Tillämpning och Visualisering av Kvaternioner
Application and Visualization of Quaternions
Examensarbete för kandidatexamen i matematik vid Göteborgs universitet
Kandidatarbete inom civilingenjörsutbildningen vid Chalmers
Emil Hietanen
Hampus Ahlebrand
Henrik Petterson
Philip Karlsson
Institutionen för Matematiska vetenskaper
CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA
GÖTEBORGS UNIVERSITET
Göteborg, Sverige 2020

Tillämpning och Visualisering av Kvaternioner
Examensarbete för kandidatexamen i matematik vid Göteborgs universitet
Emil Hietanen
Kandidatarbete i matematik inom civilingenjörsprogrammet Teknisk fysik vid Chal-
mers
Hampus Ahlebrand
Kandidatarbete i matematik inom civilingenjörsprogrammet Teknisk matematik vid
Chalmers
Henrik Petterson
Kandidatarbete i matematik inom civilingenjörsprogrammet Kemiteknik och fysik vid
Chalmers
Philip Karlsson
Handledare: Alexei Heintz
Exminatorer: Ulla Dinger & Maria Roginskaya
Institutionen för Matematiska vetenskaper
CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA
GÖTEBORGS UNIVERSITET
Göteborg, Sverige 2020

Förord
Vi vill tacka vår handledare Alexei Heintz och även våra eximatorer: Ulla Dinger och Maria
Roginskaya.
En loggbok (dagbok) har uppdaterats varje vecka inom gruppen. Individuella tidsloggar har förts
där information om de enskilda medverkandets prestationer återfinns.
Gemensamma bidrag
Vi har alla hjälpt varandra genom att noggrant läsa igenom varandras bidrag och givit feedback.
Individuella bidrag
Avsnitt Emil Hampus Henrik Philip
Poulärvetenskaplig presentation x
Sammanfattning x
Inledning x
Förkunskap x
Syfte x
Historia x
Grundläggande Teori och Notation
-Notation x
-Räkneregler och Defentioner x
-Rotation x
-Visualisering x
Tillämpningar av Grundteori
-Bält-tricket x
-Boll-tricket x x
Avancerad teori
-3D-ytor x
-Visualisering av 3D-ytor x
Tillämpning av Avancerad Teori
-Kollisionssdetekion x
-Kollision med friktion x
-Visualisering av en kollision x x
Diskussion x
Billagor
-A Kollsion bevis x
-B Superquadratics x
-C Kollisionsdetektion och restriktione x x
-D Visualiseringar
-D.1 Blender x x
-D.2 MatLab x x x
Tabellutforming x x
Figur 1: En representation av ansvarig/ansvariga för respektive avsnitt.
Populärvetenskaplig presentation
Tillämpningar av Kvaternioner
Sir William Rowan Hamilton var enligt egen utsago ute på en promenad år 1854 när han fick
idén om hur de komplexa talen kan generaliseras upp till fyra dimensioner, denna upptäckt blev
senare känd som den hyperkomplexa talmängden kvaternioner. Hamilton föreslog att man bör
använda sig av kvaternioner som standard notation för vektoroperationer men förslaget mötte
motstånd från forskningsvärlden och istället valdes Gibbs notation. Möjligheten att använda sig
av kvaternioner diskuterades även i samband med tillkomsten av kvantfysiken men återigen
valdes en annan metod. En kan undra varför kvaternioner dömdes ut till förmån för alternativa
metoder, det främsta argumentet var att notationen ansågs vara otymplig.
I början av 80-talet i samband med datorgrafikens framfart så ökade också användandet av
kvaternioner eftersom det inom datorgrafiken var (och är) viktigt med tillförlitlig orientering vid
3D-rotationer. Användandet av kvaternioner har därför varit att föredra framför den alternativa
metoden, Eulervinklar. Anledningen till att kvaternioner ofta valts framför Eulervinklar är på
grund av Gimbal-lock. Gimbal-lock är ett fenomen parat med dessa vinklar som innebär att en
rotationsaxel förloras vid en specifik orientering, ett system i denna situation mister därför
kontakten med en mängd orienteringar. En annan fördel med att nyttja kvaternioner är
möjligheten att förklara och förstå fenomen som annars inte avslöjar sina hemligheter. För att
demonstrera detta har vi i rapporten visualiserat två sådana fenomen, Bält- och Boll-tricket.
Problematiken och begränsningarna med Eulervinklar har inneburit att man inom flera områden
valt att använda sig av kvaternioner som standardmetod för rotation och orientering.
Inom stelkroppsdynamiken är det viktigt att beskriva hur stelkroppar påverkas av en kollision,
där en stelkropp är en kropp som inte kan deformeras. För närvarande finns inget känt material
med denna egenskap, men en stelkropp är en bra approximation om deformationen är försumbar.
I samband med en kollision av två stelkroppar så kommer deras orientering och rotation att
ändras, en kollisionsmodell behöver därmed ett verktyg för att beskriva dessa ting vilket
fördelaktigt görs med kvaternioner. För att visa hur det kan göras har vi i denna rapport
simulerat och visualiserat två kollisioner med friktion. Ytterligare ett användningsområde för
kvaternioner är inom differentialgeometrin där kvaternioner bland annat kan användas för att
beskriva 3D-ytor, dess egenskaper och avbildning.
-Vi behöver använda kvaternioner varje gång vi i vill interpolera koordinater, animation av en
kameras rörelse, simuleringar, beskriva hastigheten för vätskor, och det är enkelt att göra fel inom
allt detta, säger John C. Hart, professor i datorvetenskap 1. Kvaternioner har flera
tillämpningsområden och vi behöver använda oss av kvaternioner, inom alla moderna
vetenskaper, för att beskriva den verkliga världen vi lever i.
1Andrew J. Hanson. Visualizing Quaternions, 2006. Sid. xxiii
Sammanfattning
Den här rapporten undersöker hur kvaternioner kan visualiseras och användas i diverse
tillämpningar. Generaliseringen av komplexa tal upp till fyra dimensioner, senare känt som
den hyperkompelxa talmängden kvaternioner presenterades för världen av Sir William Rowan
Hamilton, 1854, och har sedan dess applicerats inom flera områden. I denna rapporten utreds
hur kvaternioner kan användas och visualiseras inom tre tillämpningsområden men först
beskrivs nödvändig teori och bakgrund. I rapporten har en jämförelse mellan kvaternioner
och den alternativa metoden, Eulervinklar, studerats för att belysa skillnader i metoderna.
Den grundläggande teorin för kvaternioner används därefter för att få en förståelse för teorin
och hur kvaternioner fungerar genom två visualiserade fenomen vars förklaring endast är
möjlig med kvaternioner, boll- och bält-tricket. Därefter behandlas mer avancerad teori inom
tre tillämpningsområden; datorgrafik, stelkroppsdynamik och differentialgeometri.
Inom differentialgeometri så behandlar denna rapporten hur man kan beskriva 3D ytor
med hjälp av så kallade kvaternionramar och kvaternion-Gaussavbildning, vilket möjliggör
ett sätt att beskriva en yta och dess egenskaper. Dessutom undersöks möjligheterna att
använda kvaternioner inom stelkroppsdynamik genom en simulerad kollision mellan två
konvexa stelkroppar med en friktionskoefficient och varför det kan vara fördelaktigt att
använda sig av kvaternioner. Visualiserngarna av kvaternioner i rapporten är genomförda
med olika metoder, men alla visualiseringar har genomförts i antigen Blender eller MatLab.
Resultatet i rapporten ger en kännedom om diverse tillämpningar och visualiseringar om
kvaternioner. Dessutom belyses också begränsningar med den alternativa metoden,
Eulervinklar, som kvaternioner inte besitter. De begränsningar som Eulervinklar besitter
innebär att kvaternioner är en fördelaktig metod i de tillämpningar vi studerat.
Nyckelord; Kvaternion; Kvatternionram; Gaussavbildning; Rotation; Orientering;
Stelkroppsdynamik; Visualisering, Bält-tricket; Bolltricket.
Abstract
This report examines how quaternions can be used and visualized in various applications.
The generalization of complex numbers up to four dimensions, later known as the
hypercomplex number of quaternions was presented to the world by Sir William Rowan
Hamilton, 1854, and has since been applied in several fields. This report investigates how
quaternions can be used and visualized in three areas of application, but first the necessary
theory and background are described. In the report, a comparison between quaternions and
the alternative method, Euler angles, has been studied to elucidate differences in the
methods. The basic theory of quaternions is then used to gain an understanding of the
theory and how quaternions work through two visualized phenomena that we explain using
quaternions, the ball and belt trick. Thereafter, more advanced theory is dealt with in three
areas of application; computer graphics, body dynamics and differential geometry
In differential geometry, this report deals with how to describe 3D surfaces using so-called
quaternion frames and quaternion Gaussian map, which allows a way to describe a surface
and its properties. In addition, the possibilities of using quaternions in rigid body dynamics
are investigated through a simulated collision between two convex rigid bodies with a
coefficient of friction and why it can be advantageous to use quaternions. The visualizations
of quaternions in the report are carried out by different methods, but all visualizations have
been performed in either Blender or MatLab. The results in the report provide knowledge of
various applications and visualizations of quaternions. In addition, limitations are also
highlighted by the alternative method, Euler angles, which quaternions do not possess. The
limitations that Euler angles possess mean that quaternions are an advantageous method in
the applications we studied.
Keywords; Quaternion; Quaternion frame; Gauss map; Rotation; Orientation;
Rigid-body dynamics; Visualization, Belt trick; Ball trick.
Innehåll
1 Inledning 1
2 Förkunskap 1
3 Syfte 2
4 Historia 2
5 Grundläggande Teori och Notation 2
5.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
5.2 Räkneregler och Definitioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
5.3 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
5.3.1 Rotation med kvaternioner i matrisform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
5.3.2 Rotation av en ren kvaternion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5.3.3 Rotation med Eulervinklar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5.3.4 Matris- eller kvaternionform? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5.4 Visualisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5.4.1 Stereografisk projektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5.4.2 Kvadratrotsmetoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
6 Tillämpningar av Grundteorin 10
6.1 Bält-Tricket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
6.2 Boll-Tricket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
7 Avancerad Teori 12
7.1 3D-ytor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
7.2 Visualisering av 3D-ytor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
8 Tillämpning av Avancerad Teori 16
8.1 Kollisiondetektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
8.2 Kollision med friktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8.2.1 Dynamiskt tillstånd och kvaternionform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8.2.2 Impulsbaserad kollisisonsmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8.3 Visualisering av en kollision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9 Slutsatser och Diskussion 20
Bilagor
A Bevis för sats 6 23
B Superquadratics 24
C Kollsionsdetektion och restriktioner 25
D Visualiseringar 26
D.1 Blender . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
D.1.1 Visualisering av figur: 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
D.1.2 Visualisering av figur: 7-9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
D.1.3 Visualisering av figur: 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
D.1.4 Visulaisering av figur: 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
D.1.5 Visualisering av figur: 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
D.1.6 Visualisering av figur: 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
D.2 MatLab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
D.2.1 Visualisering av figur: 4 och 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
D.2.2 Visualisering av figur: 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
D.2.3 Visualisering av figur: 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
D.2.4 Visualisering av figur: 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1 Inledning
Detta arbete utreder hur kvaternioner kan visualiseras och tillämpas. Kvaternionen är dock okänd
för de flesta trots dess runt 170 år långa historia och att den idag tillämpas inom vida områden
som datorgrafik, stelkroppsdynamik, signalbehandling, differentialgeometri, reglerteknik med
mera. Kvaternionen har också gjort sig påmind inom kvantfysiken och noterbart är att James
Clerk Maxwell först formulerade den klassiska elektromagnetismen med kvaternioner [1] [2]. Inget
av de nämnda fälten är obskyrt eller saknar intressenter, snarare gäller det motsatta. Detta leder
till åtminstone två frågor; Varför är kvaternionen så okänd? och Varför så användbar? Den förra
besvaras kortfattat i kapitlet 4 om kvaternionens historia och den senare frågan har många svar
eftersom kvaternionen har en mängd användbara och intressanta egenskaper. Denna rapport
ämnar utreda några av dessa.
En egenskap som tidigt upptäcktes var att kvaternionen kunde användas för att representera och
visualisera orientering. Det är en nyttig egenskap som delvis förklarar dess användning i
ovannämnda områden. Vi redogör för teorin som visar att kvaternionen har dessa egenskaper och
även hur de kan användas för att förklara två företeelser som i rapporten benämns Boll- och
Bält-Tricket.
Inom tillämpningar används ofta alternativa metoder för att beskriva orientering och två sådana
teoretiska verktyg är axel-vinkel framställningen och Eulers vinklar α, β och γ. Den förra
beskriver kring vilken axel och vinkel ett referenssystem behöver roteras för avsedd orientering.
Vardera Eulervinkel motsvarar rotationsvinkeln kring en basaxel i ett ortogonalt system.
Kvaternionframställningen har två viktiga fördelar relativt båda metoderna (för än mer
nyanserad jämförelse se kapitel 5.3). Kvaternionen kan tolkas som en funktion vars
definitionsmängd utgörs av ramar (för definition se kapitel 5.2) och dess värdemängd av
fyrdimensionella punkter vilket för det första tillåter entydig beskrivning av distansen/likheten
mellan ramar och för det andra möjliggörs visualisering av rotationssekvenser [2]. En anledningen
till att Boll- och Bält-Tricket studeras är för att visa på nyttan av dessa fördelar.
Ytterligare en aspekt som utreds är kvaternionens förmåga att beskriva 3D-ytor. Detta är viktigt
inom bl.a differentialgeometri och datorgrafik. Speciellt undersöks hur kvaternionramar och
kvaternion-Gaussavbildning relaterar till egenskaper hos 3D-ytor.
För att visa på ytterligare tillämpning av den presenterade teorin så avslutas rapporten med två
kollisionssimuleringar. En del av den mer avancerade teorin appliceras i en algoritm för
kollisionsdetektion och kropparnas orientering beräknas och visualiseras med hjälp av den
grundläggande teorin, och programmet Blender som animerar kollisionen tillämpar dessutom
kvaternionteori. Notera att kollisionssimuleringen i sig är inte är huvudintresset men för ett
någorlunda praktiskt resultat har vi valt att inkludera friktion i kollisionsmodellen vilket ger
verklighetstrogna resultat [3].
Avslutningsvis påpekas att detta arbete är en litteraturstudie mestadels influerad av boken
Visualizing Quaternions av Andrew J. Hanson. Från denna text kommer stora delar av den
presenterade teorin och ofta används samma notation. Texten rekommenderas för den som vill
fördjupa sig i ämnet.
2 Förkunskap
I rapportens första hälft behandlas grundläggande kvaternionteori och för att förstå denna är det
en fördel att ha grundkunskaper inom linjär algebra, komplexa tal och flervariabelanalys. I
rapportens andra hälft utreds mer avancerad teori och där är det nyttigt med grundläggande
kunskaper inom differentialgeometri. För den som inte är bekant med differentialgeometri så
rekommenderas läsaren att först läsa kapitel 19 och 20 i Visualizing Quaternions av Andrew J.
Hanson.
1
3 Syfte
Syftet är att visa hur kvaternioner och dess visualisering kan tillämpas. De tillämpningar som
granskas är rotationsberäkning, Bält-tricket, Boll-tricket, beskrivning av 3D-ytor och
kollisionssimulering.
4 Historia
Vi kommer i detta avsnitt ge lite historik kring kvaternioner för att läsaren skall få en bakgrund
till arbetet.
Sir William Rowan Hamilton undersökte under början av 1800-talet möjligheterna att utvidga de
komplexa talen. De komplexa talen består av en reell och en komplex del, vilket beskrivs i formen
a+ bi där a, b tillhör de reella talen och där talet i är den imaginära delen. Hamilton hade
arbetat med att generalisera de komplexa talen under några år och under en promenad med sin
fru året 1854 fick han plötsligt idén att man kan genom att använda sig av regeln
i2 = j2 = k2 = ijk = −1 utvidga de komplexa talen till fyra dimensioner, denna utvidgning är
det vi kallar för kvanternioner. I samband med Hamiltons upptäckt så ställdes frågan om
kvaternioner generaliserar komplexa tal, kan kvaternioner generaliseras ytterligare. Det visade sig
vara möjligt att generalisera kvaternioner till åtta dimensioner, därav namnet octanioner eller
dual-kvaternioner som de också benämns. Dual-kvaternioner kan beskrivas precis som
kvaternioner men man använder sig av ett ordnat par aˆ = (a, b) istället som koefficienter. Det har
sedan dess skett fler generaliseringar av kvaternioner men dual-kvaternioner är de mest
användbara [2].
Hamilton förespråkade användandet av kvaternioner som standard notation för att beskriva
tredimensionella vektoroperationer men kvaternioner ansågs vara en obekväm notation. Istället
valdes Gibbs notation x = (x, y, z) som standardnotation för att beskriva en tredimensionell
vektor. När kvantteorin för elektroner utvecklades under tjugohundratalet så blev det uppenbart
att kvaternioner hade ett samband med spinorer (se kapitel 6.1) men istället valdes den
alternativa notationen i form av en 2x2 matris, känd som Pauli matriser. Tidigt användes
kvaternioner inom Aeronautik och astronautik men det blev framförallt populärt i samband med
utvecklingen av tredimensionell datorgrafiken. Inom datorgrafiken behövde man vara precis med
orienteringen för tredimensionella objekt och kameror, då insåg man problematiken med att
använda sig av Eulervinklar (se kapitel 5.3.3). Problematiken med Eulervinklar innebar att man
istället använde sig av kvaternioner som standardmetod för att beskriva orientering och rotation.
Det ökade användandet av kvaternioner inom datorgrafiken innebar också att nyttjandet av
kvaternioner ökade inom diverse tillämpningsområden [2].
5 Grundläggande Teori och Notation
I detta kapitel redogörs teori och notation som används genom hela rapporten. Läsaren
rekommenderas att bekanta sig med notationen, detta för att undvika frågor som; Är det en
vektor eller en skalär? Därefter följer ett avsnitt med några nyttiga definitioner och operationer
relaterade till kvaternioner. I avsnitt 5.3 brukas dessa verktyg för att visa hur kvaternioner kan
beskriva rotation och orientering. Det avslutande avsnitten ägnas åt metoder för att visualisera
kvaternioner.
5.1 Notation
Här ges den generella notationen som används. På ställen där specifik eller annan notation krävs
så kommer det först att klargöras, detta gäller framförallt för kapitel 7 och 8. Men allmänt gäller
nedanstående tabell.
2
Allmän Notation
Skalär Skrivs kursivt, t.ex. a men det finns undantag. De imaginära enheterna be-
nämns i, j och k och kvaternioner tecknas också kursivt, se nedan.
Kvaternion Skrivs kursivt, speciellt är q reserverad men andra tecken kan användas som
t.ex. p. Från kontext bör det vara enkelt att urskilja då en kvaternion eller
skalär åsyftas.
Vektor Fetstilad minuskel, t.ex. v
Enhetsvektor Identifieras med en hatt t.ex. nˆ
Matris Kursiv versal, t.ex. R
5.2 Räkneregler och Definitioner
En kvaternion q består av en reell och tre imaginära komponenter. Explicit gäller alltså
q = q0 + iq1 + jq2 + kq3 (1)
där qi ∈ R, i ∈ 0, 1, 2, 3 där
i2 = j2 = k2 = −1
ij = k, jk = i, ki = j
ji = −k, kj = −i, ik = −j
(2)
[4]. Notera förhållandet mellan de imaginära enheterna i, j och k, de beter sig likt tre ortogonala
enhetsvektorer. Detta är en nyttig egenskap eftersom en viss formalism tillåter implicit
behandling av reglerna (2). Låt kvaternionen tecknas som en 4-vektor q = [q0, q1, q2, q3], eller
q = [q0,q], där q är en 3-vektor (innehåller de imaginära komponenterna). Då kan operationerna
kvaternionmultiplikation, -skalärprodukt och -konjungering i respektive ordning skrivas som
nedan i ekvationerna (3), (4) och (5). Dessa bevisas enkelt med ekvation (1) och sambanden i (2)
[2] [4] [5].
Multiplikation:
p ? q = [p0, p1, p2, p3] ? [q0, q1, q2, q3] = [p0q0 − p · q, p0q + q0p + p× q] (3)
Skalärprodukt:
p · q = [p0, p1, p2, p3] · [q0, q1, q2, q3] = p0q0 + p · q (4)
Konjungering:
q¯ = [q0,−q1,−q2,−q3] = [q0,−q] (5)
Vid kvaternionmultiplikation utelämnas hädanefter ? operatorn. För våra ändamål kommer det
visa sig att endast normaliserade kvaternioner behöver betänkas (se avsnitt 5.3.1). I
fortsättningen antas därmed att
q20 + q
2
1 + q
2
2 + q
2
3 = 1. (6)
Notera att talen q0, q1, q2 och q3 under begränsningen (6) beskriver ytan till en hypersfär vilket
kommer utnyttjas för visualisering, se kapitel 5.4. Restriktionen leder även till att
kvaternioninversen ges av dess konjungat [4].
Sats 1. qq¯ = [1, 0] = q¯q
Bevis. qq¯ = [q0q0 + q · q,−q0q + q0q− q× q] = [q20 + q
2
1 + q
2
2 + q
2
3 , 0] = [1, 0]
Nu följer några nyttiga definitioner och Eulers fundamentala sats om rotationer
Definition 1. En enhetskvaternion är en normaliserad kvaternion.
3
Definition 2. Mängden Sd där d ∈ N innehåller ytpunkterna till en d+ 1-dimensionell sfär.
Definition 3. En rotation definieras av rotationsaxel givet av normalvektor nˆ och en
rotationsvinkel θ sådana att en vektor roterar kring nˆ med den givna vinkeln θ.
Definition 4. En ram (eller orientering) definieras av tre inbördes ortogonala normalvektorer,
säg xˆ, yˆ och zˆ. Om en rotation appliceras så fås en annan ram.
Definition 5. En kvaternionram är en punkt q ∈ S3.
Sats 2. Givet två ramar R1 och R2 så existerar en rotation sådan att R1 transformeras till R2.
Ofta definieras orientering av en normalvektor men i denna rapport särskiljs inte ram och
orientering [5]. Redan nu noteras att kvaternionramar (detta namn eftersom en kvaternion kan
motsvara en ram) används för att visualisera rotationssekvenser som kurvor i S3, se kapitel 6 och
8.3. Till sist, innan vi går vidare definieras rena kvaternioner.
Definition 6. Kvaternionen vars reella komponent är noll är en ren kvaternion [1].
5.3 Rotation
I inledningen och senare har det nämnts att kvaternioner har en förmåga att beskriva rotation
och orientering och i detta avsnitt visas att så är fallet. Initialt granskas
axel-vinkel-framställningen och hur den kan beskrivas av en kvaternion, samt en tolkning av
kvaternionmultiplikation. Därefter härleds en kvaternionoperator som roterar rena kvaternioner
följd av en redogörelse för Eulers vinklar och hur fenomenet Gimbal-lock uppträder. Avsnittet
avslutas med en icke-rigorös jämförelse mellan de tre metoderna.
5.3.1 Rotation med kvaternioner i matrisform
Om en kvaternion kan beskriva rotation bör den kunna relateras till en rotationsmatris därför
reder vi först ut hur en vektor v = [v1, v2, v3] kan roteras kring en godtycklig axel
nˆ = [n1, n2, n3]. Ett svar ges av axel-vinkel-modellen där rotationsaxeln och -vinkeln explicit
anges, dess matrisform ges i nedanstående sats och bevis.
Sats 3. Låt R(θ, nˆ) ∈ 3× 3 vara en rotationsmatris med rotationsaxeln nˆ och rotationsvinkeln θ.
R(θ, nˆ) har då formen angiven av ekvation (7).
R(θ, nˆ) =


c+ n21(1− c) n1n2(1− c)− sn3 n1n3(1− c) + sn2
n2n1(1− c) + sn3 c+ n22(1− c) n2n3(1− c)− sn1
n3n1(1− c)− sn2 n3n2(1− c) + sn1 c+ n23(1− c)

 (7)
där c = cos θ och s = sin θ [2].
Bevis. Vi antar att de elementära rotationsmatriserna (8) är kända:
R(θ, xˆ) =


1 0 0
0 cos θ − sin θ
0 sin θ cos θ

 , R(θ, yˆ) =


cos θ 0 sin θ
0 1 0
− sin θ 0 cos θ

 , R(θ, zˆ) =


cos θ − sin θ 0
sin θ cos θ 0
0 0 0

 .
(8)
En sekvens av ovanstående matriser söks, sådan att den önskade rotationen åstadkoms. För att
finna en lämplig sekvens parametriseras nˆ med sfäriska koordinater:
nˆ = [cosα sinβ, sinα sinβ, cosβ]. Låt nˆ′ beteckna en rotation av nˆ. Strategin är att genomföra
ett basbyte sådant att ett av det nya systemets basaxlar är nˆ och därefter applicera en lämplig
elementär rotationsmatris och sedan invertera basbytet. Detta är ekvivalent med att först rotera
nˆ så nˆ′ = zˆ och därefter applicera R(θ, zˆ) och sedan invertera initiala rotationen så nˆ′ = nˆ. Låt
nu v′ beteckna rotationen av v kring nˆ med vinkeln θ, från argumentet ovan och
parametriseringen inses då att v′ = R(α, zˆ)R(β, yˆ)R(θ, zˆ)R(−β, yˆ)R(−α, zˆ)v. Och således
4
R(θ, nˆ) = R(α, zˆ)R(β, yˆ)R(θ, zˆ)R(−β, yˆ)R(−α, zˆ)
=


c+ n21(1− c) n1n2(1− c)− sn3 n1n3(1− c) + sn2
n2n1(1− c) + sn3 c+ n22(1− c) n2n3(1− c)− sn1
n3n1(1− c)− sn2 n3n2(1− c) + sn1 c+ n23(1− c)

 .
För att visa att matrisen (7) beskriver en kvaternion används två variabelbyten. Dessa byten kan
tyckas vara obefogade men i nästa avsnitt 5.3.2 ges en motivering och för än mer bakgrund
hänvisas läsaren till texterna [2] [4]. Först, låt a = cos θ2 och b = sin
θ
2 och notera c = a
2 − b2,
s = 2ab samt 1− c = a2 + b2 − (a2 − b2) = 2b2 och resultatet blir
R(θ, nˆ) =


a2 + b2(n21 − n
2
2 − n
2
3) 2b
2n1n2 − 2abn3 2b2n3n1 + 2abn2
2b2n1n2 + 2abn3 a2 + b2(n22 − n
2
3 − n
2
1) 2b
2n2n3 − 2abn1
2b2n3n1 − 2abn2 2b2n2n3 + 2abn1 a2 + b2(n23 − n
2
1 − n
2
2)

 .
Matrisen ovan kan i sin tur parametriseras med fyra variabler, q0, q1, q2 och q3:
q0 = a = cos
θ
2
, q1 = n1b = n1 sin
θ
2
, q2 = n2b = n2 sin
θ
2
, q3 = n3b = n3 sin
θ
2
.
Parametriseringen ovan definierar en enhetskvaternion, ty
q20 + q
2
1 + q
2
2 + q
2
3 = cos
2 θ
2 + (n
2
1 + n
2
2 + n
2
3)sin
2(θ/2) = 1 [2]. Påståendet om enhetskvaternioner i
avsnitt 5.2 är därmed motiverat. Enhetskvaternionen
q = [cos
θ
2
, sin
θ
2
nˆ] (9)
representerar därmed rotationsmatrisen R(θ, nˆ) och beskriver därför en ram vilken alstras genom
rotation av referensramen kring nˆ med en vinkel 0 ≤ θ ≤ 4pi, upp till 4pi för att kunna
representera alla rotationer. Givet en enhetskvaternion kan alltså motsvarande rotationsmatris
R(q) skrivas som
R(q) =


q20 + q
2
1 − q
2
2 − q
2
3 2q1q2 − 2q0q3 2q1q3 + 2q0q2
2q1q2 + 2q0q3 q20 − q
2
1 + q
2
2 − q
2
3 2q2q3 − 2q0q1
2q1q3 − 2q0q2 2q2q3 + 2q0q1 q20 − q
2
1 − q
2
2 + q
2
3

 . (10)
Notera att q och −q motsvarar samma matris vilket innebär att avbildningen är bilinjär, detta är
en nackdel hos matrisrepresentationen, den tillåter skenbar likhet mellan två olika ramar (se
kapitel 6.1).
Nu undersöks närmare vad som sker för två fall av kvaternionmultiplikation, först produkten av
två godtyckliga enhetskvaternioner sen produkten av (9) och en ren kvaternion qv = [0,v].
Låt nu t parametrisera en rotationssekvens längs x-axeln vilket innebär att sekvensen beskrivs av
matrisen R(θt, xˆ) och kvaternionen q = [cos θt2 , sin
θt
2 xˆ].
Notera nu att sekvensen kan skrivas som matrismultiplikation:
R(θt, xˆ) = R(θtn, xˆ)R(θtn−1, xˆ)...R(θt1, xˆ) (där
∑n
i=1 ti = t). Det visar sig att q(t) på samma vis
kan beskrivas av kvaternionmultiplikation: q(t) = q(tn)...q(t1). Slutsatsen är att multiplikationen
av två kvaternioner q1(θ1, nˆ1), q2(θ2, nˆ2) motsvarar matrisprodukten av R1(θ1, nˆ1) och
R2(θ2, nˆ2) [2]. Operationen har en geometrisk tolkning som utreds i kapitel 6.2.
Önskvärt vore att qv′ = qqv = [0, R(θ, nˆ)v], vilket skulle förenkla rotationsberäkningar men
räkneexemplet nedan visar att detta inte är fallet [4].
Exempel: Låt θ = pi2 , nˆ =
1√
2
[1, 1, 0] och qv = [0, 2, 0, 0].
qv′ = qqv = [−1,
√
2, 0,−1]
Operationen resulterar inte i en ren kvaternion, vektordelen har inte roterats 45 grader kring nˆ
och inte heller är normen bevarad (hos imaginärdelen). En slutsats från ovanstående är att
5
enhetskvaternionen q avbildar en ram given av en rotationsmatris till en punkt (q0, q1, q2, q3). I
kvaternionrummet svarar då multiplikation mot ramrotation men inte mot vektorrotation.
Härnäst utreds hur kvaternionmultiplikation kan användas för rotationsberäkningar av vektorer.
5.3.2 Rotation av en ren kvaternion
I detta avsnitt söks en rotationsoperator som agerar på rena kvaternioner. Först preciseras två
egenskaper en rotation kring en viss axel uppfyller. Låt v′ = fp(v) där fp är en rotationsoperator
vilken roterar v kring en axel pˆ. För en rotation gäller då
|v| = |v′| (11)
(v − v′) · pˆ = 0 (12)
Rotationsoperatorn är normbevarande och rotationsvektorn (v − v′) ligger i rotationsplanet. En
insikt vi kommer använda är att reflektioner är rotationer vilket nedan bevisas [1].
Sats 4. Låt nˆ vara normalen till ett plan som innehåller origo. Låt v vara en godtycklig vektor
så dim(v) = dim(nˆ). Vidare, låt α vara vinkeln mellan planet och vektorn v. För reflektionen v′
gäller
v′ = v − 2nˆ(nˆ · v) (13)
vilket är en rotation med rotationsvinklen 2α.
v
O
v′
nˆ
α
α
Figur 2: Ett plan med normal nˆ som innehåller origo. Vi ser också vinkeln α mellan planet och
vektorn v. Vektorn v′ är reflektionen av v m.a.p planet.
Bevis. Från figur 2 inses direkt att att rotationsvinkeln är 2α och
v′ = v − 2nˆ(nˆ · v).
Vidare gäller
v′ · v′ = |v′|2 = |v|2 − 4 cosα+ 4 cosα = |v|2 ⇒ |v| = |v′|
(v − v′) · pˆ = (v − v′) · (nˆ× nˆ) = 2nˆ(nˆ · v) · (nˆ× vˆ) = 0.
Den sökta rotationsoperatorn kan möjligen härledas från en reflektion men för en given rotation
måste ett lämpligt plan väljas (implicit i slutändan) vilket gör härledning relativt komplicerad.
Om istället reflektionssekvenser studeras undgås komplikationen.
Sats 5. Låt nˆ1 och nˆ2 definiera två plan genom origo och låt pˆ ge skärningen mellan planen:
nˆ1 × nˆ2 = sin θ2 pˆ där
θ
2 är vinkeln mellan planen: nˆ1 · nˆ2 = cos
θ
2 . Om q1 = [0, nˆ1], q2 = [0, nˆ2]
och q = q2q1 samt qv = [0,v] så gäller att operatorn f :
f(qv) = qqvq
−1
är en rotationsoperator med axeln pˆ och rotationsvinkeln θ [1].
6
vnˆ1nˆ2
α
θ
2
Figur 3: Vinkeln α representerar vinkeln mellan plan 1 (med normal nˆ1) och vektorn v som ska
roteras genom att först reflekteras i plan 1 och sedan i plan 2 (med normal nˆ2). Vinkeln mellan
planen är θ2 .
Bevis. Direkt ur figur 3 och sats 4 inses att reflektionssekvensen ger en rotationsvinkeln
2α+ 2( θ2 − α) = θ. Härnäst studeras produkten q1qvq1.
q1qvq1 = [0, nˆ1][−v · nˆ1,v× nˆ1] = [−nˆ1 · (v× nˆ1), (−n · nˆ1)nˆ1 + nˆ1×v× nˆ1] = [0,v−2nˆ1(nˆ1 ·v)]
Här användes vektoridentiteten (a× b)× c = b(a · c)− a(b · c). Enligt sats 4 är produkten ovan
en reflektion genom ett plan (innehållandes origo) med normalvektorn nˆ1. Den önskade
rotationen fås nu genom att reflektera qv′ = q1qvq1 i plan 2 (ty, rotationsvinkeln är då θ), för den
roterade kvaternionen qr gäller därmed
qr = q2qv′q2 = q2q1qvq1q2
Det återstår att beräkna q = q2q1.
q = q2q1 = [0, nˆ2][0, nˆ1] = [−nˆ2 · nˆ1, nˆ2 × nˆ1] = [− cos
θ
2
,− sin
θ
2
pˆ] = [cos
θ
2
, sin
θ
2
pˆ]
Notera att enligt sats 1 gäller q−1 = (q2q1)−1 = q
−1
1 q
−1
2 = q¯1q¯2 = q1q2.
Med sats 5 är det möjligt att arbeta med rotationer i kvaternionrummet och vi ser nu också fog
för de variabelbyten som användes i föregående avsnitt 5.3.1.
5.3.3 Rotation med Eulervinklar
Eulers vinklar α, β och γ motsvarar rotationsvinklarna kring tre inbördes ortogonala axlar och
därmed fås den resulterande matrisrepresentationen genom multiplikation av de elementära
rotationsmatriserna (8). Men matrismultiplikation (och därmed rotation) är inte kommutativ
vilket innebär att orienteringen givet (α, β, γ) ej är entydigt bestämd. Problemet löses genom att
förelägga en rotationshierarki som bestämmer rotationsordningen, men tre möjliga axlar
resulterar i 27 möjliga rotationshierarkier (XYZ, ZZY etc). Endast tolv av dessa kan representera
en godtycklig rotation, ty frihetsgrader förloras då successiva rotationer sker kring samma axel
[6]. Nedan betraktas hierarkin XYZ.
Rxyz = R(α, xˆ)R(β, yˆ)R(γ, zˆ)⇒
Rxyz =


cosβ cos γ − cosβ sin γ sinβ
sinα sinβ cos γ cosα cos γ − sinα sinβ sin γ − sinα cosβ
− cosα sinβ cos γ + sinα sin γ sinα cos γ + cosα sinβ sin γ cosα cosβ


Låt nu β = ±pi2 vilket leder till
Rxyz =


0 0 ±1
1
2 (sin (α± γ)± sin (α∓ γ)) cos (α± γ) 0
∓ cos (α± γ) sin (α± γ) 0

 = Rxyz(α± γ)
Ändring av α eller γ leder till rotation kring samma axel och därmed är en frihetsgrad förlorad.
Ett system som hamnar i sådan position förlorar därmed tillgång till en mängd orienteringar och
det är detta fenomen som kallas Gimbal-lock. Fenomenet är en inneboende singularitet i
Eulerframställningen vilket innebär att alla rotationshierarkier har detta problem [6]. Eulers
vinklar är ändå vanliga inom tillämpningar och möjliga anledningar till detta utreds kortfattat i
nästa avsnitt.
7
5.3.4 Matris- eller kvaternionform?
Vi har nu redogjort för att orientering och rotation kan hanteras med matris- eller
kvaternionoperationer. Det har också anmärkts att matrisrepresentationer med axel-vinkel och
Eulervinklar ofta används inom tillämpningar vilket kan tyckas vara märkligt eftersom
kvaternionrepresentationen kräver fyra tal och matrisrepresentationen nio. Eulerframställningen
har dessutom en singularitet och en rotationshierarki att ta hänsyn till. Här följer en kort
jämförelse mellan dessa metoder.
I texten Visualizing Quaternions analyseras beräkningskomplexiteten för fem operationer, matris
till kvaternion, kvaternion till matris, rotera en 3-vektor, rotera flera 3-vektorer och sammansatta
rotationer. Författaren visar att kvaternionoperationer endast är fördelaktigt vid det sistnämnda
fallet men att kvaternioner är nödvändiga vid beräkning av optimal interpolering mellan ramar
(p.g.a entydigt distansmått, kvaternionkurvor). Av numerisk osäkerhet och stabilitet kan det
också vara en fördel att använda sig av kvaternionoperationer eftersom matrisrepresentationen
innehåller överflödig information och fler villkor beaktas då en rotationsmatris måste
ortogonaliseras och normaliseras medan en kvaternionoperator enbart behöver normaliseras [2] [3]
[5].
Ovanstående gäller allmänt för matris- kontra kvaternionoperationer så låt oss närmare granska
Eulerframställningen. Till dess fördel är en lång historia av utbrett användande och därmed finns
utvecklade och testade lösningar vilket förenklar implementering. I allmänhet lämpar sig också
matrisrepresentationer bättre för andra transformationer som t.ex. skjuvning [5]. För vissa
system, som t.ex. gyroskop är det dessutom naturligt att använda Eulervinklar. Nackdelen är att
ytterligare två villkor måste beaktas, Gimbal-lock och rotationshierarkin. Det är även svårt, givet
tre vinklar och en hierarki, att förutsäga den resulterande rotationen (se kapitel 6.2). Detta visar
sig matematiskt genom att det är relativt komplicerat att beräkna rotationsaxeln och -vinkeln.
Detsamma kan sägas om att beräkna Eulervinklarna givet en rotationsmatris [5].
Kvatenionframställningen har länge varit känd men ej använts lika utbrett och därför kan
lösningar och implementeringar saknas till många problem eller så används de inte på grund av
bristande kunskap vad gäller färdighet eller existens. Utöver redan nämnda fördelar är att
kvaternionen ger en kompakt framställning vilket förenklar konstruktion och avläsning av
rotation [2] [5].
5.4 Visualisering
Kvaternioner är fyrdimensionella objekt vilket försvårar visualisering men under restriktion (6)
kan problemet lösas med projektion till tre dimensioner. Här betraktas och jämförs egenskaperna
för två olika projektionsmetoder, stereografisk projektion och kvadratrotsmetoden.
5.4.1 Stereografisk projektion
För att visualisera kvaternioner i 3D så behöver metoden ta bort en dimension vilket kan göras
med stereografisk projektion. Innan metoden appliceras på enhetskvaternioner som ligger på
hypersfären S3 så studeras projektionen av cirkeln S1 och sfären S2 på linjen respektive planet.
Den generella strategin för stereografisk projektion av ett objekt O går till på följande vis:
• Välj en projektionspunkt p0 ∈ O. I figur 4a och 4b valdes cirkelns och sfärens nordpoler.
• Välj ett projektionsplan pi. I figur 4a och 4b valdes linjen y = 0 respektive planet z = 0.
• Skärningspunkten mellan planet pi och linjen l = p0 + t(p− p0) ger den stereografiska
projektionen av p ∈ O på pi. I figur 4a och 4b är några av dessa linjer blå- respektive
rödmarkerade.
• Projektionen av p0 definieras som punkten i oändligheten eftersom den annars saknar
projektion.
8
Genom att studera figurerna 4a och 4b inses att det finns tre områden av intresse. Vid projektion
av enhetscirkeln ser vi att norra halvcirkeln (y > 0) avbildas på |x| > 1 och södra halvcirkeln
(y < 0) på |x| < 1. Till sist så har vi punkterna på ekvatorn (y = 0) som avbildas på sig själva,
|x| = 1. Studium av projektionen av enhetssfären visar på samma vis att norra halvklotet
(z > 0), det södra halvklotet (z < 0) och ekvatorn (z = 0) avbildas på områdena x2 + y2 > 1,
x2 + y2 < 1 respektive enhetscirkeln x2 + y2 = 1.
(a) (b)
Figur 4: (a) Stereografisk projektion av enhetscirkeln på x-axeln. Figur: (b) Stereografisk projektion
av enhetssfären på xy-planet.
Nu kommer vi till att projicera enhetskvaternionerna q · q = 1 på det tredimensionella rummet av
rena kvaternioner. Till skillnad från tidigare fall går det inte att direkt visualisera det projicerade
objektet, men begränsningen (6) tillåter utläsning av alla komponenter. Likt de föregående fallen
fås tre områden av intresse. Den norra halvan av (q0 > 0) hypersfären avbildas i klotet
(q21 + q
2
2 + q
2
3 < 1), den södra halvan (q0 < 0) utanför klotet (q
2
1 + q
2
2 + q
2
3 < 1), och ekvatorn
(q0 = 0) avbildas på enhetssfären (q21 + q
2
2 + q
2
3 = 1).
Fördelen med metoden är förståelse för objektets struktur och hur kurvor på hypersfären rör sig
från ena halvan till den andra. Nackdelen är förvrängda proportioner och former [2] [7].
5.4.2 Kvadratrotsmetoden
Kvadratrotsmetoden utnyttjar att ytan f(x1, x2, . . . , xn) = 0 kan skrivas om enligt
xn = gi(x1, . . . , xn − 1) där de olika gi beskriver delytor. Givet en n-dimensionell yta behöver vi
därmed specificera n-1 parametrar samt vilken av funktionerna gi som används för att bestämma
den n:te parametern. Vilken delyta som visualiseras kan i en grafisk representation till exempel
färgkodas.
Hypersfären given q20 + q
2
1 + q
2
2 + q
2
3 = 1 skrivs nu som q0 = ±
√
1− (q21 + q
2
2 + q
2
3). Låt g1, g2 och
g3 svara mot områden där q0 > 0, q0 < 0 respektive q0 = 0. Detta resulterar i två enhetsklot vars
ytor (q0 = 0) överlappar. Vid denna omskrivning resulterar projektion av hypersfären i att
enhetskvaternionens vektordel visualiseras som en punkt i enhetsklotet, men för att kunna utläsa
fullständig information krävs även en indikation på tecknet för q0. I figur 5 nedan visas resultatet
av denna metod applicerad på enhetscirkeln och enhetsfären.
Kapitlet avslutas nu med jämförelse mellan de två projektionsmetoderna samt hur de kan
komplementera varandra. Fördelen med kvadratrotsmetoden är att den i stora drag bevarar
formen och proportionerna av en kurva på ytan men det är något svårare att visualisera vad som
händer om kurvan ett flertal gånger går mellan sfärens två halvor. Att visualisera sådana kurvor i
närheten av ekvatorn gör den stereografiska projektionen bra, men man bör ha i åtanke att den
förvränger utseendet av kurvor beroende på var på sfären de befinner sig, särskilt kurvor som
kommer nära p0 blir mycket utsträckta och därmed svåra att rita ut på liten yta [2].
9
(a) (b)
Figur 5: a) Projektion av enhetscirkeln på x-axeln med kvadratrotsmetoden: för x 6= ±1 g1 =√
1− x2, g2 = −
√
1− x2 annars g3(±1) = 0. Avbildningarna visas med rött, blått och grönt
i respektive ordning. b) Projektion av enhetssfären på xy-planet med kvadratrotsmetoden: för
z 6= 0, g1 =
√
1− (x2 + y2), g2 = −
√
1− (x2 + y2)
annars g3 = x2 + y2. Avbildningarna visas med rött, blått och grönt i respektive ordning.
6 Tillämpningar av Grundteorin
Än så länge har vi granskat några av kvaternionens grundegenskaper och i detta kapitel ska dessa
appliceras för att förklara två fenomen, Bält- och Boll-Tricket. Dessa företeelser kan inte förklaras
genom användning av varken axel-vinkel-framställningen eller Eulers vinklar eftersom de saknar
kvaternionens förmåga att beskriva rotationssekvenser.
6.1 Bält-Tricket
Bält-tricket är ett vanligt exempel på hur rotationssekvenser kan beskrivas. Metoden för tricket
lyder som följer:
• Ett bälte läggs ut på en yta eller i rummet där båda ändar av bältet hålls fast.
• Sedan roteras bältet ett helt varv (2pi) i en riktning, där ena sidan på bältet hålls fast.
Därefter får bältet manipuleras för att invertera rotationen utan att orienteringen på
ändarna får skilja sig från deras ursprungliga position.
• Procedur ovan utförs därefter igen fast med en rotation på 4pi, i samma riktning.
Det visar sig att med en 2pi-rotation kan problemet inte lösas men för 4pi är det möjligt att
återgå till bältets startläge. Detta tar fram en viktig egenskap hos kvaternioner: spinorer [8].
Spinorer beter sig som vanliga vektorer i det komplexa rummet men när de roterar ett helt varv
(2pi) runt en kropp, kommer vektorn direkt att snurra runt tillbaka till sitt ursprungsläge, en
viktig förmåga för att kunna beskriva t.ex. spin hos elektroner. Figur 6 illustrerar detta exempel.
Bält-tricket kan förklaras både matematiskt och med visualisering. Låt bältet representeras som
en mängd av anslutna punkter i kvaternionrummet S3. Låt också t parametrisera kurvan i S3
längs en av sidorna på bältet, där t = 0 och t = 1 blir ändpunkterna på bältet [2] sådan att
q(t) = q(w(t), x(t), y(t), z(t))
Vi kan rotera objektet i vardera riktning i 3D-rummet. Om vi låter y-axeln vara fixerad och
roterar runt den med vinkeln θ längs axeln, fås att
q(t) = (cos
θt
2
, 0, sin
θt
2
, 0) (14)
Matematiskt : Sätt in θ = 2pi in i (14), vilket representerar ett helt varv av bältet runt y-axeln:
10
Figur 6: En representation av spinorer på ett Möbius-Band i Blender. Normalen till varje
segmentyta visas av den blåa linjen.
q(t) = (cospit, 0, sinpit, 0)⇒
{
q(0) = (1, 0, 0, 0)
q(1) = (−1, 0, 0, 0)
(15)
Vi ser från ekvationen ovan att ett fullt varv av bältet inte har samma slutposition som den
började med, vilket medför att vi ej kan återgå till begynnelsetillståndet. Notera att
kvaternionramarna q(0) och q(1) motsvarar samma rotationsmatris vilket betyder att information
förloras i matrisrepresentationen. Låt istället θ = 4pi och sätt in i (14)
q(t) = (cos 2pit, 0, sin 2pit, 0)⇒
{
q(0) = (1, 0, 0, 0)
q(1) = (1, 0, 0, 0)
Därmed har vi en sluten kurva, där både start- och sluttillståndet befinner sig med samma
orientation.
Visualisering : För visualiseringen av tricket kommer spinorer, som togs upp tidigare i kapitlet,
till bra hjälp. Spinorer och deras rotationer representeras oftast på formen av diskar samt
riktningslinjer. I detta fall sätts radien till pi, vilket beskriver att varje rotation av multipeln pi
blir längden mellan centrum och omkretsen av disken. En simpel demonstration av detta är att
lägga bältet på ett bord. Vi kan dela upp disken i två segment, ett som beskriver rotationen
parallellt till bordet och ett annat parallellt till bältet. Eftersom vi enbart ska undersöka en av
rotationerna i spelet, tas vridningen parallellt med bältet som referens. Spinorernas axlar sätts
fast längs den roterande änden hos bältet eftersom orienteringen skall vara densamma här efter
att en rotation har genomförts. Figur 7 nedan visar spinorens funktion.
(a) (b)
Figur 7: Visualisering av rotationer med spinorer. Figur a) visar bältet i startposition utan någon
vridning. I figur b) har bältet roteras med pi åt ett håll, där spinoren visar en pil i vågrätt led med
längden pi. Den röda cirkeln markerar axeln som inte roteras i varje figur.
Notera att en rotation i −pi-riktning hade gett en pil mot vänster istället för höger från
referenspunkten. Således ger en 2pi-rotation två pilar som pekar i samma riktning, se figur 8
nedan. Givet en θ = 2pi-rotation kring y-axeln, ges följande tillstånd:
Figur 8: En 2pi-rotation längs bältets längd med spinorens orientering.
11
I figur 8 avläses att spinoren inte befinner sig i mittcirkeln, vilket indikerar att bältet har fel
orientering i rummet. Detta stämmer också överens med ekvation (15) i den matematiska delen
som tyder på att vi inte har en sluten kurva. Däremot, som det nämndes innan, kommer
spinorerna efter 2pi att flippa runt, det vill säga att de kommer byta riktning från höger till
vänster. Då θ = 4pi, har vi den följande representationen:
Figur 9: En 4pi-rotation längs bältets längd med spinorens orientering.
Därmed fås samma orientering hos bältet efter en 4pi-rotation som i figur 7 a), eftersom enligt
spinorerna tar riktningar ut varandra och man kommer fram till startpositionen. Detta kan ses
som att en rotation av 4pi inte är en rotation alls och istället betraktas som en sluten kurva i
kvaternionrummet S3.
6.2 Boll-Tricket
Ännu ett exempel då ordningen av en sekvens rotationer har betydelse är det så kallade
boll-tricket. Det går till på följande vis:
• Placera en boll på ett bord och lägg handen på bollen parallellt med bordsytan. Låt
bordsytan ligga i x,y-planet med z-axeln riktad uppåt, ut ur bordet.
• Rör nu handen i små cirklar medurs och notera vad som händer med bollen.
Bollen roterar långsamt moturs runt z-axeln som är ortogonal mot bordsytan trots att vi aldrig
direkt roterar bollen runt den axeln. I figur 11 visualiseras projektionen av bollens orientering där
dess begynneslseram svarar mot kvaternionen q[1,0]. I avsnitt 5.3.1 konstaterades att
kvaternionmultipliktation motsvarade ramrotation, kurvan i figuren visualiserar därmed en
sekvens av kvaternionmultiplikationer. Rotation medurs i xy-planet resulterar i sekvensen
q[cos θ(t−dt)2 , sin
θ(t−dt)
2 θˆ(t− dt)]...q[cos
θdt
2 , sin
θdt
2 θˆ(dt)]q[1,0] där θˆ(t) = sin θtxˆ− cos θtyˆ och θ
en konstant liten rotationsvinkel. Detta märks ännu tydligare ifall bollen först roteras pi2 runt
negativa y-axeln, följt av pi2 runt x-axeln och slutligen
pi
2 runt y-axeln. Resultatet av den sekvens
kan ses i figur 10.
(a) (b) (c) (d)
Figur 10: Visualisering av sekvensen av rotationer som refereras i exempel 2, färg och skiva indikerar
orientering av bollen.
Detta sker eftersom rotationer ej är kommutativa, annars hade den resulterande rotationen av
det andra exemplet varit pi/2 runt x-axeln och kurvan i figur 11 hade varit sluten i q1q2-planet.
Rotationer kring x- och y-axlarna kan ge upphov till rotation kring z-axeln vilket också kan inses
med tillämpning av Eulers vinklar med rotationshierarkin YXY, se avsnitt 5.3.3 [2].
7 Avancerad Teori
I detta kapitel undersöks mer avancerade egenskaper hos kvaternionen och hur dessa kan
visualiseras. Speciellt utforskas kvaternionens relation till 3D-ytor.
12
Figur 11: Kvaternionkurvan för långsam cirkulär rörelse med projektionen av kvaternionramens
imaginärdel. Lägg märke till att kurvan ej är sluten och sträcker sig i q3-led vilket betyder att
bollens orientering roterats i z-led.
7.1 3D-ytor
I detta avsnitt utreds hur 3D-ytor kan beskrivas med kvaternioner. Vi kommer använda oss av
kvaternionramar (se avsnitt 5.2) för att beskriva 3D-ytorna. Kvaternionramar ger oss möjligheten
att beskriva alla typer av ytor och samtidigt karaktärisera ytans textur, vilket generar diverse
användningsområden. Mer precist kommer vi i denna rapport endast behandla släta
differentierbara 3D-ytor. Teorin som presenteras nedan kan även justeras för att utvidgas till fyra
dimensioner [2].
Vi använder oss av rotationsmatrisen Rq (10) och rena kvaternioner för att få de exakta
komponenterna av Rq, vilket är qvq¯ = q(0,v)q¯ = (0, Rqv). Vi använder sambandet mellan 3× 3
matrisen Rij och en godtycklig kvaternion q enligt:
Rq(V)i =
∑
j
RijV
j = q(0, V i)q−1.
Varje ortonormal ramkomponent kan beskrivas som en kolumn av Rij och en godtycklig ram fås
då genom att applicera sats 5 på de tre kartesiska axlarna (representerade med rena
kvaternioner):
Tˆ1 = q(0, xˆ)q−1,
Tˆ2 = q(0, yˆ)q−1,
Nˆ = q(0, zˆ)q−1.
(16)
Vi skriver det som en matris av kvaternioner i kvadratisk form där ramvektorerna är kolumner.
[
[Tˆ1] [Tˆ2] [Nˆ]
]
= Rq. (17)
Genom att ta differentialen och använda oss av hastighets normaliseringen v(t) = ‖x′(t)‖ så kan
kvaterniondifferentialen skrivas som:




q′0
q′1
q′2
q′3



 = v(t)
1
2




0 −kx −ky −kz
kx 0 kz −ky
ky −kz 0 kx
kz ky −kx 0



 ·




q0
q1
q2
q3



 . (18)
Om k = 2(q0dq− qdq0 − q× dq) får vi:
dTˆ1 = q(0,k× xˆ)q−1,
dTˆ2 = q(0,k× yˆ)q−1,
dNˆ = q(0,k× zˆ)q−1.
(19)
13
Nu har vi formulerat ramekvationer med kvaternioner och dessa kan användas för att beskriva
egenskaper hos 3D-ytor. Först skall vi studera en parameterrepresentation av ytor på klassiskt vis:
[
∂Nˆ(u, v)
∂u
∂Nˆ(u, v)
∂v
]
=
[
Tˆ1(u, v) Tˆ2(u, v)
]
[κ] , (20)
Egenvärdena till matrisen [κ] är ytans huvudkrökningar k1 och k2, det vill säga den maximala
och minimala krökningen i en given punkt. Då är K = det [κ] = k1k2 vår Gauss-krökning och
H = 12 tr [κ] =
k1+k2
2 är den genomsnittliga krökningen [2].
För att beskriva samma ytegenskaper som ovan men med kvaternioner så används uttrycket för
differentialen (18) och ramparametriseringen (a,b):
qu ≡
∂q
∂u =
1
2q(0,a),
qv ≡
∂q
∂v =
1
2q(0,b).
Vi kan nu skriva om ekvation (20) med kvaternioner för att beskriva krökningen, vi använder
standardnotation från differentialgeometrin där K och H är lokala krökningar. Därmed kan de
lokala krökningarna skrivas i termer av ett godtyckligt oberoende linjärt par av vektorfälten
(U,V) som
DUNˆ×DVNˆ = K(U×V), (21)
DUNˆ×V + U×DVNˆ = 2H(U×V), (22)
där U = xu · 5 och V = xv · 5. Genom att använda ekvationerna (21), (22),
kvaternionidentiteten Iˆ = (1,0) = q(1,0)q−1 och (16) får vi:
quq
−1
v = −
1
4
q(0,a)(0,b)q−1 = −
1
4
q(−a · b,a× b)q−1
= −
1
4
[−a · bIˆ + (a× b)xTˆ1 + (a× b)yTˆ2 + (a× b)zNˆ1. (23)
koefficienten framför Nˆ är vår Gauss-krökning (a× b)z = K. Den genomsnittliga krökningen ges
på likande vis av:
q(0, xˆ)q−1u + q(0, yˆ)q
−1
v = −
1
2
q(−xˆ · a− yˆ · b, xˆ× a + yˆ × b)
= −
1
2
[
−(ax + by )ˆI + bzTˆ1 − azTˆ2 + (ay − bx)Nˆ
]
. (24)
där (ay − bx) = tr[κ] = 2H är uttrycket för vår genomsnittliga krökning. Projektionen mot
normalens Nˆ riktning av våra ekvationer (23) och (24) ger oss vår Gauss- och genomsnittliga
krökning:
K = det
[
ay(u, v) −ax(u, v)
by(u, v) −bx(u, v)
]
= axby − aybx,
H =
1
2
tr
[
ay(u, v) −ax(u, v)
by(u, v) −bx(u, v)
]
=
1
2
(ay − bx).
Vi kan även utöka liknande ekvationer till 4D genom vår differens (18) [2].
7.2 Visualisering av 3D-ytor
Vi vill nu visualisera teorin från avsnitt 7.1. Vi kommer använda oss av Gaussavbildning för att
avbilda kvaternionramar. Gaussavbildning är i stora drag en nätmaskindelning av en enhetssfär
där varje knutpunkt är normalens riktning av motsvarande nod på en indelad yta. Ramar
behöver inte användas för att genomföra en Gaussavbildning utan det skulle vara tillräckligt att
använda enbart ytans noder och normaler, men då försvinner en del egenskaper. En central
14
egenskap är möjligheten att applicera egenskaper på ytan, exempelvis en textur. Dessutom kan
man alltid vid givet koordinatsystem konvertera systemet till kvaternionramar och därmed
erhålla egenskaperna hos kvaternioner. Eftersom den klassiska beskrivningen av ramar och
projektionen av koordinaten befinner sig i samma rum som kvaternionramarna, båda planen är
nämligen vinkelrätta med zˆ−axeln [2].
Innan kvaternioner tillämpas för Gaussavbildning ges först den klassiska definitionen av
Gaussavbildning:
Definition 7. Låt S ⊂ R3 vara en yta med en orientering N. Avbildningen N : S → R3 tar sina
värden i enhet 2-sfären S2. Avbildningen N : S → S2 kallas Gaussavbildning av ytan S [9].
Vi kan använda oss av att Gaussavbildningen är differentierbar i punkten p ∈ S och att
dNp : TpS → TN(p)S2 är en linjär avbildning för att få informationen om krökningen. Vi vet att vi
då befinner oss i ett delrum av R3 och att Tp = tN(p)S2. Därmed kan vi skriva dNp : TpS → TpS.
Informationen om krökningen av en yta ges då av diffrentieringen av normalen som i (20) [9].
Vi ska nu beskriva hur man kan använda Gaussavbildning med kvaternioner. Det är dock en
komplicerad process att differentiera Rq som vi gjorde med den klassiskt beskrivna ramen
eftersom Rq är kvadratisk och samtidigt består av alla kvaternionkomponenter. Istället används
en projektion till ett delrum av kvaternionrummet baserat på bilinjäriteten av kvaternioner på
rena vektorer genom att använda oss av exempelvis Hopf avbildning, vilket är ett sätt att
beskriva S3 med hjälp av cirklar och en vanlig sfär. Vi kan alltså använda oss av delar för att
konstruera hela vår avbildning. Dessa delar är så kallad lappytor och ur klassisk avbildningsteori
fås att det behövs åtminstone två separata lappytor för att kunna placera en komplett mängd av
koordinater. För kvaternion-Gaussavbildning så använder man kvaternionramar istället för
koordinater, därmed gäller att för varje punkt x av en lappyta så har vi en avbildning som går
från vår lappyta till S3. Relationen mellan två kvaternionramar q och q′ av två närliggande
lappytor U och U ′ ges av kvaternionmultiplikation med en övergångsfunktion t:
q′ = tq.
Detta ger oss en explicit övergångsfunktion mellan två lappytor. Det är ett liknande
tillvägagångssätt för att beskriva en komplett avbildning, men då måste man också ta hänsyn till
den explicita relationen mellan kvaternionramar för varje lappyta som de delar i varje punkt. En
sådan relation kan beskrivas enligt:
t(θ) = qytlapp1(θ)q
−1
ytlapp2
(θ)
där varje punkt som lappytorna delar med varandra, d.v.s. U ∩ U ′ är parametriserad av θ.
Det finns olika optimeringsstrategier för hur man ska välja ramar och i sin tur lappytor för att
exempelvis ta bort onödiga vridningar och vändningar av formen. Intuitivt kan man tänka sig att
man vill minimera antalet vridningar som ramkurvan behöver ta sig från startpunkten på ramen
till slutpunkten på ramen. Denna strategi kallas för Minimal längd och area strategin och
visualiseras i figur 12.
15
Figur 12: Exempel: En sfär uppdelad i två ytlappar, en sydpol och en nordpol, med Minimal längd
och area strategin.
8 Tillämpning av Avancerad Teori
I detta kapitel tillämpas kvaternionteorin i en kollisionssimulering. För att kunna använda teorin
ovan så begränsar vi oss till kollisioner mellan konvexa former. Läsaren påminns om att vårt syfte
inte är att producera en effektiv kollisionsalgoritm utan att visa hur kvaternioner och dess
visualisering kan tillämpas.
8.1 Kollisiondetektion
Vi använder oss av Minkowski-differensen för att se om två konvexa former är i kollision. Vi
börjar med att definiera Minkowski-differensen:
Definition 8. Låt A och B vara två konvexa objekt. Minkowski-summa av A och B, A,B ∈ R3 :
A⊕B = {a+ b|a ∈ A, b ∈ B}
Om vi sätter −B = {−b|b ∈ B} så får vi Minkowski-differensen:
A	B = A⊕ (−B) = {a− b|a ∈ A, b ∈ B} .
Vi uppmärksammar att Minkovski-differensen B 	A också är en konvex form, N , vilket ger att
om följande villkor är uppfyllt så har vi en kollision.
NB	A(n) = NB(n)−NA(−n).
Vi ser då att om det sker en kollision så måste NB	A(n) innehålla minst en punkt [10].
Anmärkning: Vi kan använda diverse metoder för att beskriva konvexa former, ett alternativ är
Superquadratic, se appendix B.
16
Figur 13: Exempel: En visualisering av två Superquadratic objekt, vars Minkowski-differens inne-
håller minst en punkt. Dessutom är normalerna visualiserade.
8.2 Kollision med friktion
Det vore enklare att undersöka friktionsfri kollision till skillnad från med friktion, eftersom det då
är möjligt att direkt lösa för kollisionskraften men vid makroskopiska kollisioner ger detta ej
verklighetstrogna resultat [3] [11]. Å andra sidan är det svårt att beräkna kraften för kollision
med friktion. En lösning som nedan redovisas ges av en metod utvecklad av Brian Mitrich som
istället för kraft beräknar impulsen [11]. Det är dock de inblandade kvaternionerna som ska
visualiseras, inför simulering är det därför lämpligt att beskriva en kropps dynamiska tillstånd i
termer av kvaternioner.
8.2.1 Dynamiskt tillstånd och kvaternionform
Betrakta ett dynamiskt tillstånd x(t):
x(t) =




rcm(t)
R(t)
v(t)
ω(t)



 (25)
där rcm är masscentrumposition, R orientering, v(t) hastighet och ω vinkelhastighet. Tillståndet
innehåller alltså all nödvändig information för kollisionsdetektion och kollisionssimulering. För att
studera tillståndets beteende i kvaternionrummet översätts alla variabler till kvaternionform.
Alltså, vektorerna representeras av rena kvaternioner och orienteringen (rotationsmatrisen) av
korresponderande enhetskvaternion:
xq(t) =




qcm(t)
q(t)
qv(t)
qω(t)



 (26)
där qcm(t) = [0, rcm(t)], qv(t) = [0,v(t)], qω(t) = [0,v(t)] och R(t) = R(q(t))→ q(t). Om
tillståndets komponenter normaliseras så kan de visualiseras (se kapitel 5.4).
8.2.2 Impulsbaserad kollisisonsmodell
Modellen presenteras genom en sats vars bevis läsaren finner i appendix eller i artiklarna [11]
[13]. Modellen baseras på tre antaganden vilka först presenteras och därefter följer satsen.
Antagande 1: Infinitesimal kollisionstid
Antagandet tillåter att kropparnas rörelse behandlas som konstant under kollisionsförloppet.
Rimligt eftersom kroppsrörelsen ofta är försumbar under kollisionstiden.
Antagande 2: Poissons hypotes
17
Kontaktytan upplever vid kollision en kompression- och en expansionsfas, den totala impulsen p
antas vara relaterad till kompressionsimplulsen pk enligt
p = (1 + )pk (27)
där  är restitutionkoefficienten. Modellen kommer från empiriska test [13].
Antagande 3: Coulombfriktion
För en friktionskoefficent µ, en friktionskraft ff och kollisionpunktens tangethastighet ut antas
det vid glidning gälla
ut 6= 0⇒ ff = −µfnuˆt (28)
och vid rullning
ut = 0⇒ |ff | ≤ −µ|fn|. (29)
Dessa relationer är härledda från experiment.
Sats 6. Vid en stelkroppskollision under antaganden 1,2 och 3 fås förändringen av en kropps
dynamiska tillstånd genom att integrera av ekvation (30) vid glidning och ekvation (31) vid
rullning[13].
∆u′ =


u′x(pz)
u′y(pz)
u′z(pz)

 = M




−µ ux(pZ)√
u2x(pZ)+u
2
y(pZ)
−µ uy(pZ)√
u2x(pZ)+u
2
y(pZ)
1



 = Mp
′. (30)


0
0
u′z

 = M


α
β
1

 (31)
där
∆v(pz) =
1
m
p(pz) (32)
∆ω(pz) = J
−1(r × p(pz)). (33)
Där α2 + β2 ≤ µ2 och integrationen görs m.a.p på impulsen pz, koordinatsystemet är valt så att
z-riktningen är parallell med normalriktningen vid kollisionspunkten och matrisen M beror på
massan och massfördelningen hos kropparna.
För beräkning av matrisen M hänvisas läsaren återigen till appendix eller till artiklarna [11] [13].
Kollsisionsdetektionen beskriven i föregående kapitel används även till att finna
kollisionssystemet, d.v.s kvaternionen vilka xyz-riktningar som korresponderar mot pz, ux, uy och
uz. Därefter integreras ekvationerna ovan numeriskt tills uz = 0, då är kompressionsfasen över
och enligt antagande gäller pzf = (1 + )pz, integrationen fortsätter alltså tills pz = pzf och vi får
till slut den totala impulsen p(pzf )(från ekvation (30) och (31)) vilken används i ekvationerna
(35) och (36) för finna kropparnas nya hastighet och vinkelhastighet.
8.3 Visualisering av en kollision
I detta avsnitt visualiseras två kollisioner genom simulering med hjälp av teoribeskrivningen från
avsnitt 8.2. En kollision mellan två sfärer med samma egenskaper men olika begynnelsetillstånd.
En andra simulering gjordes för en sfär som kolliderar mot ett plan (se figur 15). Kvaternionen
svarande mot sfärens orientering ses i figur 14. En kortfattad beskrivning på hur vi genomfört
vardera simulering samt kod kan avläsas i Appendix C respektive D.1.5 och D.1.6.
18
Figur 14: Orienteringen hos sfären med kollision mot ett plan. Den blåa linjen representerar banan
innan kollisionen (röda punkten) och den streckade är vad som sker efter kollisionen med planet.
Notera att kurvans riktningsförändring innan och efter kollisionen beror på kollision med golvet.
(a) (b)
(c)
Figur 15: Simulering av en kollision mellan ett plan och en sfär. Figur a) visar startpositionerna
medan i b) sker kollisionen. Figur c) visar vad som sker efter kollisionen har genomförts.
19
(a) (b)
(c)
Figur 16: Simulering av en kollision mellan två sfärer. Figur a) och b) visar objekten precis innan
och under kollisionsmomentet. I figur c) har kollisionen utförts.
9 Slutsatser och Diskussion
Resultatet av denna litteraturstudie visar att kvaternioner kan användas för att beskriva rotation
och orientering samt att de kan vara mer lämpliga att använda än Eulervinklar. En anledning till
detta är Eulervinklarnas inneboende singularitet kallad Gimbal-lock, som
kvaternionframställningen inte delar. Det finns dock tillämpningar för att använda Eulers vinklar
då rörelsen är begränsad. Matrisoperationer är ofta mer effektiva vilket resulterar i att det kan
vara fördelaktigt att växla mellan metoderna. Kvaternionen avbildar rotationsmatriser (eller
ramar) till punkter vilket gör det möjligt att definiera ett entydigt likhetsmått (distansen i S3),
och rotationssekvenser avbildas som kurvor. Dessa egenskaper tillåter oss att förstå fenomen
Bält- och Boll-tricket men det finns mer kraftfulla tillämpningar av dessa egenskaper som vi inte
utrett. Ett exempel gäller att finna en optimal eller differentierbar rotationssekvens mellan två
ramar, vilket kan göras genom att studera och interpolera kvaternionkurvor. Detta är viktigt
inom animation för att skapa mjuka rörelser.
För att visualisera kvaternioner studerades två typer av projektion till tre dimensioner,
stereografisk projektion och projektion med kvadratrotsmetoden. Kvadratrotsmetoden bevarar
formen och proportionerna bättre men kan samtidigt vara mer komplicerad att visualisera i
jämförelse med stereografisk projektion.
Användning av kvaternioner inom differentialgeometri kan vara fördelaktigt för att beskriva
komplexa ytor, då användandet av kvaternioner erhåller de fundamentala fördelarna med
kvaternioner. Dessutom kan teorin utvidgas till fyra dimensioner på ett naturligt sätt, då
kvaternioner i grunden är fyrdimensionella. Kvaternion-Gaussavbildning avbildar komplexa
kvaternionramar genom användning av så kallade lappytor. Tillämpningen av kvaternioner inom
differentialgeometrin fastställer fördelaktiga avseenden med kvaternioner, mer specifikt i
sammanhang av rapportens syfte; visualisering och användning.
Syftet med denna rapport var att åskådliggöra tillämpning och visualiserng av kvaternioner vilket
har gjorts men ingen ny kunskap har presenterats. Kvaternionen har en lång historia och är ett
pågående forskningsfält och därmed är kunskapen förmedlad i denna rapport mycket begränsad.
20
Referenser
[UR] Utformning av rapporter och kandidatarbetens skriftliga presentation för
Civilingenjörsprogrammen vid Chalmers tekniska högskola. 2008. Göteborg: Chalmers
Tekniska Högskola.
[1] Coutsias E, Romero L. The Quaternions with an application to Rigid Body Dynamics
[Internet]. New Mexico: Department of Mathematics and Statistics; 1999. Hämtad från:
http://www.ams.stonybrook.edu/ coutsias/papers/rrr.pdf.
[2] Andrew J. Hanson. Visualizing Quaternions: Series in interactive 3D technology. San
Francisco: Morgan Kaufmann Publishers; 2006.
[3] Wang H. Rigid Body Dynamics [Opublicerat material]. Hämtad från:
http : //web.cse.ohio− state.edu/ wang.3602/courses/cse3541− 2017− fall/rigidnote.pdf
(2017).
[4] Vince J. Quaternions for Computer Graphics. 1 ed. New York: Springer; 2011.
[5] Dam E, Koch M, Lillholm M. Quaternions, Interpolation and Animation. Köpenhamn:
Deparment of Computer Science, University of Copenhagen; 1998.
[6] Sciliano B, Sciavicco L, Oriolo G. Robotics - Modelling, Planning and Control. 1 ed.
London: Springer; 2010.
[7] Eater B, Sanderson G. Visualizing quaternions, An explorable video series;2018 [citerad
2020-05-14]. Hämtad från: https://eater.net/quaternions
[8] Mark Staley. Understanding Quaternions and the Dirac Belta Trick [Internet]. New York:
Cornell University; 2010. Hämtad från: https://arxiv.org/abs/1001.1778?context=physics.
[9] Kamberova, George & Kamberova, Gerda. Recovering Surfaces from the Restoring Force
[Internet]. New Jersey & New York: Stevens Insitue of technology & Hofstra univerisy;
2004. Hämtad från:
https :
//cs.hofstra.edu/courses/2004/spring/csc120/01/reappt/paper702printoptimized.pdf .
[10] Jacobs, Scott. Game Programming Gems 7. Course Technology; 2008.
[11] Mirtich B, Canny J. Impulse-based Simulation of Rigid Bodies [Internet]. California:
University of California at Berkeley; 1995. Hämtad från:
https://graphics.stanford.edu/courses/cs468-03-winter/Papers/ibsrb.pdf.
[12] Laura Downs. A Proof of the Quaternion Rotation Representation. Berkeley EECS. 2003
(2019-03-02).
[13] Mirtich B, Canny J. Impulse-based Dynamic Simulation [Internet]. California: University
of California at Berkeley; 1995. Hämtad från:
https://graphics.stanford.edu/courses/cs468-03-winter/Papers/ibds.pdf.
[14] Barr, Alan. Superquadrics and Angle-Preserving Transformations in IEEE Computer
Graphics and Applications, vol. 1, no. 1, Jan. 1981, doi: 10.1109/MCG.1981.1673799.
21
Bilagor
A Bevis för sats 6 23
B Superquadratics 24
C Kollsionsdetektion och restriktioner 25
D Visualiseringar 26
D.1 Blender . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
D.1.1 Visualisering av figur: 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
D.1.2 Visualisering av figur: 7-9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
D.1.3 Visualisering av figur: 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
D.1.4 Visulaisering av figur: 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
D.1.5 Visualisering av figur: 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
D.1.6 Visualisering av figur: 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
D.2 MatLab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
D.2.1 Visualisering av figur: 4 och 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
D.2.2 Visualisering av figur: 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
D.2.3 Visualisering av figur: 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
D.2.4 Visualisering av figur: 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
22
A Bevis för sats 6
Bevis. Notation för att kunna särskilja de olika kropparna och deras tillstånd vid
kollisionsögonblicket. Ett heltals index i används för att beteckna tillståndsvariabeler
tillhörnandes t.ex. kropp 1.
mi = Massan för kropp i.
J i = Tröghetsmatris för kropp i.
vi = Hastighet för masscentrum för kropp i.
ui = Hastighet för kontaktpunkt för kropp i.
ri = Kontaktpunktposition relativt masscentrum för kropp i.
ωi = Vinkelhastighet för kropp i.
p = Total impuls.
På grund av antagande 1 räcker det att studera ∆ui d.v.s hur hastigheten för kontaktpunkterna
på respektive kropp förändras, vilket görs med en kollisionsparameter γ. Vi låter γ = pz där pz är
den totala impulsen i normalriktningen, notera att initialt gäller γ = pz = 0 och att den
kontinuerligt ökar under kollisionen. Vid kollisionsögonblicket gäller att
ui = vi + ωi × ri. (34)
och för förändringen vid γ.
∆ui(γ) = vi(γ)− vi(0) + ωi(γ)× ri(γ)− ωi(0)× ri(0)
=
1
mi
(pi(γ)− pi(0)) + J
−1
i (γ)(ri × pi(γ))− J
−1
i (0)(ri × pi(0))
=
1
mi
pi(γ) + J
−1
i (ri × pi(γ))
= (
1
mi
I − r×i J
−1
i r
×
i )pi(γ)
Där
r×i =


0 −riz riy
riz 0 rix
−riy rix 0


och notera att J i och ri enligt antagande 1 är konstanta och oberoende av γ, samt att p(0) = 0.
Vidare har vi
∆u = u1 − u2
= (
1
m1
I − r×1 J
−1
1 r
×
1 )p1(γ)− (
1
m2
I − r×2 J
−1
2 r
×
2 )p2(γ)
= M(p1 − p2)
= M∆p
Det gäller alltså att
∆u′ = Mp′
∆vi(γ) =
1
m
(p(γ)− p(0) =
1
m
p(γ) (35)
∆ω(γ) = J−1(r × p(γ)). (36)
Från antagande 3 inses att två fall behöver behandlas. Vi börjar med glidning. Låt
θ(pz) = arg(ux + iuy), alltså vinkeln för glidriktningen i kollisionskoordinat. Det gäller att
p′x =
dpx
dpz
=
dpx
dt
dt
dpz
= fx
1
fz
23
och
p′y =
dpy
dpz
=
dpy
dt
dt
dpz
= fy
1
fz
.
p′z =
dpz
dpz
= 1
Enligt antagande 3
fx = −(µ cos θ)fz ⇒ p
′
x = −µ cos θ
fy = −(µ sin θ)fz ⇒ p
′
y = −µ sin θ.
Alltså har vi


u′x
u′y
u′z

 = M



−µ ux√
u2x+u
2
y
−µ uy√
u2x+u
2
y
1


 . (37)
I fallet för rullning gäller
u′x = u
′
y = 0⇒


0
0
u′z

 = M


α
β
1


Enligt antagande måste det gälla att |ff |2 = α2 + β2 ≤ µ2.
B Superquadratics
Superquadratics är en samling av geometriska 3D-former med definierade huvudaxlar. Den
implicita formen för superquadratics är:
|x|r + |y|s + |z|t = 1
där r, s, t ∈ R+ bestämmer den geometriska formen. Vi kan även införa skalärer för varje
respektive axel och får då för A,B,C ∈ R :
∣
∣
∣
x
A
∣
∣
∣
r
+
∣
∣
∣
y
B
∣
∣
∣
s
+
∣
∣
∣
z
C
∣
∣
∣
t
= 1.
vi parametrisera ekvationen med parametrarna u och v, där −pi2 ≤ v ≤
pi
2 och −pi ≤ u < pi, och
får då:
x(u, v) = Ag
(
v,
2
r
)
g
(
u,
2
r
)
,
y(u, v) = Bg
(
v,
2
s
)
f
(
u,
2
s
)
,
z(u, v) = Cf
(
v,
2
t
)
,
där f och g är våra axelfunktioner definierade som:
f(ω,m) = sgn(sinω)| sinω|m,
g(ω,m) = sgn(cosω)| cosω|m
.
Genom teorin presenterad ovan så kan vi genera olika typer av formar som tillhör gruppen av
Superquadratics [14].
24
C Kollsionsdetektion och restriktioner
Kollisionsdetektion
Genom att använda oss av två objekt i Blender så kan vi använda oss av radien på våra sfärer,
vilket i detta fall är 30 cm, samt längden på planet för att upptäcka om det sker en kollision med
en kollsionsmarginal på 0 mm, eftersom vi har en exakt beskrivning av ytan på sfären via radien.
Om vi valt en annan form på våra konvexa objekt hade Blender approximerat ytan runt våra
objekt, vilket gör att vi inte får en lika verklighetstrogen simulering.
Restriktioner
I första simuleringen tilldelar vi alla sfärer en massa på 4kg och sätter objekten 3m ifrån
varandra. I simuleringen så har vi antagit en friktionskoefficient på 0.25. Nästa steg är att
beräkna de krafter vi vill ska påverka våra objekt och vi har använt Newtons gravitationskraft
F = Gm1m2r2 . Vi kan approximera gravitationen på jorden till m · 9, 80665. Vi har dessutom
använt två ytterligare krafter. En kraft F1 = 600 N som påverkar sfär 1 i riktning mot sfär 2 och
en kraft F2 = 600 N som påverkar sfär 2 mot sfär 1. Krafterna avtar i enlighet med 1/rF . Genom
att i simuleringen använda oss av en gravitation som flyttar objekten ner och samtidigt en kraft
som flyttar objekten i respektive riktning så kommer vi naturligt få en rotation i i q1− och
q2-riktningen.
Den andra simuleringen följer den första simuleringens premisser. Skillnaden från den första
simuleringen är att kollisionen sker med ett plan. Planet är ett passivt objekt, vilket innebär att
planet är fixerat för att kunna representeras som en vägg i verkligheten. Simuleringen utfördes så
att det endast sker en kollision mellan planet och sfären. Orienteringen för sfären under
simuleringen kan avläsas i figur 14.
25
D Visualiseringar
D.1 Blender
Kommandon och filer för visualiseringar som genomförts med Blender finns nedanför. Vi har valt
att skriva med alla kommandon som gjorts i Blender och dessutom har vi laddat upp filerna på
GitHub för att läsaren på ett smidigt sätt skall få tillgång till filerna.
Alternativt:
https://github.com/dunderlime/Visualisering-med-kvaternioner
D.1.1 Visualisering av figur: 6
1 bl_info = {
2 "name": "Visualisering av Mobius -strip"
3 "author" "Philip Karlsson",
4 "version": (1,0),
5 "blender": (2,80,0),
6
7 }
8
9 import bpy
10
11 bpy.ops.object.empty_add(type=’ARROWS ’, location =(0, 0, 0))
12 bpy.context.object.rotation_mode = ’QUATERNION ’
13 bpy.context.object.rotation_quaternion [0] = 0.707
14 bpy.context.object.rotation_quaternion [1] = 0
15 bpy.context.object.rotation_quaternion [2] = 0
16 bpy.context.object.rotation_quaternion [3] = 0.707
17
18 plane =bpy.ops.mesh.primitive_plane_add(location =(0, 0, 0))
19 bpy.context.object.scale [0] = 1
20 bpy.context.object.scale [1] = 8
21 bpy.context.object.scale [2] = 1
22 bpy.ops.object.editmode_toggle ()
23
24 def view3d_find( return_area = False ):
25 for area in bpy.context.window.screen.areas:
26 if area.type == ’VIEW_3D ’:
27 v3d = area.spaces [0]
28 rv3d = v3d.region_3d
29 for region in area.regions:
30 if region.type == ’WINDOW ’:
31 if return_area: return region , rv3d , v3d , area
32 return region , rv3d , v3d
33 return None , None
34
35 region , rv3d , v3d , area = view3d_find(True)
36
37 override = {
38 ’scene’ : bpy.context.scene ,
39 ’region ’ : region ,
40 ’area’ : area ,
41 ’space’ : v3d
42 }
43
44 bpy.ops.mesh.loopcut_slide(
45 override ,
46 MESH_OT_loopcut = {
47 "number_cuts" : 40,
48 "smoothness" : 0,
26
49 "falloff" : ’SMOOTH ’,
50 "edge_index" : 2,
51 "object_index" : 0,
52 "mesh_select_mode_init" : (True , False , False)
53 },
54 )
55
56 bpy.ops.object.editmode_toggle ()
57 bpy.ops.object.modifier_add(type=’SIMPLE_DEFORM ’)
58 bpy.context.object.modifiers["SimpleDeform"]. deform_axis = ’Y’
59 bpy.context.object.modifiers["SimpleDeform"].angle = 3.14159
60 bpy.ops.object.modifier_apply(apply_as=’DATA’, modifier="SimpleDeform")
61 bpy.ops.object.modifier_add(type=’SIMPLE_DEFORM ’)
62 bpy.context.object.modifiers["SimpleDeform"]. deform_method = ’BEND’
63 bpy.context.object.modifiers["SimpleDeform"]. origin = bpy.data.objects["Empty"]
64 bpy.context.object.modifiers["SimpleDeform"]. deform_axis = ’Z’
65 bpy.context.object.modifiers["SimpleDeform"].angle = 6.28319
66 bpy.ops.object.modifier_apply(apply_as=’DATA’, modifier="SimpleDeform")
67
68 bpy.ops.object.editmode_toggle ()
D.1.2 Visualisering av figur: 7-9
1 bl_info = {
2 "name": "Visualisering av Balt -tricket"
3 "author" "Philip Karlsson",
4 "version": (1,0),
5 "blender": (2,80,0),
6
7 }
8
9 import bpy
10
11 bpy.ops.object.empty_add(type=’ARROWS ’, location =(0, 8, 0))
12 bpy.context.object.rotation_mode = ’QUATERNION ’
13 bpy.context.object.rotation_quaternion [0] = 1
14 bpy.context.object.rotation_quaternion [1] = 0
15 bpy.context.object.rotation_quaternion [2] = 0
16 bpy.context.object.rotation_quaternion [3] = 0
17
18 plane =bpy.ops.mesh.primitive_plane_add(location =(0, 0, 0))
19 bpy.context.object.scale [0] = 1
20 bpy.context.object.scale [1] = 8
21 bpy.context.object.scale [2] = 1
22 bpy.ops.object.editmode_toggle ()
23
24 def view3d_find( return_area = False ):
25 for area in bpy.context.window.screen.areas:
26 if area.type == ’VIEW_3D ’:
27 v3d = area.spaces [0]
28 rv3d = v3d.region_3d
29 for region in area.regions:
30 if region.type == ’WINDOW ’:
31 if return_area: return region , rv3d , v3d , area
32 return region , rv3d , v3d
33 return None , None
34
35 region , rv3d , v3d , area = view3d_find(True)
36
37 override = {
38 ’scene’ : bpy.context.scene ,
39 ’region ’ : region ,
40 ’area’ : area ,
41 ’space’ : v3d
42 }
43
44 bpy.ops.mesh.loopcut_slide(
45 override ,
46 MESH_OT_loopcut = {
47 "number_cuts" : 40,
48 "smoothness" : 0,
27
49 "falloff" : ’SMOOTH ’,
50 "edge_index" : 2,
51 "object_index" : 0,
52 "mesh_select_mode_init" : (True , False , False)
53 },
54 )
55
56 bpy.ops.object.editmode_toggle ()
57 bpy.ops.object.modifier_add(type=’SIMPLE_DEFORM ’)
58 bpy.context.object.modifiers["SimpleDeform"]. origin = bpy.data.objects["Empty"]
59 bpy.context.object.modifiers["SimpleDeform"]. deform_axis = ’Y’
60 bpy.context.object.modifiers["SimpleDeform"].angle = 12.56637 # Change to 3.14159 ,
6.28319 , or 0 for other pictures
61 bpy.ops.object.modifier_apply(apply_as=’DATA’, modifier="SimpleDeform")
D.1.3 Visualisering av figur: 12
1 bl_info = {
2 "name": "Visualisering av kvaternion Gauss map",
3 "author": "Emil Hietanen",
4 "version": (1, 0),
5 "blender": (2, 80, 0),
6
7 }
8
9
10 import bpy
11
12 bpy.ops.mesh.primitive_uv_sphere_add(location =(0, 0, 0))
13 bpy.ops.mesh.bisect(plane_co =( -0.390101 , 0.169852 , 0.854357) , plane_no
=(0.407088 , 0.913326 , -0.0107618) , xstart =791, xend =793, ystart =588, yend =45)
14
15 bpy.ops.mesh.primitive_uv_sphere_add(location =(0, 0, 0))
16 py.ops.mesh.bisect(plane_co =( -0.390101 , 0.169852 , 0.854357) , plane_no =(0.407088 ,
0.913326 , -0.0107618) , xstart =791, xend =793, ystart =588, yend =45)
17 bpy.context.space_data.overlay.show_ortho_grid = True
18 bpy.context.object.rotation_mode = ’QUATERNION ’
19 bpy.context.object.rotation_quaternion [0] = 0
20 bpy.context.object.rotation_quaternion [1] = 1
21 bpy.context.object.rotation_quaternion [2] = 0
22 bpy.context.object.rotation_quaternion [3] = 0
23
24 bpy.context.space_data.shading.type = ’SOLID’
25 bpy.context.space_data.shading.type = ’WIREFRAME ’
26 bpy.context.space_data.shading.type = ’WIREFRAME ’
27 bpy.context.space_data.shading.type = ’WIREFRAME ’
28 bpy.context.space_data.shading.type = ’SOLID’
29 bpy.context.space_data.shading.type = ’MATERIAL ’
30 bpy.context.space_data.shading.type = ’RENDERED ’
31
32
33 return {’FINISHED ’}
D.1.4 Visulaisering av figur: 13
1 bl_info = {
2 "name": "Fig: Kollisions detektion 1,
3 "author": "Emil Hietanen",
4 "version": (1, 0),
5 "blender": (2, 80, 0),
6 }
7
8
9 import bpy
10 from bpy.types import Operator
11 from bpy.props import FloatVectorProperty
12 from bpy_extras.object_utils import AddObjectHelper , object_data_add
13 from mathutils import Vector
14
15 bpy.context.space_data.shading.type = ’WIREFRAME ’
28
16 bpy.context.space_data.shading.type = ’WIREFRAME ’
17 bpy.context.space_data.shading.type = ’WIREFRAME ’
18 bpy.context.space_data.shading.type = ’SOLID’
19 bpy.context.space_data.shading.type = ’MATERIAL ’
20 bpy.context.space_data.shading.type = ’RENDERED ’
21 bpy.context.space_data.shading.type = ’SOLID’
22 bpy.context.space_data.shading.type = ’WIREFRAME ’
23 bpy.context.space_data.overlay.show_overlays = False
24 bpy.context.space_data.overlay.show_overlays = True
25 bpy.context.space_data.shading.type = ’WIREFRAME ’
26 bpy.context.space_data.shading.type = ’SOLID’
27 bpy.context.space_data.overlay.show_extra_edge_length = True
28 bpy.context.space_data.overlay.show_extra_edge_length = False
29 bpy.context.space_data.overlay.show_face_orientation = True
30 bpy.context.space_data.overlay.show_face_orientation = False
31 bpy.context.space_data.overlay.show_face_orientation = True
32 bpy.context.object.rotation_quaternion [1] = 10
33 bpy.context.object.rotation_quaternion [2] = 2
34 bpy.context.object.rotation_quaternion [3] = -4.6
35 bpy.ops.outliner.item_activate(extend=False , deselect_all=True)
36 bpy.context.object.rotation_mode = ’QUATERNION ’
37 bpy.context.object.rotation_quaternion [2] = -26.4
38 bpy.context.object.rotation_quaternion [1] = -1
39 bpy.context.object.rotation_quaternion [2] = -13.2
40 bpy.ops.outliner.item_activate(extend=False , deselect_all=True)
41 bpy.ops.outliner.select_box(tweak=True , xmin=52, xmax =142, ymin=42, ymax =86)
42 bpy.ops.object.editmode_toggle ()
43 bpy.ops.object.editmode_toggle ()
44 bpy.context.space_data.shading.type = ’WIREFRAME ’
45 bpy.context.space_data.shading.type = ’WIREFRAME ’
46 bpy.context.space_data.shading.type = ’WIREFRAME ’
47 bpy.context.space_data.shading.type = ’SOLID’
48 bpy.context.space_data.shading.type = ’WIREFRAME ’
49 bpy.context.space_data.overlay.normals_length = 0.0301
50 bpy.context.space_data.show_gizmo = True
51 bpy.context.object.location [1] = -0.95
52 bpy.context.object.location [1] = -0.97
53 bpy.context.object.rotation_quaternion [1] = 10.6
54 bpy.context.object.location [1] = -0.93
55 bpy.context.object.location [1] = -0.92
56 bpy.context.object.location [1] = -0.91
57 bpy.context.object.location [1] = -0.9
58 bpy.context.space_data.show_gizmo = False
59 bpy.ops.object.editmode_toggle ()
60 bpy.context.space_data.shading.type = ’WIREFRAME ’
61 bpy.context.space_data.shading.type = ’WIREFRAME ’
62 bpy.context.space_data.shading.type = ’SOLID’
63 bpy.context.space_data.shading.type = ’SOLID’
64 bpy.context.space_data.shading.type = ’WIREFRAME ’
65 bpy.context.space_data.shading.type = ’SOLID’
66 bpy.context.space_data.shading.type = ’MATERIAL ’
67 bpy.context.space_data.shading.type = ’WIREFRAME ’
68 bpy.context.space_data.shading.type = ’SOLID’
69 bpy.context.space_data.shading.type = ’WIREFRAME ’
70 bpy.ops.object.editmode_toggle ()
71 bpy.context.space_data.shading.type = ’SOLID’
72 bpy.context.space_data.shading.type = ’WIREFRAME ’
73 bpy.ops.object.editmode_toggle ()
29
D.1.5 Visualisering av figur: 15
1 bl_info = {
2 "name": "Kollision mellan sfar och plan",
3 "author": "Philip Karlsson",
4 "version": (1, 0),
5 "blender": (2, 80, 0),
6
7 }
8
9
10
11 import bpy
12 import math
13 from mathutils import Quaternion
14
15 bpy.ops.mesh.primitive_plane_add(size=8, enter_editmode=False , location =(0, 0, 0))
16 bpy.context.space_data.context = ’PHYSICS ’
17 bpy.ops.rigidbody.object_add ()
18 bpy.context.object.rigid_body.type = ’PASSIVE ’
19 bpy.context.object.rigid_body.friction = 0.25
20 bpy.context.object.rigid_body.restitution = 1
21 bpy.context.object.rigid_body.collision_shape = ’MESH’
22 bpy.ops.outliner.item_activate(extend=False , deselect_all=True)
23
24 bpy.ops.mesh.primitive_plane_add(size=3, enter_editmode=False , location =(0, 0, 0))
25 bpy.context.object.rotation_mode = ’QUATERNION ’
26 bpy.context.object.rotation_quaternion [0] = 0.707
27 bpy.context.object.rotation_quaternion [1] = 0
28 bpy.context.object.rotation_quaternion [2] = 0.707
29 bpy.context.object.rotation_quaternion [3] = 0
30 bpy.context.space_data.context = ’PHYSICS ’
31 bpy.ops.rigidbody.object_add ()
32 bpy.context.object.rigid_body.type = ’PASSIVE ’
33 bpy.context.object.rigid_body.collision_shape = ’MESH’
34 bpy.context.object.rigid_body.friction = 0.25
35 bpy.context.object.rigid_body.restitution = 0.3
36 bpy.context.object.rigid_body.use_margin = True
37 bpy.context.object.rigid_body.collision_margin = 0
38 bpy.context.space_data.context = ’MATERIAL ’
39 bpy.ops.material.new()
40 bpy.context.object.active_material.use_nodes = False
41 bpy.context.object.active_material.diffuse_color = (0.0762984 , 0.026208 , 0.8, 1)
42 bpy.context.object.active_material.diffuse_color = (0.0762984 , 0.026208 , 0.8, 1)
43 bpy.ops.outliner.item_activate(extend=False , deselect_all=True)
44
45 bpy.ops.mesh.primitive_uv_sphere_add(radius =0.3, enter_editmode=False , location
=(-3, 0, 1))
46 bpy.context.space_data.context = ’PHYSICS ’
47 bpy.ops.rigidbody.object_add ()
48 bpy.context.object.rigid_body.mass = 4
49 bpy.context.object.rigid_body.collision_shape = ’SPHERE ’
50 bpy.context.object.rigid_body.friction = 0.25
51 bpy.context.object.rigid_body.restitution = 0.3
52 bpy.context.object.rigid_body.use_margin = True
53 bpy.context.object.rigid_body.collision_margin = 0
54 bpy.context.object.rigid_body.angular_damping = 0.848
55 bpy.context.space_data.context = ’MATERIAL ’
56 bpy.ops.material.new()
57 bpy.context.object.active_material.use_nodes = False
58 bpy.context.object.active_material.diffuse_color = (0.8, 0.00778373 , 0.0094196 , 1)
59 bpy.context.object.active_material.diffuse_color = (0.8, 0.00778373 , 0.0094196 , 1)
60 bpy.ops.outliner.item_activate(extend=False , deselect_all=True)
61
62 bpy.ops.object.effector_add(type=’WIND’, enter_editmode=False , location =(0, 0, 0))
63 bpy.context.object.rotation_mode = ’QUATERNION ’
64 bpy.context.object.rotation_quaternion [0] = 0.707
65 bpy.context.object.rotation_quaternion [1] = 0
66 bpy.context.object.rotation_quaternion [2] = 0.707
67 bpy.context.object.rotation_quaternion [3] = 0
30
68 bpy.context.object.field.falloff_type = ’TUBE’
69 bpy.context.object.field.use_min_distance = True
70 bpy.context.object.field.use_max_distance = True
71 bpy.context.object.field.distance_max = 2
72 bpy.context.object.field.strength = 600
73 bpy.ops.outliner.item_activate(extend=False , deselect_all=True)
74 bpy.ops.object.editmode_toggle ()
75
76 # Go to animation tab to see the simulation
D.1.6 Visualisering av figur: 16
1 bl_info = {
2 "name": "Comandos for Collision",
3 "author": "Emil Hietanen",
4 "version": (1, 0),
5 "blender": (2, 80, 0),
6
7 }
8
9
10 import bpy
11 import math
12 from mathutils import Quaternion
13
14 bpy.ops.mesh.primitive_grid_add(size=2, enter_editmode=False , location =(0, 0, 0))
15 bpy.context.object.rotation_mode = ’QUATERNION ’
16 bpy.context.object.scale [0] = 10
17 bpy.context.object.scale [1] = 10
18 bpy.context.object.scale [2] = 1
19 bpy.ops.outliner.item_activate(extend=False , deselect_all=True)
20
21
22
23 bpy.ops.mesh.primitive_uv_sphere_add(size =0.3, enter_editmode=False , location =(-3,
0, 5))
24 bpy.ops.mesh.primitive_uv_sphere_add(size =0.3, enter_editmode=False , location =(3,
0, 5))
25 bpy.context.object.rotation_mode = ’QUATERNION ’
26 bpy.context.object.location [0] = 5
27 bpy.context.object.location [2] = 5
28 bpy.context.object.location [1] = 0
29 bpy.context.space_data.context = ’MATERIAL ’
30 bpy.context.space_data.context = ’DATA’
31 bpy.context.space_data.context = ’PHYSICS ’
32 bpy.ops.rigidbody.object_add ()
33 bpy.context.object.rigid_body.collision_shape = ’SPHERE ’
34 bpy.context.object.rigid_body.use_margin = True
35 bpy.context.object.rigid_body.collision_margin = 0
36 bpy.context.object.rigid_body.angular_damping = 0
37 bpy.ops.outliner.item_activate(extend=False , deselect_all=True)
38 bpy.ops.rigidbody.object_add ()
39 bpy.context.object.rigid_body.type = ’PASSIVE ’
40 bpy.ops.outliner.item_activate(extend=False , deselect_all=True)
41 bpy.context.space_data.context = ’OBJECT ’
42 bpy.ops.outliner.item_activate(extend=False , deselect_all=True)
43 bpy.context.object.location [0] = -5
44 bpy.context.space_data.context = ’DATA’
45 bpy.context.space_data.context = ’PARTICLES ’
46 bpy.context.space_data.context = ’MATERIAL ’
47 bpy.context.space_data.context = ’DATA’
48 bpy.context.space_data.context = ’CONSTRAINT ’
49 bpy.context.space_data.context = ’CONSTRAINT ’
50 bpy.context.space_data.context = ’PHYSICS ’
51 bpy.ops.outliner.item_activate(extend=False , deselect_all=True)
52 bpy.ops.object.effector_add(type=’BOID’, enter_editmode=False , location =(0, 0, 0))
53 bpy.ops.outliner.item_activate(extend=False , deselect_all=True)
54 bpy.context.object.field.strength = 100
55 bpy.ops.outliner.item_activate(extend=False , deselect_all=True)
56 bpy.ops.outliner.collection_delete ()
57 bpy.ops.outliner.item_activate(extend=False , deselect_all=True)
31
58 bpy.context.scene.frame_start = 1
59 bpy.context.scene.use_preview_range = True
60 bpy.context.scene.use_preview_range = False
61 bpy.ops.object.effector_add(type=’WIND’, enter_editmode=False , location =(5, 0, 5))
62 bpy.context.object.field.falloff_type = ’TUBE’
63 bpy.context.object.field.strength = 600
64 bpy.context.object.field.use_min_distance = True
65 bpy.context.object.field.use_max_distance = True
66 bpy.context.object.field.distance_max = 5
67 bpy.context.object.field.use_absorption = True
68 bpy.context.object.field.use_absorption = False
69 bpy.context.space_data.context = ’OBJECT ’
70
71 bpy.ops.object.effector_add(type=’WIND’, enter_editmode=False , location =(5-, 0, 5))
72 bpy.context.object.field.falloff_type = ’TUBE’
73 bpy.context.object.field.strength = 600
74 bpy.context.object.field.use_min_distance = True
75 bpy.context.object.field.use_max_distance = True
76 bpy.context.object.field.distance_max = 5
77 bpy.context.object.field.use_absorption = True
78 bpy.context.object.field.use_absorption = False
79 bpy.context.space_data.context = ’OBJECT ’
80 bpy.context.object.rotation_mode = ’QUATERNION ’
81 bpy.context.object.rotation_quaternion [2] = -0.707107
82 bpy.context.object.rotation_quaternion [0] = 0.707107
83
84
85
86
87
88 bpy.context.space_data.context = ’OBJECT ’
89 bpy.context.space_data.context = ’DATA’
90 bpy.context.object.data.lens = 15
D.2 MatLab
Nedanför finns bifogad kod för de figurer som visualiserats i MatLab.
D.2.1 Visualisering av figur: 4 och 5
1 % Steriographic projection
2
3 % settup
4 dots = 100; % adjusts the resolution of the spheres
5 L = 3; % axis length
6 t = linspace (0,1,dots);
7 p0= [0 1]; %point_of_projection
8 n = 7; % number of projectionlines
9 StereoProj = @(x,y)x./(1-y); % progection function
10
11 %% Circle 2D -> 1D
12
13 %standard parametrisation of a circle
14 x = cos(2*pi*t);
15 y = sin(2*pi*t);
16
17 %projection onto x-axis
18 pX = StereoProj(x,y);
19
20 % some lines for enhanced visualization
21 theta = linspace (0,2*pi ,n+1);
22
23
24 % ploting part
25 clf
26
27 hold on
28 axis([-L L -L/sqrt (1.6) L/sqrt (1.6) ])
29
30 plot(x,y,’g’)
32
31 plot(pX ,0.*pX,’k-’)
32
33 %plots projection lines
34 for i = 1:( length(theta) -1)
35 projline = StereoProj(cos(pi+theta(i)),sin(pi+theta(i)));
36 plot([p0(1) projline cos(pi+theta(i))],[p0(2) 0 sin(pi+theta(i))],’b’)
37 end
38 plot(p0(1),p0(2),’r*’)
39 shg
40
41 %% Sphere 3D -> 2D
42
43 % configure setup
44 dots = 20;
45 theta = linspace (0,2*pi ,dots);
46 phi = linspace(0,pi,dots);
47 [THETA ,PHI] = meshgrid(theta ,phi);
48 pXY = @(x,z)x./(1-z);
49 n = 12;
50
51 % param sphere
52 X = cos(THETA).*sin(PHI);
53 Y = sin(THETA).*sin(PHI);
54 Z = cos(PHI);
55
56 p0 = [0 0 1];
57 Xp = pXY(X,Z);
58 Yp = pXY(Y,Z);
59 % ploting part
60 clf
61 hold on
62 % Note: to get the version 1 sphere remove the setings on facecolor and
63 %edgecolor below.
64 surf(Xp ,Yp ,0.*Xp,’facealpha ’ ,0.25,’facecolor ’,’b’)
65
66 colormap winter
67 surf(X,Y,Z,’facealpha ’ ,0.5,’edgecolor ’,’none’,’facecolor ’,’g’)
68 plot3(p0(1),p0(2),p0(3),’r*’)
69
70 % below we plots the lines between the projection and the normal object
71 for i = 1:n
72 th = random(’unif’ ,0,2*pi);
73 ph = random(’unif’,0,pi);
74
75 x = cos(th).*sin(ph);
76 y = sin(th).*sin(ph);
77 z = cos(ph);
78
79 plineX = pXY(x,z);
80 plineY = pXY(y,z);
81 plot3 ([p0(1) plineX x],[p0(2) plineY y],[p0(3) 0 z],’m’)
82 end
83
84 axis([-L L -L L -L L])
85 view (-18,16)
86 shg
87
88 %% square root Method
89 % circle 2D -> 1D
90
91 %set up
92 th = linspace (0,2*pi); % angle for parametrisation
93 root = @(x,y) x; % this projection is so simple that tis function is redundant
94 n = 7;
95
96 % paramererize
97 x = cos(th);
98 y = sin(th);
99
100
33
101 % plot
102 clf
103 hold on
104 plot(x,y,’k’)
105 plot ([1 -1],[0 0],’g*’) %plotsthe boundrypoints
106 plot(x,0.*x,’b-’)% southernhemisphere projection
107 plot(x,0.*x+0.01 ,’r-’) %plots northern hrmisphere projection ,
108 % the shift of 0.01 in y is to make it visible due to the overlap
109
110 % plots projection lines
111 for i = 1:n
112 x = random(’unif’ ,-1,1);
113 y = random(’unid’ ,2);
114 if(y==1)
115 plot([x x], [sqrt(1-x^2) 0],’r--’);
116 else
117 plot([x x], [-sqrt(1-x^2) 0],’b--’);
118 end
119 end
120 axis equal
121 shg
122
123 %% sphere 3D -> 2D
124 % set up
125 dots = 20;
126 theta = linspace (0,2*pi,dots);
127 phi = linspace(0,pi,dots);
128 [THETA ,PHI] = meshgrid(theta ,phi);
129 n = 12;
130
131 % param sphere
132 X = cos(THETA).*sin(PHI);
133 Y = sin(THETA).*sin(PHI);
134 Z = cos(PHI);
135
136 p0 = [0 0 1];
137 Xp = pXY(X,Z);
138 Yp = pXY(Y,Z);
139
140 % ploting part
141 clf
142 hold on
143 colormap winter
144
145 surf(X,Y,Z,’facealpha ’ ,0.15,’edgecolor ’,’none’); %sphere
146 surf(X,Y,0.*Z,’facealpha ’ ,0.5,’facecolor ’,’b’) % southern hemisphere
147 surf(X,Y,0.*Z+0.01,’facealpha ’ ,0.5,’facecolor ’,’r’) % northern hemisphere
148
149 % plots projectionlines
150 for i = 1:n
151 th = random(’unif’ ,0,2*pi);
152 ph = random(’unif’,0,pi);
153
154 x = cos(th).*sin(ph);
155 y = sin(th).*sin(ph);
156 z = cos(ph);
157
158 if z>0
159 plot3 ([x x],[y y],[z 0],’r-x’)
160 else
161 plot3 ([x x],[y y],[z 0],’b-x’)
162 end
163 end
164 axis equal
165 view (3)
166 shg
D.2.2 Visualisering av figur: 10
1 % rolling ball
2
34
3 % settup
4 t0 = 1; %pause time in sek
5 dots = 100; % adjusts the resolution of the spheres
6 L = 3; % axis length
7 t = linspace (0,1,dots);
8
9 n = dots;
10 % configure setup
11 theta = linspace (0,2*pi ,dots);
12 phi = linspace(0,pi,dots);
13 [THETA ,PHI] = meshgrid(theta ,phi);
14 [x,y] = meshgrid(linspace(-1,1,n),linspace(-1,1,n));
15 %% param sphere
16 X = cos(THETA).*sin(PHI);
17 Y = sin(THETA).*sin(PHI);
18 Z = cos(PHI);
19 C = Z; % to preserve collor in the sphere between rotations
20 CD = X;
21 % Rotmatrix
22
23 % ploting part 0
24 clf
25 hold on
26
27 colormap default
28 title(’start’)
29 surf(X,Y,Z,C,’facealpha ’ ,0.4,’edgecolor ’,’none’) % sphere
30 surf(X,Y,0.*Z,CD,’edgecolor ’,’none’) % Disk
31 %plot3([-1 1],[0 0],[0 0],’r’)%x-axis
32 %plot3 ([0 0],[-1 1],[0 0],’b’)%y-axis
33 %plot3 ([0 0],[0 0],[-1 1],’g’)%z-axis
34 axis equal
35 axis off
36 %legend(’’,’’,’x-axis ’,’y’,’z’)
37 view (-90,45)
38 shg
39 pause(t0)
40 %% rot 1 -pi/2 y-axis
41 clf
42 hold on
43
44 C = X;
45 CD = -Z;
46
47 title(’Rotation kring -y-axel’)
48 surf(X,Y,Z,C,’facealpha ’ ,0.4,’edgecolor ’,’none’) % sphere
49 surf (0.*X,Y,Z,CD,’edgecolor ’,’none’) % Disk
50 %plot3([-1 1],[0 0],[0 0],’r’)%x-axis
51 %plot3 ([0 0],[-1 1],[0 0],’b’)%y-axis
52 %plot3 ([0 0],[0 0],[-1 1],’g’)%z-axis
53 axis equal
54 axis off
55 %legend(’’,’’,’x-axis ’,’y’,’z’)
56 view (-90,45)
57 shg
58 pause(t0)
59 %% rot 2 pi/2 x-axis
60 clf
61 hold on
62
63 C = X;
64 CD = Y;
65
66 title(’Rotation kring x-axel’)
67 surf(X,Y,Z,C,’facealpha ’ ,0.4,’edgecolor ’,’none’) % sphere
68 surf (0.*X,Y,Z,CD,’edgecolor ’,’none’) % Disk
69 %plot3([-1 1],[0 0],[0 0],’r’)%x-axis
70 %plot3 ([0 0],[-1 1],[0 0],’b’)%y-axis
71 %plot3 ([0 0],[0 0],[-1 1],’g’)%z-axis
72 axis equal
35
73 axis off
74 %legend(’’,’’,’x-axis ’,’y’,’z’)
75 view (-90,45)
76 shg
77 pause(t0)
78 %% rot 2 pi/2 y-axis
79 C = Z;
80 CD = Y;
81
82 clf
83 hold on
84
85 colormap default
86 title(’Rotation kring y-axel’)
87 surf(X,Y,Z,C,’facealpha ’ ,0.4,’edgecolor ’,’none’) % sphere
88 surf(X,Y,0.*Z,CD,’edgecolor ’,’none’) % Disk
89 %plot3([-1 1],[0 0],[0 0],’r’)%x-axis
90 %plot3 ([0 0],[-1 1],[0 0],’b’)%y-axis
91 %plot3 ([0 0],[0 0],[-1 1],’g’)%z-axis
92 axis equal
93 axis off
94 %legend(’’,’’,’x-axis ’,’y’,’z’)
95 view (-90,45)
96 shg
D.2.3 Visualisering av figur: 11
1 %% Author: Hampus Ahlebrand
2 %Kod f r att visualisera kvaternionkurvan f r bolltricket
3 % d handen rullar bollen med s m c i r k u l r a r r e l s e r i xy -planet.
4 %Det antas h r att bollen har radien 1 vilket i n n e b r att l n d e n
5 % f r handens r r e l s e i en viss riktning motsvarar rotationsvinkeln.
6
7
8 t=0; %motsvarar tid
9 T=0.1; % r r e l s e n p g r i 0.1s
10 dt =0.0001; %Tidssteg
11 i=1; % index f r att spara komponenter i Q1,Q2 och Q2
12 theta=pi/250;%Rotationsvinkeln
13
14 dtheta=pi/50;% R i k t n i n g s f r n d r i n g
15 dtheta_0=pi/50;
16
17 q=[1 0 0 0];% Initialv rdet , denna kvaternion svarar mot bollens
begynnelseorientering
18
19 Q1=zeros (1 ,999);% De i m a g i n r a komponenterna av de b e r k a n d e kvaternionerna
sparas
20 Q2=zeros (1 ,999);% i Q1, Q2 och Q3.
21 Q3=zeros (1 ,999);
22
23
24 while t<T
25
26 a=cos(theta /2);
27 b=cos(dtheta);
28 c=sin(theta /2);
29 d=sin(dtheta);
30
31 c1=1/ sqrt(a^2+(c*d)^2+(c*b)^2); %normaliseringskonstant.
32
33 qr=c1*[a c*d -c*b 0]; %rotationskvaternion
34
35 q_0=qr(1)*q(1)-qr(2)*q(2)-qr(3)*q(3)-qr(4)*q(4); %kvaternionmult , qr*q
36 q_1=qr(2)*q(1)+qr(1)*q(2)+qr(3)*q(4)-qr(4)*q(3);
37 q_2=qr(3)*q(1)+qr(1)*q(3)+qr(4)*q(2)-qr(2)*q(4);
38 q_3=qr(4)*q(1)+qr(1)*q(4)+qr(2)*q(3)-qr(3)*q(2);
39
40 k=1/ sqrt((q_0)^2+( q_1)^2+( q_2)^2+( q_3)^2);%normaliseringskonstant
41 q=k*[q_0 q_1 q_2 q_3];
42
36
43 Q1(i)=q(2);
44 Q2(i)=q(3);
45 Q3(i)=q(4);
46 i=i+1;
47 t=t+dt;
48 dtheta=dtheta+dtheta_0;
49 end
50 plot3(Q1 ,Q2,Q3)%Resulterar i projektion av i m a g i n r a delen mha kvadratmetoden
51 xlabel(’q_1’)
52 ylabel(’q_2’)
53 zlabel(’q_3’)
D.2.4 Visualisering av figur: 14
1 %% Author: Emil Hietanen
2 t=[3:-pi /90:0]%simuleringen bestod av length(t)frames
3 x=cos(t);
4 y=t/10000; %Eftersom vi vill ha y n r a noll f r att kunna plot3 och
5 %samtidigt ha det som i simulationen.
6 z_1 =[3: -0.059:0];
7 z_2 =[0.01:0.035:0.5];
8 z_3 =0.51: -0.08:0;
9 z_4 =[0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 0.005 0.002 0];
10 z= [z_1 z_2 z_3 z_4]; %ger oss en vecktor med n g r a av de punkter i q_3
11 plot3(x,y,z,’-x’,’MarkerIndices ’,86,’MarkerEdgeColor ’,’r’,’Color’,’b’,’LineWidth ’
,2)
12 xlabel(’q_1’)
13 ylabel(’q_2’)
14 zlabel(’q_3’)
15 grid on
16 hold on
17 xticks ([-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5])
18 xticklabels ({’-1’,’’,’’,’’, ’0’})
19 zticks ([-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 3])
20 zticklabels ({’0’,’’,’’,’’,’’,’’, ’’,’1’})
21 yticks ([-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 3])
22 yticklabels ({’0’,’’,’’,’’,’’,’’, ’’,’0’})
23 x=cos(t)
24 z=t/10000
25 plot3(x,y,z,’--’,’Color’,’b’,’LineWidth ’ ,2)