummer FIG 4.4 Beskrivning av egenskap. Fördelningsfunktionens medelvärde motsvaras av fördelningens tynd- punkt. Det andra momentet är variansen (kvadraten på standardav­ vikelsen). De högre momenten kan användas för att beskriva fördel­ ningsfunktionens egenskaper t ex vilken typ av fördelning den motsva­ rar. Den uppmätta variationen hos en jordegenskap kan tänkas ha fyra huvudorsaker 1. jordegenskapens naturliga variation 2. mätmetodens spridning 3. fåtalsprovning 4. variation vid utförandet av provning 32 Det är viktigt att skaffa sig kunskap om en provningsmetods reprodu- cerbarhet samt att veta jords naturliga variationer. På grund av fåtalsprovningen måste en bedömning göras av hur väl de få proven beskriver jordparametern dvs bedömning av osäkerhet i medel­ värde och standardavvikelse. Vid användning av statistiska metoder inom geotekniken bör fåtalsprov­ ningen kompletteras med tidigare erfarenhet. Hur denna uppdatering kan ske redovisades i kapitel 2.3. Vid beskrivning av en jordparameter brukar vid förenklad statistisk analys endast medelvärde och standardavvikelse användas. Vid beskrivningen av variationen hos en jordparameter brukar man oftast redovisa variationskoefficienten som är kvoten av standardav­ vikelsen och medelvärdet. Variationskoefficienten ger bättre in­ formation om jordparameterns variation än enbart standardavvikelsen. I tabellen nedan redovisas exempel på variationskoefficienter för några vanliga jordparametrar. (Se Lumb,, 1974). Tabell 4.1. Variationskoefficienter för några jordparamaetrar (Lumb, 1974). Egenskap Densitet Odränerad skjuvhål1 fasthet Inre friktionsvinkel Permeabi1 itet Konsol ideringskoefficient Kompressibi1 itet Variationskoefficient 0,05-0,10 0,10-0,50 0,05-0,15 2,00-3,00 0,25-0,50 0,25-0,30 För att ge stöd för uppdatering med hjälp av tidigare erfarenhet bör lokala erfarenheter ihopsamlas. Detta kommer att vara till ovärderlig hjälp vid framtida användning av statistiska metoder och över huvudta­ get vid förståelse av geoproblem. 33 4.33 Variansreduktion Vid statistisk beskrivning av en jordparameter blir det egenskapen i en punkt (area, volym) som beskrivs. Ofta är det frågan om en samman­ vägd egenskap t ex vikten av en lamell eller sammanvägt skjuvmotstånd utefter en glidyta. Detta innebär att den sökta egenskapen är summan av oika delars egenskaper. Summationen av delegenskaper kommer i en större volym (area) att innebära att en del av variationerna kommer att utjämnas så att variationen hos summan är mindre än variationen hos delarna. Ett högt värde hos egenskapen i en punkt inom volymen innebär inte att höga värden föreligger i hela volymen utan troligtvis även låga värden. Därför bör kunskap skaffas om egenskapens punkt- ti11-punkt-beroende. Genom covariansen fås en uppgift om detta beroen­ de. Covariansen är matematiskt närbesläktad med standardavvikelsen, se Figur 4.5. egenskap x där Xj = f(z) xj+s = f(z+s-Az) Az = avstånd mellan mätpunkter (ekvidistans) n = antal prov s - heltal ux. - medelvärdet av egenskapen kring 1 "punkten i" FIG 4.5 Beskrivning av covariansen. Genom att utnyttja covariansen eller motsvarande egenskap t ex det s k fluktuationsavståndet kan den egenskap som innebär att variationen minskar (reduceras) då volymen ökar beskrivas. Olsson m fl (1984) re­ dovisar ett sätt att göra denna variansreduktion. Om den volym (area) man är intresserad av har mindre storlek än som motsvarar fluktuationsavståndet kommer man att få en liten varians- 34 reduktion. Om volymen är betydligt större än vad som motsvarar fluk- tuationsavståndet kommer variansreduktionen att bli betydande. För att kunna använda statistiska metoder pä ett mer realistiskt sätt är det viktigt att ta fram typvärden pä fluktuationsavstånd för olika typer av jordar. På grund av det geologiska bi ldningssättet kan fluk- tuationsavståndet för en sedimentär jord förväntas vara litet (0,2-2,0 m) i vertikal led och stort (10-100 m) i horisontal led. För en morän kan fluktuationsavstånden förväntas vara små både i vertikal och hori­ sontal riktning. Viktigt är också att vid försök av jämförande karak­ tär bör proven tas inom ett inbördes avstånd som är mindre än fluktua- tionsavståndet. Variansdreduktionen kan beskrivas som = 1“volym c °punkt där 0,K1/c < 1,0 Användning av variansreduktion kräver speciell utredning. Forskning pågår med syfte att ta fram regler för praktiskt bruk. 4.34 Korrelation (se även kap 5.32) I geotekniska undersökningar mäts ofta en egenskap hos jorden men en annan egenskap är den sökta. Orsaken till detta är att den undersökta egenskapen är lättare att komma åt än den sökta egenskapen. Med tiden skapas en erfarenhetsbas över hur samspelet (korrelationen) är mellan egenskaperna. Denna korrelation störs av de naturliga varia­ tionerna hos de olika egenskaperna, vilket innebär att korrelationen i verkligheten kan vara både bättre och sämre än mätresultaten uppvisar. Ett exempel på en vanlig geoteknisk korrelation är mellan • sonderingsmotstånd och hållfasthet och deformations- egenskaper Korrelationerna innehåller vanligtvis någon form av jordklassificering med en eller flera andra jordegenskaper som ingångsparametrar. 35 4.4 Undersökninqsstrategi Användning av statistiskt baserade metoder för släntberäkningar, spe­ ciellt partialkoefficientmetoden, kräver värden på jordparametrarna som är statistiskt definierade. De värden som behövs är dels ett me­ delvärde för variablen i fråga, dels ett mått som talar om hur stor dess spridning är. I vissa fall kan man tillgodoräkna sig en reduktion av variansen, se kap 4.33, men måste då även skaffa ett mått på hur den geotekniska storheten varierar i rymden. För att optimalt kunna fastställa dessa nödvändiga storheter krävs en strategi för undersök­ ningar i fält. Statistik löser inga geotekniska problem. Geotekniska förbiseenden kommer att förbli oupptäckta och kan få samma konsekvenser utan sta­ tistikens hjälp. Med statistikens hjälp kan man kvantifiera den osä­ kerhet som ligger i de mätta värdena. Men eftersom statistiken kan kvantifiera osäkerheten kan den också tjäna som bas när man utformar en undersökning som inom givna ramar ger så liten osäkerhet som möj­ ligt. 4.41 Varför undersöka? Hur en undersökning ska läggas upp beror givetvis mest av allt på vad den avser. Det inns ingen universell strategi som kan tillämpas på alla objekt. I mer filosofiska termer kan rnan ange undersökningens syfte som ettdera eller bägge av: • Modellbygge • Modellverifiering Med modellbygge avses här skapandet av en teoretisk modell av den geo­ tekniska verkligheten, dels en geometrisk modell med de olika lagren och deras utsträckning i rymden, dels kvantifiering av de intressanta geotekniska parametrarna, t ex skjuvhålIfastheten. Detta arbete kan endast i mycket speciella fall vara baserat på rena undersöknings­ resultat. Normalt bygger man upp modellen utgående från geologiskt kunnande och ett fåtal undersökningspunkter eller "arkivborrningar". Det gäller då att skapa en modell som förklarar dessa resultat och som inte strider mot geologisk teori. Hur bra modellen blir, är helt beroende av geoteknikerns erfarenhet och fantasi. Modellen är inte oberoende av det geotekniska projektets art. Med samma utgångsdata skapar man inte identiska modeller för t ex en på 1- grundläggning som för en plattgrundläggning på samma plats, eftersom olika geotekniska förhållanden får olika stor betydelse. 36 Med modellverifiering avses att bekräfta att den antagna modellen kan vara sann. Vid modellverifieringen skaffar man ytterligare data för att kontrol­ lera modellens användbarhet för det aktuella arbetet. I denna fas kan statistiska metoder vara användbara dels för att optimera undersök­ ningen, dels för att kvantifiera kvarstående osäkerheter. Verifiering- en avser både stratigrafi och kvantifiering av geoparametrar, men man bör observera att den är betingad av syftet med modellen: om man t ex avser göra en plattgrundläggning kommer man inte att ha intresse av att verifiera en djupt liggande bergytas läge. Sammanfattningsvis kan alltså sägas att undersökningens inriktning är beroende av den hypotetiska jordmodellen och att det inte finns några regler, statistiska eller andra, som kan leda till en entydig modell. Modellen är dessutom beroende av syftet med undersökningen, dvs objek­ tet. När man väl har modellen kan statistiska metoder vara till hjälp när man verifierar den, dvs belägger stratigrafi och egenskaper. De statistiska metoder som kan komma till användning spänner över ett brett fält. De viktigaste är: • Beslutsteori • Sökteori • Samplingteori • Tidsserieanalys • Diskriminantanalys För geoteknikern är det mer ändamålsenligt att gruppera metoderna efter deras geotekniska användning. Om vi bortser från beslutsteorin som spänner över hela undersökningsprocessen kan man göra följande indelning: • Bestämning av stratigrafi • Sökande efter lokala anomalier i ett skikt • Besstämning av ett skikts egenskaper • "Klassning" av en jord 4.42 Beslutsteori Beslutsteorin omnämndes helt kort i kapitel 3.33. Beslutsteori är ett sätt att stringent hantera ingenjörsmässiga frågor av typen "Vad är det bästa vi kan göra med de osäkerheter vi har" Vad kan vi förvänta oss för kostnad? Vad är det värt för oss att minska osäkerheterna?" 37 En beslutsteoretisk beräkning kräver att man kan ange • Tänkbara handlingsalternativ • Konsekvenserna av dessa alternativ vid olika tänkbara verkligheter (som inte är kända när beslutet fattas). • Sannolikheten för varje sådan verklighet att vara den korrekta. • En beslutsregel för att avgöra vad som är det bästa beslutet. Om man kan ange dessa olika ingredienser kan man sedan utan större teoretiska problem genomföra en beslutsteoretisk beräkning. En beskrivning av teorin med ett genomfört exempel från geotekniken finns redovisat av Olsson & Stille (1980) som också behandlar problemet med bedömning av värdet av ytterligare information. Beräkningarna redovisas ofta i ett så kallat beslutsträd, se Figur 4.6. VALT UTFÖRANDE ’STATE* KOSTNAD 169.5 UNOERSÖKNINGS- Perftkl mttod (95,45} A, PIAiIsP 16?) =04 FIG 4.6 Beslutsträd. 38 Den beslutsteoretiska metodiken kan användas även för annat än plane­ ring av geotekniska undersökningar. Den lämpar sig även för analys av åtgärder mot skred, t ex val av övervakningssystem och val av beräk­ ningsmetod när valet står mellan en billigare och en dyr men mer exakt (Maddock och Jordaan, 1982). Även om teorin för beräkningarna är väl känd används veterligt inte beslutsteori inom svensk geoteknik. Ett program för spontoptimering har dock utvecklats. En övergång till en riskfilosofi inom geotekniken kopplat med en snabb utveckling på smådatorsidan kommer dock troligen att leda till en ökad användning. 4.43 Bestämning av stratigraf1 Vid bestämning av stratigrafi från undersökriingsdata kan statistiska metoder användas vid lösningen av två olika problem: a. identifiering av ett givet laget i olika borrhål, konnektering b. vid bestämning av lagergränsens utseende mellan två borrpunkter, interpolerinq a. Konnektering Indelningen av jorden i skikt måste göras så att man till respektive skikt hänför jord med likartade geotekniska egenskaper. Vikten av en korrekt konnektering vid framställning av trolig trend har illustre­ rats i kapitel 4.31. Ofta bör man följa geologiska strata, men det kan vara svårt att identifiera ett lager i olika borrpunkter eftersom det finns en viss variation i sonder ingsresultat även i samma jord. För detta problem som är ännu viktigare inom geologin finns det ut­ vecklad statistisk metodik. Man kan tänka sig två olika angreppssätt. Det ena är att betrakta mätningarna som tidsserier och försöka bestäm­ ma skillnaden i vertikalled dem emellan. Det andra är att söka ut­ nyttja så mycket som möjligt av tillgänglig information så att alla uppmätta egenskaper utnyttjas, multivariat-analys, och söka den kon­ nektering som ger minsta totala skillnaden mellan borrhålen. Datorprogram finns utvecklade för konnekteringsberäkningar. Källkod till ett sådant finns publicerat, se Gordon (1980). 39 b. Interpolering Ofta känner man lagergränserna bara i ett mycket litet antal punkter men är intresserad av att känna dem mellan punkterna, t ex för besstämning av pållängder, bergschakt el dyl. Det vanligaste förfarandet är att man interpolerar rätlinjigt mellan punkterna, något som kan leda till stora avvikelser från verkligheten, se Figur 4.7. t aqr Bedömning av stratigrafi. Om man har en uppfattning om hur t ex bergytan brukar fluktuera i den aktuella regionen kan man utnyttja denna kunskap till att göra en bättre interpolering mellan kända punkter. En effektiv metod att göra detta är så kallad kriging. Vid denna metod beskriver man fluktuatio­ nen med ett så kallat semivarioqram. Detta är en funktion som beskri­ ver den förväntade skillnaden i egenskapen mellan två punkter som en funktion av avståndet mellan punkterna. Variogrammets utseende speglar hur egenskapen varierar: en jämn tillväxt hos variogrammet tyder på långsamma förändringar i naturen och en tröskel hos variogrammet visar det största avstånd inom vilket ett provresultat har något inflytande, se Figur 4.8. |JnflueMa\»*fad ^ Avs+ånd FIG 4.8 Variogram 40 Variogrammet kan sedan tjäna som en bas vid interpolering mellan mätpunkter. Detta görs så att det skattade värdet Z uttrycks som en viktad summa av de mätta värdena: Z = E a. Z(x.) I krigingmetodiken gäller att finria bästa uppskattningar på vikt­ koefficienterna a. och även en uppskattning av osäkerheten i upp­ skattningen av Z. Något som gör metoden mycket användbar vid upplägg­ ningen av undersökningsstrategier är att man för att göra uppskatt­ ningen av osäkerheten inte behöver provresultaten utan endast under- sökningspunkternas lägen. Man kan alltså direkt så hur mycket ett tänkt hål minskar osäkerheten. Man kan även använda metoden för att uppskatta medeldjup längs en linje (spont) eller över en yta (berg­ schakt). Sådana uppskattningar blir säkrare än en skattning i en punkt, jämför variansreduktion. Ett exempel på användning av kriging för bergdjupsbestämning finns redovisat av Andersson, Olsson & Stille (1984). 4.44 Sökning efter lokala anomalier Ibland är det geotekniska problemet sådant att man vill bestämma risken för att finna lokala anomalier i ett skikt. Det vanligaste ex­ emplet i svenska jordar är blockhinder. Problemet har två aspekter. Dels kan man vilja utforma en undersöking så att man med en viss sä­ kerhet kan uttala sig om risken för blockförekomst, dels kan man i de fall man påträffat ett block i ett enstaka hål vilja säga något om sannolikheten för att vid schakt etc stöta på flera. Sannolikheten för att hitta ett givet mål beror på flera faktorer, målets storlek i för­ hållande till den sökta ytan, totala antalet borrningar och deras pla­ cering inbördes. Bacher (19Z8) har gjort en genomgång av olika meto­ der. Några generella slutsatser är svåra att dra, men det står ganska klart att det krävs en stor undersökningsinsats för att hitta ett hinder som är litet i förhållande till den undersökta volymen. Detta illustreras i Figur 4.9, som visar sannolikheten att påträffa block vid dels en sondering, dels slagning av en påle, dels schaktning för en grävpåle. Figuren bygger på en enkel jordmodell med alla block lika stora och fördelade i jorden enligt en s k Po i ssonfördel ninq. Det är också påtagligt att om man inte funnit något block vid en undersökning så ger detta resultat liten information såvida den använda metoden inte har en stor träffsäkerhet, se Figur 4.10. 41 Sond FIG 4.9 Sannolikhet att påträffa block. Sannolikhet att finna ett existerande hinder 20 40 60 80 Apriori-sannolikhet, % FIG 4.10 Sannolikheten för att hinder finns även om det ej på­ träffats vid sondering. 42 Om det kan finnas fler än ett hinder, har Baecher (1978) härlett följande uttryck, där han antagit att man inte har någon à priori- uppfattning om antalet hinder: E(N) = m/Lf (4.1) V(N) = m(1~Lf)/L2 f (4.2) där m är antalet påträffade hinder och l.f sannolikheten att hitta ett hinder, dvs metodens effektivitet. Hindren har antagits vara Poissonfördelade i rymden. Oet förväntade antalet befintliga hinder ökar alltså med antalet på­ träffade och minskar med ökad effektivitet hos undersökningsmetoden. 4.45 Bestämning av ett skikts egenskaper När jorden indelats i skikt som kan anses geotekniskt homogena behöver man ofta bestämma någon eller några geotekniska egenskaper hos skik­ tet. I det följande kommer egenskapen att exemplifieras med skjuv- hålIfastheten. Vid val av strategi för att bestämma skjuvhålIfastheten bör man beakta att strategin blir beroende av den fysikalisk-matematiska modell man använder för att beskriva jordens skjuvhållfasthet. På modellen bör följande krav ställas: • Den ska ta hänsyn till skjuvhålIfasthetens rymdberoende. • Den ska enkelt kunna "ta in" erfarenhetsdata. • Det ska gå att uppdatera den varefter man får in mer data. • Den bör inte medföra alltför stora ändringar i dagens undersök- ningsstrategi, eftersom resultaten ska kunna användas i determi­ nistisk eller statistisk beräkning. • Den bör leda till (relativt) enkel statistisk behandling av stabi- 1 i tetsberäkningarna. En syntes av kraven ovan blir: Jorden betraktas som idealt plastisk så att man i brott kan anse att alla element samverkar. Man får därmed en enkel beräkning av det pa- 43 rallellsystem som glidytan utgör och kan även tillgodogöra sig vari- ansreduktionseffekten. Skjuvhållfastheten beskrivs som en stokastisk process med autokorrela- tionsegenskaper, se kapitel 2.2, som beskrivs med en lämplig funktion. Man väljer att använda sådana statistiska funktioner som går lätt att uppdatera med Bayes' teorem. Eftersom uppdateringen är beroende även av likelihood-funktionen, se kapitel 2.3, och denna i sin tur är beroende av bl a provpunkternas placering bör även detta beaktas. Man accepterar subjektiva sannolikheter. För att göra allt detta möjligt måste man införa begränsningar, se Floss (1983): • Jorden delas in i klasser • Skiktindelningen görs så att varje skikt kan anses tillhöra en enda klass. • För varje klass anses korrelationsavstånd och varians kända medan medelvärdet kan variera. Skjuvhållfastheten för en jord i klass k i en punkt är sammansatt av två delar, en rymdoberoende del X1k och en rymdoberoende X2k(z) så att följande gäller: V*l * *lk * *2klzl l4-3) Den rymdberoende delen har medelvärdet 0 så att medelvärdet för Xk(z) är lika med medelvärdet av Xlk. Man kan tolka X^ som storskaligt geologiskt varierande med X2 är den småskaliga platsvariationen. Eftersom man från början inte kan vara helt säker på vilken klass jorden tillhör får man ansätta några möjliga klasser och samtidigt ansätta sannolikheten för att jorden tillhör just den klassen. Beräkningsvärdet blir det viktade medelvärdet av de olika klassernas skjuvhållfastheter. När man sedan får ytterligare data används dessa till att dels upp­ datera klassvärdena, dels att uppdatera de olika sannolikheterna för klassti1lhörigheterna. Man får sedan ett nytt viktat värde att använda i beräkningen. Eftersom detta skattats ur ett litet antal prov måste hänsyn tas till den statistiska osäkerheten. Detta kan göras genom 44 att man använder sig av den s k prediktionsfördelningen, där denna osäkerhet "bakats in" så att man fått en flackare fördelning. När det gäller provtagningen finns det ett dilemma. För att få en enkel statistisk behandling och för att få ut maximal information bör proven vara så långt ifrån varandra att de är statistiskt oberoende, dvs de bör ligga på minst fluktuationsavståndet från varandra, se Van- marcke (1977). Samtidigt vill man i många fall, t ex vid grundlägg­ ningar placera dem inom det aktuella objektets gränser. Detta val måste göras utifrån erfarenhetsmässiga principer, eftersom två olika syften samtidigt ska uppnås, modellverifiering och egenskapsbestäm- ning. Forskning har visat, att man med den varians hos de geotekniska parametrarna som kan bestämmas ur en rimligt omfattande provtagning får orimligt höga värden på brottsannolikheten om man jämför med verkligt utfall. Detta kan tolkas så att erfarenhetsvärdena spelar en stor roll vid tillämpningen av Bayes’ teorem och att de bör tillmätas större tyngd än vad som vanligen görs. En annan förklaring är att de geotekniska mätningarna ofta är behäftade med mätfel och att man bör ta bort detta "brus" innan man bestämmer variansen. Ett exempel på hur detta kan göras lämnas av Baecher (1983), se Figur 4.11. ___ Brt s ~ 20 X Avstånd, m Skjuvhål1 fasthet, kPa Medelvärde Medelvärdets variation Rymdvariation a. Reducering av varians b. Bedömd jordprofil (reduktionen i exemplet är 40%) FIG 4.11 Borttagning av brus från mätresultat. (Baecher, 1983). 45 Ett annat problem gäller bestämningen av korrelationsavstånd, se Van- marcke (1977). Troligen är det viktigare att få fram en bra metod för bestämning av det vertikala korrelationsavståndet än det horisontala, eftersom detta bör vara lättare att uppskatta subjektivt. Trycksonde­ ring verkar vara den mest lämpade metoden, men i lösa leror krävs en utrustning med bättre upplösning än dagens standard. 4.46 Klassning av jord Att rätt klassa en jord har stor betydelse i den föreslagna modellen. Helst bör man kunna utnyttja all tillgänglig information, inte bara skjuvhållfasthet utan även vattenkvoter etc. Det finns sätt att med statistisk teknik göra detta. Detta görs genom att man etablerar en funktion av de mätta egenskaperna som är sådan att den på bästa sätt särskiljer två klasser. När funktionen är känd beräknar man dess värde för det aktuella provet, och detta värde avgör sedan till vilken klass prover ska föras. En möjlig teknik är diskriminantanalys, men det finns även metoder som är baserade på beslutsteori. En intressant tillämpning är att klassa ett område som skredfarligt eller ej med dessa metoder. Härvid kan man samla in ett antal faktorer som möjligen kan vara indikatorer på skredfarlighet och ta fram en skredriskfunktion som sedan kan användas för klassning av en slänt. 46 5. PARTIALKOEFFICIENTMETODEN I PRAKTISK TILLÄMPNING 5.1 Det qeotekniska problemet 5.11 Inledning En byggnadskonstruktion ska dimensioneras så att en tillfredsställande säkerhet finns mot brott (brottgränstillstånd) den fungerar tillfredsställande vid normal användning (bruksgräns- ti 11 stånd). Dessutom ska konstruktionen vara beständig eller skyddas och underhållas vid förväntad miljöpåverkan. Följande definitioner av gränsti11 stånden kan göras: a) Brottgränstillstånd: en konstruktion eller en konstruktionsdel är på gränsen till brott av något slag. b) Bruksgränsti11 stånd : en konstruktion eller konstruktionsdel är på gränsen att inte uppfylla något eller några av de krav som ställs med hänsyn till konstruktionens funktion under normala förhållanden. Dimensionering av en konstruktion innebär att man vanligtvis genom beräk­ ningar visar att effekten av stabiliserande faktorer, R, är större än den samlade lasteffekten S, dvs att R > S (5.1) Den s k brottekvationen har utseendet g = R - S = 0 (5-2) Byggnormen specificerar hur mycket större motståndet, R, minst måste vara än lasteffekten, S, i olika säkerhetsklasser genom angivna värden på säkerhetsindex g för att uppfylla samhällets krav på betryggande sta­ bilitet, stadga och beständighet. Faktorerna R och S är i princip stokastiska variabler. De kan beskrivs med statistiska parametrar, t ex medelvärde och varians, rivs värden som beskriver tyngdpunkten hos (sannolikhets)täthetsfunktionen och spridningen runt denna. Ju större osäkerhet en variabel har, desto större varians, spridningsmått har den. Vid en stokastisk dimensionering är dimensioneringskravet att sannolik­ heten att lasteffekten ska överstiga motståndet är mindre än en tillåten sannolikhet j1i. p(R sd eller fk 2 Yf Fk jfr ekv (5.3) (5.6) Enligt NR ska säkerhetsklassen beaktas genom att en extra partial koeffi­ cient, n, införs vid beräkning av den dimensionerande bärförmågan. Partial koefficienten Yn är enligt NR för de olika säkerhetsklasserna följande: Säkerhetsklass 12 3 1,0 1,1 1,2 5.22 Teoretiskt samband med B-metoden Normalt ingår flera stabiliserande faktorer och flera laster vid beräk­ ning av motstånd och lasteffekt. Fördelen med partial koefficientmetoden är att osäkerheter kan och kan beaktas där de hör hemma. I partial koef­ ficientmetoden kan i princip varje ingående faktor vara försedd med en egen partialkoefficient som beskriver risken för att det verkliga karak- teristiska värdet avviker ogynnsamt från det antagna värdet. Det karak­ teristiska värdet är inte karakteristiskt i någon fysikalisk synpunkt. Det är definierat i statistiska termer, t ex som 5-percentilen. 52 Med hjälp av matematisk statistik kan samband erhållas mellan partialkoef­ ficientens storlek och risken för oönskat uppträdande. Exempelvis anger Thoft-Christensen & Baker (1982) följande för motstånd: fm, i Xk.iV*} ea, (5.8a) Motsvarande för last blir Pj + Of ß Oj Tk,j (5,8b) där g = R-S och X-j för i = 1 till i är stabiliserande faktorer samt Xj för j = j till n är pådrivande samt där y-j och a-j är medelvärdet resp standardavvikelsen för parametern X-j. Faktorn ai beror på brottekva­ tionens utseende (motståndsvariabler ger negativa a-värden). Säkerhetsin- dex ß är knutet till säkerhetsklassen, eftersom ß är ett mått på brottrisken. Ekv 5.8a och 5.8b förutsätter att varje osäker faktor ges en partial­ koefficient. Modellosäkerheten kan beaktas med en egen stokastisk variabel och på så sätt få en egen partial koefficient. Om man fastställer fixa partial koefficienter för en konstruktionsklass förenklas dimensioneringen på bekostnad av en överstark konstruktion i förhållande till en konstruktion beräknad med den optimala ß-metoden. Om man driver förenklingen så långt som möjligt behöver man endast beräkna variablernas medelvärde (förutsatt att man inte vill tillgodoräkna sig variansreduktionen!). En så långt driven förenkling sker dock till priset av mycket konservativa konstruktioner. Den unika relationen enligt ekvation (5.8a och b) mellan partial koeffi­ cient och karakteristiskt värde innebär att dessa är kopplade till var­ andra, dvs olika definitioner på karakteristiskt värde ger olika värden på partial koefficienten. 53 Om det karakteristiska värdet väljs som medelvärdet erhålls efter förenk- 1 ing = 1 Ym,i 1+a.j ß Vi (5.9a) Y 1 + aj ß Vj (5.9b) där Vi, Vj = variationskoefficienten för resp motstånds- och lastfaktor. Exempel på hur B-beräkning görs och hur man kan beräkna partial koeffici­ enter finns i BILAGA 2. I NR beaktas såväl modellosäkerheten som materialosäkerheten i en gemen­ sam partial koefficient Ym.norm- Vidare behandlas kravet på ökad säkerhet i de olika säkerhetsklasserna med en speciell partial koefficient. Omfattningen och utformningen av kontrollåtgärderna bör beaktas vid valet av partial koefficient för att man (enligt författarnas uppfattning) ska erhålla en sund dimensionering och utförande. När det gäller jordegenskaperna är det även möjligt att ta fram teoretiskt baserade riktlinjer för hur mycket kontrollen ska påverka partial koef­ ficienterna. 5.3 Stokastisk jordmodell 5.31 Inledning Syftet med modelleringen av jorden är att jordparametrarna ska ingå i en beslutsprocess, där man beslutar om dimensionering av en geokonstruk- tion. Att vi modellerar jorden med en stokastisk modell beror inte på att jorden i sig har stokastiska egenskaper utan på att vi inte kan be­ stämma dess (deterministiska) egenskaper med en sådan noggrannhet att vi kan ange jordegenskaperna i detalj. En stokastisk jordmodell måste uppfylla och beakta följande villkor: o provningens omfattning och kvalitet o värdet av lokal erfarenhet 54 o möjlighet till medel värdesbi 1 dande process o undersökningspunkternas läge i förhållande till aktuell belastnings- yta. De stokastiska modellerna kan vara med eller utan rymdberoende. Modeller utan rymdberoende beskriver jorden som en samling oberoende små element, "enhetselement", som vart och ett beskrivs av en stokastisk variabel. Den jordvolym som ingår i en beräkning av exempelvis en släntstabilitet betraktas som en summa av sådana element. Men en modell som beskriver jorden som bestående av ett antal oberoende element är ej särskilt verk­ lighetstrogen. Vi förväntar oss att jordegenskaperna ska variera gradvis från punkt till punkt och inte att de kastar från höga till låga värden något som den oberoende modellen tillåter. Modeller med rymdberoende har fördelen att osäkerheten i vår kunskap om jordens egenskaper minskar ju större jordvolym vi betraktar (varians­ reduktion). Det krävs dock viss kunskap om bakomliggande idéer och för­ ståelse av begrepp som korrelation m m. 5.32 Begrepp Stokastisk process Ett statistiskt fenomen som varierar i tiden eller i rummet enligt sanno- 1 ikhetsteoretiska lagar kallas en stokastisk process. Den verkliga naturen är deterministisk men vi beskriver jorden med en stokastisk modell (stokastisk process). Ett av de möjliga utfallen av den stokastiska processen representerar verkligheten. För att vi ska kunna använda modellen praktiskt behöver vi kunna bestämma medelvärdet och hur dess korrelationsstruktur ser ut dvs enligt vilka lagar rymdvaria­ tionen sker. Korrelation (se även kap 4.34) Två stokastiska variabler kan ha ett inbördes samband som är av stokas­ tisk natur. Exempelvis kan ökad densitet i en sand innebära en ökad frik- tionsvinkel. Hur starkt detta samband mellan variablerna är kan uttryckas med korrelations koefficienten. 55 _ E [(X-nx) (Y-yy)] (5.10) P 0 x a y där °x'ay = standardavvikelse E ( ) = förväntat värde ux,Uy = medelvärde av variabeln X resp Y. Korrelationsfunktion, variogram, fluktuationsavstånd Det finns tre olika sätt att beskriva korrelationsstrukturen hos jord, nämligen genom o Korrelationsfunktionen o Variogram 0 Fluktuationsavstånd 1) Korrelatignsfunktionen Korrelationen mellan två näraliggande värden beskrivs som en funktion av avståndet mellan punkterna. Korrelationsfunktionen är symmetrisk kring axeln t=0 (normalt ritas endast ena halvan). För värdet t=0 har korrelationsfunktionen värdet 1. Korrelationsfunktionen kan karakteriseras genom det s k korrelationsav- ståndet vilket är avståndet från t=0 till det värde på t där korrelations­ funktionen antar värdet l/e, där e = basen för den naturliga logaritmen. Ju mindre korrelationsavståndet är, desto snabbare varierar storheten 1 rymden. 2) Variogram Variogrammet kommer ursprungligen från geostatisti ken, som utvecklats för gruvändamål, främst för att bedöma tillgänglig mineral kvantitet. Variogrammet betraktar skillnaden i värde hos två punkter och beskriver skillnadens korrelation. 3) Fluktuationsavstånd Fluktuationsavståndet har införts av Vanmarcke (1977). Fluktuationsavstån- det är det avstånd inom vilket man kan förvänta sig en relativt stor korrelation mellan egenskapen i punkterna. 56 5.33 Experimentell bestämning av korrelation När det gäller experimentell bestämning av jords korrelationsstruktur ur provdata gäller: 1. Det krävs ett mycket stort antal prov för att bestämma korrelatio­ nen, särskilt om man vill bestämma typen av korrelationsfunktion eller om man vill bestämma en tredimensionell korrelation med olika korrelationsavstånd längs de olika axlarna. 2. Man kan inte beräkna korrelationen för avstånd som är mindre än det minsta provavståndet. En alltför gles provtagning gör att man helt kan missa en småskalig variation. I praktiken är beräkningarna av korrelationsfunktionen svåra att utföra. Två villkor måste nämligen vara uppfyllda: medelvärdet ska vara konstant och variansen ska vara konstant. För att få ett konstant medelvärde kan man behöva dra bort en deterministisk trend från basdata och sedan beräkna korrelationsfunktionen för de återstående värdena. Om variansen inte är konstant kan man behöva göra en transformation av data, t ex genom logaritmering. Ytterligare och i geotekniken vanliga komplikationer kan vara att man inte har konstant avstånd mellan provpunkterna. Vid bestämning av fluktuationsavstånd har Vanmarcke (1983) angett två metoder som är användbara i praktiskt geotekniskt bruk. Metod_a I den första metoden har man provdata dels från punkter långt isär, dels från tättliggande punkter inom ett eller flera områden. Man beräknar en global varians (baserat på de glesa datapunkterna) och variansen för avvikelserna från det lokala medelvärdet inom delområdena. Kvoten mellan den senare variansen och den globala variansen är teoretiskt lika med l-y(T), där T är delområdenas längd. Härigenom är variansfunktionen y(T) känd för avståndet T. Om man sedan antar någon viss analytisk modell för variansfunktionen kan fluktuationsavståndet beräknas. 57 Metod b Om man har en kontinuerlig registrering av den lokala medel värdesprocessen kan man bestämma fluktuationsavståndet ur medelavståndet mellan uppåtgående medel värdeskorsningarna ("mean zero-upcrossings"). För geotekniskt bruk synes metod a vara mest lämplig för bestämning av horisontalt fluktuationsavstånd och metod b för bestämning av vertikalt fluktuationsavstånd med t ex hjälp av trycksond med automatisk dataregis- tering. En intressant fråga beträffande metod b är huruvida man kan använda ett (automatiskt beräknat) korrelationsavstånd för att identifiera jordarten. Uppgifterna i litteraturen över korrelationsmått är få och osäkra. Tills vidare rekommenderas att man för praktiska tillämpningar väljer mått på säkra sidan, dvs väljer stora fluktuationsavstånd som ger liten varians­ reduktion. Följande fluktuationsavstånd föreslås: Sand vertikalt: 0,1-0,5 m (beroende på sedimentationsmi1jö) Sand horisontalt: 1-10 m (beroende på sedimentationsmi!jö) Lera vertikalt: 0,1-2 m Lera horisontal: 5-50 m 5.34 Variansreduktion En stokastisk jordmodell som ska användas vid enkla beräkningar med par­ tial koefficientmetoden måste uppfylla vissa krav: Den måste vara enkel Den måste ansluta till dagens praxis för provtagning Den får inte kräva komplicerade statistiska beräkningar Förhandskunskap ska kunna utnyttjas Variansreduktion ska tillgodogöras. Principen för variansreduktion har tidigare beskrivits, se t ex Olsson, Bengtsson, Berggren & Stille (1984) och omnämnts i kap 4.33 ovan. Varians­ reduktion innebär att osäkerheten i elementens medelvärde blir mindre än osäkerheten hos de enskilda elementen, eftersom extremt stora och extremt sma enskilda värden kommer att "ta ut" varandra. Denna utjämning blir större ju fler element som ingår i medelvärdet. Exempel på sådana 58 fysikaliska processer är t ex skjuvhållfastheten hos en glidyta om man antar att brottmekanismen är plastisk. Ett annat exempel är tyngden hos en stor jordvolym, som kommer att ha en mindre variationskoeffi ci ent än tyngden hos små volymer (t ex prov på vilka densiteten baserats). Väsentligt är att de fysikaliska processerna måste vara av medel värdes­ bil dande typ. De får inte bero av något extremvärde, t ex lägsta värdet pä skjuvhållfastheten vid sprött brott. Korrelationen får betydelse när det gäller att bestämma variansreduktionens storlek. Om korrelationsav- ståndet är stort jämfört med den sträcka över vilken medel värdesbi 1 dring­ en sker, är det sannolikt att alla ingående delelement avviker från medel­ värdet på samma sätt, dvs de kommer inte att "ta ut" varandra. Motsatsen gäller om sträckan är stor i förhållande till korrelationsavståndet. Då kommer vi att hinna få ett stort antal svängningar kring medelvärdet och följaktligen en stor reduktion av variansen. Variansreduktionen är beroende dels av geometrin hos den yta eller volym, för vilken den ska beräknas, dels av den antagna korrelationsstrukturen hos jorden. Med korrelationsstruktur avses här såväl korrelationsfunktio- nens typ och parametrar som eventuell anisotropi. Den får alltså i prin­ cip beräknas för varje enskilt fall. I praktiken kommer tre metoder att vara tillämpbara vid variansreduktion: Variansfunktion enligt Vanmarcke Numerisk integration Färdiga nomogram. Manuella beräkningar är svåra och tidskrävande. Sannolikt kommer färdiga datorprogram och nomogram att användas i praktiskt bruk. Exempel på ar­ betsgång vid numerisk beräkning av variansreduktion ges i BILAGA 1. 5.35 Förslag till statistiskt baserad förenklad jordmodell En förenklad jordmodell har föreslagits av Olsson (1986). I den före­ slagna modellen betraktas jorden som en stokastisk process. För att möj­ liggöra ett praktiskt beräkningsförfarande görs följande förenklande antaganden : 59 Medelvärdet är konstant men inte känt Variansen kring medelvärdet är känd Fluktuationsavståndet är känt Med dessa antaganden läggs all osäkerhet som skall bestämmas ur prov­ tagningen på medelvärdet. Detta ger en enkel beräkningsmetod för uppdate­ ring när man får tillgång till provdata. Förutsättningen för uppdateringen är dock att man tar proven så långt isär att de kan betraktas som stokas- tiskt oberoende. 5.351 Tillämpning av föreslagen jordmodell a. Enkla fallet I det enklaste fallet arbetar man i en sådan skala att man kan anse att medelvärdet är konstant. Tillämpningen av modellen har beskrivits tidigare och sker enligt vad som visas på Figur 5.1. Subjektiva sannolikheter 1) T y. /ct 2 = &z = ... 1 ur norm 2) Variansreduktion Platta ctx/ctjslO Djup B) t) E(Ta) = x -l02 + m' r,Vn (Vj2.(V2)!/n 5) Variationskoefficienren = Platta V VarlTAl e (ta) Part> koeff. Variationskoeff. T FIG 5.1 Arbetsgång 60 Arbetsgången vid uppdatering: 1) Beskriv med hjälp av subjektiva snnolikheter förhandskunskapen om medelvärdet y som en normalfördelning N(m' , o'). (Medelvärdet y har ett väntevärde m1. Medelvärdets standardavvikelse är a1.) 2) Tag n stycken prov. Provresultaten är x;[, X2 ... xn. Beräkna provens _ yi X "imedel värde x = —. 3) Bestäm variansreduktionsfaktorn -jk Uppdatera fördelningen för medel­ värdet så att vi går från m' till m" och från a' till a", dvs vi beskriver efter uppdateringen medelvärdet y som normal fördel at N(m‘',a"). I = -i- + —— och (5.11) (o " ) 2 (o 1 ) 2 (c 2 ) 2 m" = [(l/a')2 • m' + (n/o22)xJ / [(I/o')2 + n/(a2)2j (5.i2) Rymdmedelvärdet över ytan A blir normal fördel at med momenten Eir'xAJ = 0!“ (5.13) var[TA}= (a")2+l o22 (5.14) där — är variansreduktionsfaktor. c I många praktiska fall är det aktuella området så stort att antagandet om konstant medelvärde är orealistiskt. För en stringent behandling av problemet krävs en mer utvecklad modell. Denna blir dock avgjort mer komplex ur statistisk synpunkt och därför kanske ägnad att användas bara vid svåra problemställningar. För många användare av partial koeffici­ entmetoden kan den enkla modellen vara tillräckligt svår. Med vissa modi­ fikationer i användningen bör dess tillämpning kunna utvidgas till att i viss mån beakta de mer komplexa fallen. Som ett sätt att modifiera modellen föreslås att man arbetar med olika storlekar på den kända stan­ dardavvikelsen enligt följande: Om man betraktar en begränsad del eller hela området får man olika för­ delningar av egenskapen. Om man betraktar hela området, exempelvis belastat av en stor platta, kommer egenskapen att ha en fördelning som motsvarar fördelningen A i Figur 5.2. Undersöker man och betraktar ett litet område gäller fördel­ ningen B. Betraktar vi däremot ett litet område, vars läge är okänt eller inte har undersökts, blir problemet svårare. Man kan därvid ha ett värde på egenskapen som kan variera enligt A, dvs det finns risk att egenskapen kan anta genomgående små eller stora värden inom området. Man får vid provtagning och uppdatering ge akt på att man betraktar området i rätt skala. t. ■ SrQoXo, A= fördelning 9 I/C3 =( 1- -£-) där L = avstånd från provtagningsområde till möjliga grundiäggnings- punkten 0 = storskaliga variationers fluktationsavstånd. Vid uppdateringen måste de båda olika skalorna separeras så att man beaktar kraven på representativa provområden och tillräckliga inbördes punktavstånd i de båda tidigare fallen. Det nu aktuella fallet (liten platta, okänt läge) kan betraktas som sammansatt av de båda tidigare. Ovan har redovisats möjligheten att praktiskt utnyttja en enkel sto- kastisk jordmodell. Att skapa en modell som är helt "automatisk" är inte möjligt. Det måste alltid finnas ett mått av "konst" i modelleringen, dvs det geotekniska kunnandet och erfarenheten är fortfarande avgörande. 5.4. Beräkning av partial koefficienter 5.41 Inledande exempel Med 8-metoden kan partial koefficienter beräknas. För att kunna utföra beräkningarna måste man känna till ingående parameterar och deras varia tionskoefficient. Partial koefficientens storlek är därvid beroende av de ingående parametrarnas variationskoefficient och dess betydelse i brottgränsuttrycket. I det här projektet har utarbetats en förenklad rutin med vilken partial koefficienterna lätt beräknas utan beräkning med 8-metoden. Rutinen utgår från att parametrarnas rangordning har skattats. I exemplet nedan redovisas hur den förenklade metoden kan användas i praktiken. I den förenklade metoden ingår således att rangordna de ingående para­ metrarnas betydelse för det betraktade problemet. I B-metoden anger storleken av sensi ti vi tetsfaktorn a-j variabelns betydelse (rangordning) Nedan redovisas resultatet av beräkningar dels för det förhållande att endast storleken på variationskoefficienten är avgörande för rangord­ ningen och därmed partial koefficienternas storlek och dels att andra faktorer än variationskoefficienternas storlek styr rangordningen. I den förenklade 8-metoden beräknas sensi ti vi tetsfaktorn a. enl igt föl­ jande princip: Det gäller att ra-j 2 = i,o. För den högst rangordnade parametern antas att a-!2 = 0,9. Nästa parameter i ordning tar 90% av återstoden dvs a22 är 90% av (1,0-0,9). Nästa parameter tar ånyo 90% av återstoden dvs a32 = 90% av 0,1(1,0-0,9), osv. Partialkoefficenten beräknas enligt ekvationerna Motståndsparameter (5.9a) Yf = i+a-j 3V Lastparameter (5.9b) 1 Ym ~ 1+crjSV För en motståndsparameter (mothål lande) gäller a-j < 0 och för en last­ parameter (pådrivande) ai >0. 64 Om flera parametrar har samma rangordning får de "dela på kakan". Exem­ pelvis om de två högst rangordnade parametrarna har samma rangordning gäller för båda -j? = 0,9/2. För ett exempel med tre oberoende parametrar a, b och c har utförts beräkningar enligt ovanstående rutin för olika variationskoefficienter hos parametrarna. Parametrarna a och b är motståndsparametrar och para­ meter c är lastparameter. Resultatet av beräkningarna redovisas som fall 15 i Tabell 5.2. För att visa rangordningens betydelse har även partial koefficienter beräknats för det fall att parameter b alltid är högst rankad. (Fall 2 c-5 c). I tabell 5.2 anges även storleken på den "totala säkerhetsfaktorn F" = 3■ I tabellen är den eller de högst rangordnade parametrarna understrukna. o Om endast en parameter har en variationskoefficient > 0 erhålls en låg total säkerhetsfaktor dock ej den lägsta enligt de presenterade fallen (jämför fall 1, 2c och 3c). o Om två parametrar har lika stor betydelse och är högst rangordnade blir totalsäkerhetsfaktorn hög. o Om samtliga ingående parametrar har samma rangordning erhålls den högsta totala säkerhetsfaktorn. o Om en parameter har liten variationskoefficient men rangordnas högst blir den totala säkerhetsfaktorn lägst. Fallen 2c och 3c skiljer sig märkbart från övriga genom att den högst rangordnade ej har störst variationskoefficient utan har en mycket mindre variationskoefficient. I ett verkligt problem är dessa fall ej möjliga. Av detta exempel lär man följande: o Rangordningen av parametrarnas betydelse för problemet har mycket stor inverkan på partial koefficienternas storlek. o Om tre parametrar ingår med olika rangordning har den tredje para­ metern mycket liten inverkan på lösningen, bl a med hänsyn till att variationskoefficienten är låg. Dessutom är avsikten att visa att en förenklad -metod ej är speciellt svår eller omständlig att använda. 65 Tabell 5.2. Resultat av beräkningar med olika variationskoefficien- ter och olika rangordning. Fall Param. Var.koeff Sens. faktor Partial- Total F" ai2 01 i koeff 1 a 0,1 -1,0 - 1,0 1,75 b 0 0 1,0 c 0 0 1,0 1,75 2 a 0,1 - 0,9 -0,95 1,69 b 0,05 - 0,9-0,1 -0,30 1,07 c 0,02 0,1-0,1 0,1 1,01 1,83 3 a 0,1 - 0,9 -0,95 1,69 b 0,05 - 0,1/2 -0,22 1,05 c 0,05 0,1 0,32 1,07 2,10 4 a 0,1 - 0,9/2 -0,67 1,40 _b 0,1 - 0,9/2 -0,67 1,40 c 0,05 0,1 0,32 1,07 2,10 5 a 0,1 - 1,0/3 -0,58 1,33 Jd 0,1 - 1,03/3 -0,58 1,33 c_ 0,1 1,0/3 0,58 1,33 2,21 4b a 0,1 - 0,9 -0,95 1,69 b 0,1 - 0,9-0,1 -0,30 1,15 c 0,05 0,1-0,1 0,1 1,02 1,98 5b a 0,1 - 0,9 -0,95 1,69 b 0,1 - 0,1/2 -0,22 1,11 c 0,1 -0,1/2 0,22 1,10 2,06 2c a 0,1 - 0,9-0,1 -0,30 1,15 b 0,05 - 0,9 -0,95 1,26 c 0,2 0,1-0,1 0,1 1,01 1,46 3c a 0,1 - 0,9-0,1 -0,30 1,15 b 0,05 - 0.9 -0,95 1,26 c 0,05 0,1-0,1 0,1 1,02 1,46 4c a 0,1 - 0,9-0,1 -0,30 1,15 b 0,1 - 0,9 -0,95 1,69 c 0,05 0,1-0,1 0,1 1,02 1,98 5c a 0,1 - 0,1/2 -0,22 1,11 b 0,1 - 0,9 -0,95 1,69 c 0,1 0,1/2 0,22 1,10 2,06 5.42 Ex Platta på underground av lera I detta exempel varierar variationskoefficienten. Med g-metoden kan partial koefficienterna för ingående last- och motståndsparametrar be­ räknas. Enligt NR ska endast motståndsparametern "belastas" med en par­ tialkoefficient. Avsikten med nedan redovisade beräkningsexempel är att beskriva hur valet av parametrarnas betydelse inverkar på partial­ koefficienternas storlek. Brottekvationen är Nc Tfu - q 0 66 För B = 4,3, dvs säkerhetsklass 2, har partial koefficienter på bärig- hetsfaktorn Nc, skjuvhål1 fastheten Tfu och densiteten p beräknats för olika kombinationer av variationskoefficienter för parametrarna. I allmänhet har skjuvhålIfastheten den största genomslagskraften i lik­ nande geoberäkningar. Resultatet av beräkningarna har sammanfattats i diagramform, se Figur 5.2, med Ym,norm som funktion av variations­ koefficienten för skjuvhål1 fastheten. Det gäller att Ym.norm ^an betrak­ tas som den parti al koefficient som skulle erhållas enligt NR vid olika förhållanden, gynnsamma eller ogynnsamma. Ym.norm har i detta fall be­ räknats enligt: ^m.norm = 1NC ' Yt/1,1 där yn = beräknad partial koefficient för Nc YT = beräknad partial koefficient förr Faktorn 1,1 i ekvationen beror på att beräkningen utförs i säkerhetsklass 2 där Yn = 1.1. >=> c O Ù: fcjOrV 5 '£ d5 3 0 -I---------- 1---------- 1---------- 1--------- 1— o o d 0,06 0,11 0,10 Varia!iDr)Skoe|-Fi'&['e.rif V Figur 5.2. Partial koefficienten Ym,norm som funktion av variations­ koefficienten för lerans skjuvhålIfasthet. 67 För detta exempel kan en indelning göras av partial koefficienten Ym.norm baserat på en värdering av gynnsamheten (se BFS 1988:18 kap 6:354) (se även kap 5.12 ovan) vid bedömning av jordens egenskaper. Indelningen återges i Tabell 5.3. Tabell 5.3. Indelning av gynnsamheten vid bedömning av jordens egenskaper. Förhållanden Mkt gynnsamma Gynnsamma Ogynnsamma Mkt ogynnsamma Variations- koefficient 0,04 0,08 0,13 0,16 Ym,norm 1,15 1,35 2,0 3,0 5.5. Sammanfattning I kap 5 sammanfattas de viktigaste principerna som ligger till grund för partial koefficientmetoden och dess praktiska tillämpning inom geotekniken. Väsentliga delar är: o Partial koefficientmetodens principer o Sambandet mellan säkerhetsindex g och partial koefficienter o Ett förenklat sätt att bestämma partial koefficienterna o Möjligheten att statistiskt beskriva jorden 5.51 Bestämning av partial koefficienter Det finns ett teoretiskt samband mellan partial koefficienter och säkerhetsindex @. En stringent bestämning av partial koefficienterna kräver att man för det enskilda fallet beräknar 6 och sedan ur detta resultat bestämmer de partial koefficienter som motsvarar 8. Att göra denna beräkning för ett tillräckligt stort antal varianter på möjliga konstruktioner och sedan därur med statistisk analys beräkna partial koefficienter (t ex som funktion av variabelns spridning) är möjligt, men mycket tidskrävande. Av denna anledning har man i Nybyggnadsregler endast angivit intervall för partial koefficienterna. I denna rapport föreslås en förenklad metod att beräkna de partial koeffi­ cienter som motsvarar ett visst ß-värde. Principen är densamma som före­ slagits av Thoft-Christensen & Baker (1982). Deras värden ger dock dålig överensstämmelse med korrekta värden, se Olsson, Rehnman & Stille (1985). Förklaringen torde ligga i att metoden inte var avsedd att användas med medelvärdet som karakteristiskt värde. Den nu föreslagna metoden är enkel att använda och tycks enligt hittills gjorda kontroll beräkningar ge betyd­ ligt bättre överensstämmelser. Det måste dock beaktas att merparten av kontrol1 beräkningarna gjorts under förenklade antaganden, t ex att ingående variabler är oberoende. Ett större kontrollberäkningsprogram krävs därför innan den helt kan släppas för allmän tillämpning. Metoden bygger i korthet på att man rang­ ordnar ingående stokastiska variabler efter deras betydelse och sedan fördelar sensi ti vi tetsfaktorn a-j efter en enkel princip. När man känner a-j, ß och variationskoefficienten kan sedan partial koeffi­ cienten lätt beräknas för den aktuella variabeln. Här måste dock påpekas att i NR antas att endast en motståndsvariabel ska ha partial koefficient. Det är dock författarnas mening, att den vinst man göra med en mer strin­ gent metodik överväger besväret med att arbeta med fler partial koeffici­ enter. Man får bl a en klarare överblick över var det lönar sig att redu­ cera osäkerheterna. Normalt bör man också få en mindre överstark kon­ struktion. Att på ett korrekt sätt beakta säkerhetsklasserna är inget problem eftersom det sker via valt värde på ß. Man kan också tänka sig att tillåta metoden som ett alternativ till normens partial koefficientmetod och ß-metoden. 5.52 Statistisk jordmodell och variansreduktion Den viktigaste ingående faktorn i en geoberäkning är jordens hållfasthet och osäkerheten i den. 69 För att kunna behandla problemen rationellt behöver man använda en statistisk jordmodell som uppfyller geoteknikens krav: o Beakta lokal erfarenhet o Beakta undersökningens omfattning och dess kvalitet o Ge möjlighet att beakta fysikalisk medel värdesbildning och variansreduktion o Vara enkel att använda 0 Ge möjlighet att ta hänsyn till provtagningspunkternas läge relativt intressant område. 1 rapporten diskuteras dessa faktorer och bakomliggande principer. En möjlig modell är den som föreslagits av Olsson (1986). Den har dock nack­ delen att möjligheten att beakta punkternas läge uteslutits till förmån för enkelheten. I rapporten ges några förslag till hur man bör kunna subjektivt hantera vissa av de problem som därvid uppkommer, men för mer krävande användning behöver modellen utvecklas. Den kommer dock då att bli betydligt mer komplicerad att använda. En sådan modell får stor betydelse som likare när det gäller att ta fram "tumregler" för tillämp­ ning av den enklare modellen som i svårighetsgrad är mer anpassad till partial koefficientmetoden. En fråga som kvarstår gäller vilka fluktuationsavstånd som gäller för svenska jordar. Dessa har stor betydelse när det gäller beräkning av variansreduktionen, som i sin tur starkt påverkar osäkerheten och därmed partial koefficienterna. I rapporten beskrivs olika tillämpbara metodiker, men det återstår fortfarande att från verkliga data göra bestämningar. 5.6 Rekommendationer Författarna vill rekommendera följande när det gäller partial koeffici­ entmetoden : o Partial koefficienter på alla ingående, osäkra variabler o Partial koefficienter beräknas med ett empiriskt förfarande, (t ex det föreslagna när det kontrollerats) o Variansreduktion bör beaktas. (Data måste dock tas fram), o Kontroll skall krävas för undvikandet av grova fel. När det gäller kontroll av antaganden om material parametrar osv, bör utökad kontroll medföra reduktion av partial koefficienter. 70 Ovanstående rekommendationer strider i viss mån mot de riktlinjer som finns i NR. Det är dock författarnas uppfattning att vinster finns i ovanstående förslag, bland annat genom möjligheten att vara mer entydig i krav och genom den ökade förståelsen för problemen som principerna medför. Denna förståelse kan i sin tur minska risken för grova fel vid övergången till ett nytt system. 71 REFERENSER Andersson, J., Olsson, L. & Stille, H. (1984). Beslutsmodeller för för­ undersökningar. Bergytebestämning med kriging. BeFo 81:1/84. Baecher, G.B. (1978). Search in geotechical engineering. Technical report. Department of Civil Engineering, MIT. Baecher & Rackwitz (1982). Factors of safety and pile load tests. Int. J. of Num. Anal. Meth. in Geomechanics, vol 6, No. 4, 1982. Baecher, G.B. (1983). Simplified geotechnical data analysis. In Thoft- Christensen, P. (ed). Reliability theory and its application in struc­ tural and Soil Engineering, NATO-ASI. Floss, R. (ed) (1983). Beiträge zur Anwendung der Stochastik und Zuver- lässigheitstheorie in der Bodenmechanik. Lerstuhl und Prüfamt für Grund­ bau, Bodenmechanik und FFelsmechanik der Technischen Universität München. Se särskilt artikel av Reitmeyer, Kruse och Rackwitz. Gordon, A.D. (1980). Slotseq. A Fortran IV program for comparing two sequences of Observations. Computers & Geosciences Vol 6. Harr, M.E. (1987). Reliability-Based Design in Civil Engineering. (Me Graw-Hill Book Company) New York. Hasofer, AM & Lind, N.C. (1974). An Exact and Invariant First Order Relia­ bility Format. J. of the Eng. Mech. Div. ASCE, Vol No. EMI, 1974. Lumb, P. (1974). Application of statistics in Soil Mechanics, I.K. Lee (editor), Soil Mechanics - New Horizons, Butterworth & Co (punlishers) Ltd. Maddock, W.P. & Jordaan, I.J. (1982). Decision analysis applied to code formulation. Can. J.Civ. Eng 9 (1982). Olsson, L. & Stille, H. (1980). Lönar sig en kompletterande grundunder­ sökning? Beslutsteori tilämpad på ett spontningsprojekt. BFR R174:1980. Olsson, L., Bengtsson, P-E., Berggren, B., Stille, H. (1984). Varians­ reduktionens betydelse, NGM -84, Vol 1, s 255-263, Linköping. Olsson, L., Rehnman, S-E.- Stille, H. (1985). Partialkoefficientemtoden. Illustrerad beräkning. Rapport R45:1985. BFR, Stockholm. Olsson, L. (1986). Användning av -metoden i geotekniken - illustrerad med spontberäkning. Inst för jord- och bergmekanik, KTH (avh). Olsson, L., Berggren, B., Bengtsson, P-E., Stille. H. (1989). Reliability based partial koefficient. A simplified approach. Proc. XII ICSMFE, Rio de Janeiro. Réthâti, L. Probabilistic solutions in geotechnics. Developments in geotechical engineering 46. (Elsevier Science Publishers). Thoft-Christensen & Baker (1982). Structural Reliability and its Appli­ cation. Springer Verlag. Vanmarcke, E.H. (1977). Probabilistic Modelling of Soil Profiles. J. of the Geotechnical Engng., Div. ASCE, Vol 103, No. GT11 Nov. 77. 1:1 BILAGA 1 Beräkning av variansreduktion med numerisk integration Givet: En storhet som kan beskrivas som en (stationär) stokastisk process. Det gäller att medelvärdet över ett område = punktmedelvärdet, dvs medel­ värdet är detsamma oavsett om medel värdesbildningen sker över en linje, en yta eller en volym. I en dimension (medelvärdsbiIdning över sträckan T): i t+T/2 Uttryck XT(t) = i J x(u)du (II) t-T/2 Däremot ändras variansen så att variansen för medelvärdet över sträckan 2 T ges av var [Xy] = ay = r2(T) a2 där a2 = punktvariansen r2(T) = variansfunktionen som beskriver hur mycket variansen reduceras genom medel värdesbildningen (motsvarar alltså variansreduktionsfaktorn l/c).Mellan variansfunktionen t2(T) och korrelationsfunktionen p(At) råder följande samband r2(T) = 1/T 2 // p(ti-t2)dti dt2 (1.2) Detta uttryck kan tolkas som medelvärdet av korrelationen mellan alla punkter på linjen. Motsvarande gäller för ytor och volymer. För att beräkna detta medelvärde kan man använda statistisk metodik och använda medelvärdet av slumpmässigt valda prov som en uppskatnting av det verkliga medelvärdet. Arbetsgång : a. Välj slumpmässigt ut två opunkter som tillhör området. b. Beräkna avståndet mellan punkterna: Ax, Ay, Az (i y-, y- och z-led) c. Beräkna korrelationen mellan punkterna Pi = exp - [Ax/bx)2 + (Ay/by)2+ (Az/bz)2] d. Upprepa n gånger e. r2 = l Pi/n 1:2 I vissa fall har man inte ett tredimensionellt problem. Då försvinner givetvis en eller två av termerna i korrelationsfunktionen. Antalet prov (n) behöver troligtvis inte väljas större än ca 100, vilket gör att meto­ den är lämplig för persondator alt programmerbar räknare utan att program­ tiden bl ir för lång. BILÄGA 2 Exempel på beräkningar med ß-metoden För att visa på ß-metodens möjligheter samt hur lösningsmetodi ken kan se ut redovisas nedan några exempel. Exemplen är valda för att visa ß-metodens möjligheter för olika typer av ekvationer. Detta innebär att ekvationerna är förenklade och de kan även avvika från normal praxis vad gäller användning idag. Slutsatser från storlekar på delresultat skall helst ej tas från dessa exempel. Tidigare påpekade svårigheter att bedöma värdena på parametrarnas statistiska egenskaper (medelvärde och varians) kvarstår. Lösningarna nedan visar dock hur en sannolikhetsbaserad dimensionerings- metod med datorstöd kan innebära ett effektivt hjälpmedel vid dimensione­ ring av geokonstruktioner. Exempel I DIMENSIONERING AV PLATTA PÄ MARK Dimensionerna av en kvadratisk platta ska bestämmas så att konstruktio­ nen uppfyller krav enligt säkerhetsklass 2, dvs BETA = 4,3 (sannolikheten för brott < 10~5). Undergrunden består av lera. Bärförmågan R antas kunna beräknas med ekvationen R = Nc • Tfu‘A där Nc = bärighetsfaktor Tfu= odränerad skjuvhållfasthet A = area Brottgränsekvationen får formen g = R-S = Nc-Tfu-A - P där S = lasteffekten I exemplet antas alla parametrar utom arean A vara stokastiska och nor- malfördelade. Dessutom antas de vara statistiskt oberoende av varandra. Bärighetsfaktorn Nc antas från tidigare geoteknisk erfarenhet kunna beskrivas med E(NC) = 5,14 a(Nc) = 0,514 dvs V(NC) = a(Nc)w 0,10 där E( ) = medelvärde a( ) = standardavvikelse V( ) = variationskoefficient Den odränerade skjuvhållfastheten Tfu har bestämts med fem prov. Tfu = 10, 13, 12, 11, 14 kPa 11:2 Skjuvhål1 fasthetens medelvärde blir E(Tfu) = 2 tfu _ 10+13+12+11+14 = 12 kPa och standardavvikelsen o(Tfu) = v1cîjfu'-~Ë('-fu)J^ = v^+i:'+o:+i-+2:' „ VTo = kPa TU n-1 4 4 Fåtalsprovningen uppdateras med tidigare erfarenhet (enligt Olsson, 1986). Det antas att variansen a22 är känd hos en underliggande fördelning hos jordegenskapen så att a2 = 2 kPa. Förhandskunskapen om medelvärdet m" och standardavvikelsen a1 hos egen­ skapen (skjuvhållfastheten) antas med subjektiv sannolikhet till m" = 11 kPa a1 = 2 kPa Enligt ovan har skjuvhållfastheten medelvärdet E(+fu) = 12 kPa. Alltså gäller x = 12,0 (5 prover) Uppdatering ger som resultat 1 (a')2 1 2 2 5 2 2 a" = 0,82 kPa Insättning i ekv (11) ger m" = [ 2 + (n/(a2)2) * x]/[ 1/(q )2+n/(a2)2^ m" = (~^ 11 + -JJ- 12)/(-^2+ -JJ ) = U,8 kPa Rymdmedelvärdet och variansen över ytan A fås enligt ekvationerna E[Y(A)] = m" = 11,8 kPa VAR[Y(A)] = (a")2 + ± • c22 11:3 I Bilaga 1 anges hur variansreduktionsfaktorn beräknas. Nedan används ett förenklat förfarande för att uppskatta storleken på variansreduk­ tionsfaktorn . Om det antas att fundamentbredden blir 1,0 m (glidytans längd =2■b) och att fluktuationsavståndet är 0,1 à 0,5 m kan variansreduktionsfak­ torn uppskattas till (enligt Vanmarcke 1977) 1/c = "gTrci= 0-05 à 0,25 Variansreduktionsfaktorn l/c har i detta exempel konservativt antagits vara 0,4. Alltså erhålls a2 = 0,82 2 + 0,4-2 2 = 2,27 a = 1,51 kPa Lasten P beskrivs med sitt medelvärde E(P) och standardavvikelse (varians) a(P). I exemplet gäller E(P) = 20 kN a(P) = 2 kN dvs V(P) = = 0,10 Vid dimensioneringen krävs nu att man anger kravet på säkerhet mot brott. I detta fall ska kravet enligt säkerhetsklass 2 uppfyllas, dvs BETA = 4,3. Ansätt a-j (Nc) = a-j (Tfu) = -1 *i(P) = i Beräkna x-j* = u-j + a-jßa-j. Nc* = 5,14 + (-1) -4,3-0,514 = 2,93 Tfu = 11,8 + (-1)-4,3-1,51 = 5,31 kPa P* = 20+1-4,3-2 = 28.6 kN Sätt in värdena på Nc*, Tfu* och P* i brottgränsekvationen 2,93 • 5,31 • B2 - 28,6 ^ 0 B = 1,36 m 11:4 Dérivera brottgränsekvationen partiellt 9 9 = Tp . n 2 3 Nr fu = Nc-B2 3 Tfu c la 3P - 1 Sätt in värdena i ovanstående ekvationer ia_ 3Nr ia 3 Tfu ia 3P 5,31 • 1,362 = 9,82 2,93-1,362 = 5,42 Summera I(f^r‘ai)2 I (§|.- °i)2 = (9,82-0,514)2 + (5,42-1,51)2 + (-1-2)2 = 96,46 Beräkna « i = - • ai /V ^ (^- -t^)2 t i ( N c ) = - 9,82-0,514/V 96,46 = -0,514 t i ( Tfu ) = - 5,42 • 1,51/V 96,46 = -0,833 ai(P) = - (-l-2)/V 96,46 = 0,204 Beräkna x-j* = y + a-j -ai Nc* = 5,14 + (-0,514)-4,3-0,514 = 4,00 Tfu* = 11,8 + (-0,833) -4,3-1,51 = 6,39 kPa P* = 20 + 0,204-4,3-2 = 21,8 kN Sätt in dessa nya värden på Nc*, Tfu* och P* i brottgränsekvationen 4,00-6,39-B2- 21,8 > 0 B2 2 21,8/(4,00-6,39) = 0,853 B 2 0,92 m ■~4r = 6,39-0,922 = 5,41 o 1’C = 4,00-0,922 = 3,36 3Tfu la = _ i 3P ö-j)2 = (5,41 -0,514)2 + (3,38-l,51)2+(-l-2)2 = 37,78 “•j (Nc) = -- 5,41-0,514/'/37,78 = -0,452 ai(Tfu) = - 3,38-l,51/\/3’fj8 = 0,830 Ct-j (P) = - (-1 • 2)/= 0,325 Nc* = 5,14 + (-0,452)-4,3-0,514 = 4,14 Tfu* = 11,8 + (-0,830)-4,3-1,51 = 6,41 kPa P* = 20 + 0,325-4,3-2 = 22,8 kN 4,14-6,14-B2 2 22,8 B2 2 22,8/(4,14-6,41) = 0,859 B 2 0,93 m 1^- = 6,41-0,932 = 5,54 3q 2 = 4,14-0,93 = 3,59 K-ffr -ai)2 = (5,54-0,514)2 + (3,59-1,51)2 +(-l-2)2 = 41,49 «■j (Nc) = - 5,54-0,514/V~4lT49 = -0,442 “i (Tfu) = - 3,59-1,51/'v 41,49 = -0,842 ai(P) = - (-1-2)/ ; 41,49 = 0,310 Nc* = 5,14 +(-0,442)-4,3-0,514 = 4,16 Tfu* = 11,8 +(-0,842)*4,3-1,51 = 6,34 kPa P* = 20 + 0,31-4,3-2 = 22,7 kN 4,16-6,34-B2 - 22,7 > 0 B2 2 22,7/(4,16-6,34) = 0,861 B > 0,93 m Dimensioneringen ger B = 0,93. De slutliga värdena på de stokastiska variablerna för att ge denna lösning är Nc* = 4,16 Tfu* = 6,34 kPa P* = 22,7 kN Motsvarande partial koefficienter blir Y(NC) = E(Nc)/Nc* = 5,14/4,16 = 1,24 Y(Tfu) = E(Tfu)/Tfu* = 11.8/6,34 = 1,86 Y(p) = P*/E(P) = 22,7/20 = 1,14 Y(NC) 'Y(Tfu)- Y(p) = 2,63 Det ska observeras att partial koefficienterna i de här utförda beräk­ ningarna är relaterade till ett karakteristiskt värde lika med medel­ värdet. Som ett alternativ till lösningen med 6 -metoden kan man utföra en klassning av de stokastiska variablerna och ur denna klassning skatta crj. Rangordningen av parametrarna ger i detta exempel 1 Tfu 2) Nc 3) P Antag att den viktigaste parameterna motsvarar a-j2 = o,90 “i(Tfu) =- VrÖ79Ö = -0,949 Antag att nästa parameter motsvarar 90% av resterande £ a-j2 0t1 (Nc) = 9-0,1 = -0,30 Eftersom Ea-j2 = 1,0 blir a-j för den sista parametern ot-j(p) = V 0,1 -o,i = 0,10 Detta innebär t(Nc) = E(NC)/NC* = [5,41/[5,41+(-0,30)-4,3-0,514] = 1,14 Y(Tfu) = E(Tfu)/Tfu* = 11,8/[11,8+(-0,949 )-4,3-1,51] = 2,09 y(P) = P*/E(P) = [20+0,10-4,3-2]/20 = 1,04 vilket insatt i brottgränsekvationen ger (5,14/1,1)•(11,8/2,09)•B2 - 20-1,04 > 0 B2 _> 20-1,04/[(5,14/1,14) • (11,8/2,09)] = 0,817 B > 0,90 m Jämfört med den tidigare, strikta lösningen erhålls således ett värde något på osäkra sidan. En annan del av problemet är att beräkna sätt­ ningar, dvs studium av bruksgränsti11 ståndet. Konventionell analys med Fc = 3,0 ger 5,14-11,8-B2 - 3-20 > 0 B2 = 3-20/(5,14-11,8) = 0,99 B > 1,0 m 11:8 Exempel 2 BESTÄMNING AV MAXIMALT SCHAKTDJUP I LERA M H T RISKEN FÖR BOTTENUPPTRYCKNING I detta exempel ska maximalt schaktdjup bestämmas så att risken för bottenupptryckning pf < 10~4, motsvarande B = 3,8. Risken för bottenupptryckning antas kunna beskrivas med brottgräns- ekvationen Nc’Tfu - gPD > 0 där Nc = bärighetsfaktor f(B,D,L) Tfu = odränerad skjuvhål1 fasthet g = tyngdaccelerationen = 9,81 m/s2 p = jordens densitet D = schaktdjup För exemplet antas följande värden Nc E(Nc) = 6,5 Tfu £(Tfu) = 12 kPa P E(p) = 1,6 t/m2 a(Nc) = 0,65 a(xfu) = 2 kPa a(p) = 0,08 t/m2 där E( ) = medelvärde a( ) = standardavvikelse Antag “(Nc) = a(Tfu) = -1 a(p) = 1 Beräkna x* = u-j+ a-j Ba-j Nc* = 6.5 +(-l) -3,8-0,65 = 4,03 rfu* = 12 + (-1 )-3,8-2 = 4,40 kPa p* = 1,6 + 1-3,8-0,08 = 1,90 t/m2 11:9 Beräkna D ur brottgränsekvationen 4,03-4,40 - 9,81-1,90-D ^ 0 D < 0,95 m Dérivera partiellt la = Tfu - gD Beräkna 3Nc i£ 3p _åa i x* 3X-j ia_ = 4 43Nc 4,4 -^= -9,81-0,95 = -9,32 3p ia_ = 3Tfu Nc ia 3ifu 4,03 2 Beräkna £ ('fxT’CT^ I^-fr-öi)2 = (4,4-0,65)2 + (4.03-2)2 + (-9.32-0.08)2 = 73,70 Beräkna ai = - |^r-ai/\/ [z(|^rai )2] a(Nc) = - 4,4-0,65/V 73,70 = - 0,333 a(xfu) = - 4,03-2/V 73,70 = -0,939 a(p ) = - (-9,32-0,08y'/T3^7 = 0,087 Beräkna x* Nc* = 6,5 +(-0,333)-3,8-0,65 - 5,68 Tfu* = 12 + (-0,939)- 3,8-2 = 4,86 kPa p* = 1,6 + 0,087-3,8-0,08 = 1,626 t/m3 Beräkna D 5,68-4,86 - 9,81-1,626-D _> 0 D < 1,73 m 11:10 Beräkna Beräkna Beräkna Beräkna Beräkna Beräkna Beräkna i 3 X-j l£_ = 3Nc X* 4,86 -Il = - 9,81-1,73 -17,0 i£L 3xfu 5,68 i _ 0 D < 1,72 m Lösning B = 3,8 ger D £ 1,72 m Nc* = 5,88 Tfu* = 4,70 kPa p* = 1,634 t/m3 vilket innebär partial koefficienterna Y(NC) = E(NC)/NC* = 6,5/5,88 = 1,105 Y(Tfu) = E(xfu)/Tfu* = 12/4,70 = 2,55 y(p) = p*/E( ) = 1,634/1,60 = 1,021 Totalsäkerhetsfaktorn är Y(NC) ' f(Tfu)' Y(P) = 1>105-2,55■1.021 = 2,88 Exempel 3 DIMENSIONERING AV PÂLE I KOHESIONSJORD M H T RISKEN FÖR BÄRIGHETSBROTT HOS ENSKILD PÂLE I exemplet ska enskild betongpåles längd beräknas så att risken för bärighetsbrott pf < 10“4 motsvarande g = 3,8. Pålens maximala last antas kunna beräknas genom ekvationen L Rm = J Tm'9'dz 0 Mantelmotståndet antas kunna beskrivas med jordens effektiva överiag- ringstryck enligt Tm = K-av = K- J gp' dz 0 Pålens tvärsnitt är 270 x 270 mm. Följande värden på stokastiska variablerna P, p1 och K antas gälla E(P) = 600 kN a(P) = 50 kN E(p ' ) = 1,0 t/m3 o(p ' ) = 0,05 t/m3 E(K) = 0,45 a(K) = 0,05 För att förenkla beräkningarna antas utefter pålens längd att K och p‘ är helt korrelerade (pk = 1,0, pp 1 = 1,0). 11:13 Brottgränsekvationen får formen I K- (j gp' dz) ed- - P > 0 0 0 Utvecklingen ger K-e-g-p 1 • J (J dz)dz - P > 0 0 0 L K-e-g-p 1 ■ J zdz - P > 0 0 K-e-g-p 1 • L2/2 - P >, 0 De deterministiska variablerna blir e = 4-0,270 = 1,08 m g = 9,81 m/s2 Pålens längd ska beräknas Lösning Antag a ( K) = a (p 1 ) = -1 a(P) = 1 Beräkna x-j* = n-j + ajßo-j K* = 0,45 + (-l)-3,8-0,05 P*' = 1,0 + (-1)-3,8-0,05 : P*1 = 600 + 1-3,8-50 = 790 L beräknas ur brottgränsekvationen 0,260-1,08-9,81-0,810- L2/2 = 0,260 0,810 t/m3 kN -790 > 0 L > 26,6 m 11:14 Dérivera brottgränsekvationen partiellt ^=egp'.L2/2 ||r = K0g-L2/2 =3P -1 Beräkna ||r i x* Il = 1,08-9,81-0,810- = 3,04-103 |3r. = 0,260-1,08-9,81- = 975 3p ia = .i 3P Beräkna £(||t -a-j )2 I(lx7 -ai)2 = (3,04-103-0,05)2 +(975-0,05)2+(-l-50)2 = 2.80-104 Beräkna a-- = - • —\ ,2, 1 - J 'ai/(V l{fk 'ai) ] a(K) = - 3,04-103-0,05/'/ 2.80-104 = -0,908 a(p 1 ) = - 975-0,05/\/~2,80-104 = -0,291 a(P) = - -1-50// 2,80-104 = 0,299 Beräkna x* K* = 0,45 + (-0,908)-3,8-0,05 = 0,277 p1 = 1,0 + (-0,291)-3,8-0,05 = 0,945 t/m3 P* = 600 + 0,299-3,8-50 = 657 kN Beräkna L 0,277-1,08-9,81-0,945- L2/2 - 657 > 0 L > 21,8 m 11:15 Beräkna l2_ i v* 3x-j 1 X ||= 1,08-9,81-0,945- = 2,38-103 I3-, = 0,277-1,08-9,81- -^|i = 697 a p 0 L > 21,8 m Lösning g = 3,8 ger L = 21,8 m K* = 0,281 p' = 0,951 t/m3 P* = 671 kN vilket ger partial koefficienterna Y(K) = E(J0 = 0,45 = 1 Kj K* 0,281 i,bU / \ — ^ ( P ) — 1 » Q _ 1 (ICOY(p') p'* 0,951 1,052 , , _ P* _ 671 y(p) ëIpT 600 1,118 Y(K) -Y(p • )-Y(P) = 1,60-1,052-1,118 = 1,88 Exempel 4 BERÄKNING AV PÅLGRUPPS BÄRIGHET M H T RISKEN FÖR BÄRIGHETSBROTT Den enskilda pålens bärförmåga antas kunna beskrivas med en normalfördelning med de karaktäristiska momenten medelvärde och standardavvikelse. I exemplet antas E(Rn=i) = 1500 kN o(Rn=i) = 200 kN I exemplet beräknas dimensionerande last på pålgruppen för g = 4,3 och då pålgruppen innehåller 1,2. resp 4 pålar. Brottgränsekvationen blir g = R-S 2. 0 "Pålgrupp" bestående av 1 påle. 9 = Rn=l - Sn=I — ® E =(Rn=i) = 1500 kN a(Rn=1) = 200 kN Partiell derivering av brottgränsekvationen ger ia = i Ü = .3R 1 3S I (-^r • oi)2 = ( 1 -200)2 + (-1-0)2 = 2002 a (R) = - 1-200/V1ÖÖ2 = -1 a i (S) = - -O/V^ÖÖ2 = 0 R* = 1500 + (-D-4,3 • 200 = 640 kN R* - S* > 0 S* < 640 kN Pålgrupp bestående av 2 pålar 9 = Rn=2 - sn=2 i 0 E(Rn=2) = 1500 + 1500 = 3000 kN a(Rn=2) = V 2002 + 2002 = 200 \fl kN R* = 3000 + (-l)-4,3-200 \fl = 1784 kN S* < 1784 kN 11:17 På1 grupp bestående av 4 pålar g = Rn=4 - Sn=4 J> 0 E(Rn=4) = 4-1500 = 6000 kN a(Rn=4) = V^4-2002’ = 2-200 kN R* = 6000 +(-l)-4,3-2-200 = 4280 kN S* < 4280 kN Resultatet sammanfattas i figuren nedan R R* 3 l \ 0 -i--------- ‘-------------------- f- 1 Z Ia ar i cj z> Det skall dock betonas att resultatet beror på graden av korrelation mellan pålarna. Ovan har antagits att pålarna är helt oberoende, vilket är på osäkra sidan. (För helt beroende pålar gällar R = R* oberoende av antalet pålar i gruppen). 11:18 Exempel 5 DIMENSIONERING AV PLATTA PÂ MARK M_H T RISKEN FÖR ÖVERSKRIDANDE AV BRUKBARHETSGRÄNS (Bruksstadie-verifiering) Sättningen hos en enskild platta på mark antas kunna beräknas med ekva­ tionen där 6 = sättning K = koefficient P = last E = jordens elasticitetsmodul d = plattans tvärmått "Bruksgränsekvationen" blir ägräns _ K" eTJ 2 0 Koefficienten K beskrivs med E(K) = 0,8, A(K) = 0,05 Lasten beskrivs med E(P) = 150 kN, o(P) = 15 kN Elasticitetsmodulen beskrivs med E(E) = 20 MPa, a(E) = 2 MPa Bruksgränsen ansätts som E(<$grgns) = 10 mm, a( 5gräns) 0 mm Plattans tvärmått d ska beräknas så att risken att överskrida brukbar- hetsgränsen är mindre än 10'^, motsvarande B = 2,6. Detta innebär att bruksgränsekvationen blir P ^gräns " K- -gTj 2 0 Värdena på de stokastiska variablerna K, P, och E är angivna ovan. Anta a-j (P) = a-j ( K ) = 1 <*i(E) = -1 j * = u-j a-j Ba-j K* = 0,8 + 1-2,6-0,05 = 0,93 P* = 150 + 1-2,6-15 = 189 kN E* = 20-103 +(-l)•2,6-2-103 = 14.8-103 kPa 11:19 Insättning i bruksgränsekvationen ger 10-lO-3 - 0,93- 189/(14,8-103-d) > 0 d 2 i-19 m Dérivera bruksgränsekvationen partiellt Jä = 3K " ' E-d iä = J<_ 3P ' E-d lä KP 3E E2-d Beräkna derivatorna i x* 13.= - 189/(14,8-103-1,19 ) = 0,0107 dX -|3= - 0,93/(14,8-103*1,19)= -5,33-10 13 = (0,93-189)/[(14,8-103)2 • 1,19.] Beräkna (13-- aj)2 dX-j I (-fjr ' ai)2 = (-0,0107-0,05)2 + (-5 + (6,74-10~7-2-103)2 = 2,74-10-6 Beräkna a i ai (K) = - -0,0107 0,05/1 5,48- fo-6 = a i ( P ) = - - 5,3 3 • 10 '- 5 • 15 /1 5,48 äF6 = a i(E) = - 6,74-lO'7-2-103// 5,48-10'6 Beräkna x* ■5 = 6,74-10-7 33•lO“5-15)2 + 0,323 0,483 = -0,814 K* = 0,8 + 0,323-2,6-0,05 = 0,842 P* = 150 + 0,483-2,6-15 = 168,8 kN E* = [20 + (-0,814)■2,6-2]•103 = 15.8-103 kPa 11:20 Sätt in i brottgränsekvationen 10-10-3 -0,842 • 168,8/(15,8-103-d)> 0 d 2 0,90 Beräkna derivatorna i x* || = 168,8/(15,8-103-0,90) = -0,0119 || = - 0,842/ (15,8-103-0,90) = -5.92-10-5 || = 0,842-168,8/[(15,8-103)2-0,90 ]= 6,32-10"7 Beräkna £ (J^r -o-j)2 I (|fr -^i)2 = (-0,0119-0,05)2 + (-5,92-10-5-15)2 + + (6,32-10“7-2-103)2 = 2,74-10“6 Beräkna a-j _____ a-j (K) = - -0,0119-0,05/Vr2,74-10“6 = 0,359 ai(P) = - -5,92-10 ?15/Vr2,74-10"6 = 0,536 oti(E) = - 6,32-10-7-2-103/V^,74-10-6 = -0,764 Beräkna x* K* = 0,8 + 0,359-2,6-0,05 = 0,847 P* = 150 + 0,536-2,6-15 = 170,90 kN E* = (20+ -0,764-2,6-2)•103 = 16.03-103 kPa Sätt in i brottgränsekvationen 10-10-3 - 0,847- 170,9/(16,03-103-d) 2 0 d 2 0,90 d 2 0,90 K* = 0,847 P* = 170,9 kN E* = 16,0-103 kPa Lösning 3 = 2,6 ger Art.nr: 6811025 Abonnemangsgrupp: Z. Konstruktioner och material R25:1991 Distribution: ISBN 91-540-5326-9 Svensk Byggtjänst 171 88 Solna Statens råd för byggnadsforskning, Stockholm Cirkapris: 52 kr exkl moms