M A T E M A T I K U N D E R V I S N I N G E N S R E F O R M E R I N G . Severin Johansson. Jag har såsom ämne för m i t t föredrag v a l t matematikens oeh matematikundervisningens ställning i vårt land. Jag har därvid utgått ifrån den tanken a t t det v i d detta forskarmöte icke endast handlar om en uppvisning av vad v i kunna kal la kulturens nyvinningar . Också den verksamhet, undervisnin­ gen, som förmedlar kul turens vandr ing från generation t i l l generation, bör här ha sin plats och kunna påräkna s i t t i n ­ tresse. Sådant är j u också förhållandet i nom de stora k u l ­ turländerna, där v i förresten ofta möta de ledande forskar- personligheterna i verksamhet på undervisningens område. Vad nu särskilt matemat iken v idkommer , så är den j u en integrerande beståndsdel i det matematisk-naturvetenskap- liga bildningsideal, som på grund av förskjutningarna i k u l ­ tu ren al l tmera rycker i förgrunden. Det ta är j u redan ägnat a t t länka uppmärksamheten i n på frågan om dess ställning. Därtill kommer, a t t matemat ikundervisningen v i d skolan för närvarande är föremål för alldeles särskild uppmärk­ samhet. Det handlar om en omläggning av hela denna u n ­ dervisning, en omläggning, som icke endast avser metodiken u tan hela lärostoffet. Det är en alldeles speciell sak med undervisningen. Den är icke något särintresse, något som endast v idkommer fack- mannakretsar. Hela dess betydelse för bevarande av sam­ hällets historiska k o n t i n u i t e t gör den t i l l e t t v i t a l t allmänt intresse, e t t av samhällets mest betydande. A t t det härvid är e t t levande mater ia l , samhällets spröda f ramtidsmater ia l , som det hela går u t över och som har a t t taga emot följderna 6 av eventuella missgrepp, gör undervisningen t i l l en alldeles särskilt ömtålig verksamhet, som det är samhällets rätt och skyldighet a t t ägna oavlåtlig uppmärksamhet. Lägga v i därtill det ren t personliga intresse, som kny te r varje med­ borgare v i d undervisningen — hans egen och senare hans barns skolgång, saker som sträcka sig över decennier av hans l i v —, skall man förstå, a t t opinionen är mer än van l ig t käns­ l i g , då det gäller skolan och dess verksamhet. Denna opin ion bör icke förbises, då det är fråga o m u n ­ dervisningen. Pedagogen, fackmannen, undgår sällan faran a t t överskatta det, som ligger honom nära. Saker, som i verk l igheten äro rätt betydelselösa, få isolerade från jäm­ förelse med vikt igare t i n g en otillbörlig betydelse. I sådana fall är en sund och a l lva r l ig opinion på sin plats. Jag vågar påståendet, a t t många värdefulla förskjutningar i under­ visningen förberetts av en d y l i k oförvillad allmän uppfa t t ­ n ing . Det ta utesluter j u icke, a t t opinionen ofta kan skjuta över målet. I varje fall är det skäl, a t t då opinionen gör sig s t a rk t gällande i en bestämd r i k t n i n g , underkasta densamma och dess orsaker en noggrann analys. Den lönar sig nog i de flesta fa l l . Jag framhåller e t t välbekant sakförhållande, då jag i fråga om denna opinion konstaterar, a t t den bildade allmän­ heten i vårt land icke är välvilligt stämd m o t matemat iken. Jag borde snarare säga, för a t t ge saken et t adekvatare u t ­ t r y c k , a t t det handlar o m en växande animositet. A t t det ta icke är en företeelse, som gjor t sig gällande endast i vårt land , är likaså välbekant. V i behöva b l o t t tänka på de angrepp m o t matemat iken och dess herravälde, som senaste v in te r kommo t i l l synes i Svergc. De t blev där en a l lvar l ig sam­ mandrabbning, under v i l k e n man emellertid ingalunda k o m fram t i l l sakens kärna. Hos oss har si tuationen nått den t i l l ­ spetsning, a t t m a n redan belagt sakläget med det graverande slagordet: matematikeländet i våra skolor. Det skall b l i m i t t föredrags huvudsyf te a t t gå hela denna uppfa t tn ing i n på 7 l ive t . Ti l l svidare v i l l j ag endast ha sagt, a t t den m o t mate­ mat iken mindre välvilliga opinion, som sökt sig denna skarpa formuler ing, har sina djupa orsaker i matemat ikunderv is ­ ningens h i t t i l l svarande ståndpunkt i vårt land. Den är här­ v i d i s tor t sett inne på en r i k t i g väg. Man känner bland laici i n t u i t i v t på sig a t t någonting är på tok, om man också sak­ nar möjlighet a t t exakt formulera sin uppfa t tn ing . Jag skal l i det följande försöka klargöra, var felet ligger. N u skjuter emeller t id denna opinion på tvenne väsentliga punkter över målet. Den har svårt a t t erkänna ma tema t i ­ kens betydelse för den ku l tu re l l a utvecklingen och matema­ tikens betydelse för det moderna samhällslivet. Denna obe­ nägenhet bot tnar i okunnighet om det verkl iga sakläget, v i l ­ ken okunnighet i sin t u r kan återföras t i l l jus t det, som är sakens kärna, nämligen matematikundervisningen v i d våra skolor. Jag behöver j u icke inför denna krets av forskare resa något äreminne över matemat iken. Al l a forskare i n o m na tur ­ vetenskaperna skola v i l l i g t erkänna, a t t matemat iken ger dem skarpa vapen i deras arbete. De skola också erkänna mate­ matikens sammanhållande filosofiska kraf t , som samlar ob­ servationernas och experimentens strödda detaljer och skå­ dar sammanhangen. Matemat iken är nog också med i k re t ­ sen av alla dessa vetenskaper, som manifestera människans eviga sökande efter sanningen. Det ta är j u dock saker, som mindre intressera en bredare allmänhet. Där hör man ofta u t t r y c k av dubier o m mate­ matikens betydelse för det moderna samhällslivet. För den y t l ige betraktaren ser det j u också ut , som o m det hela skulle röra sig i n o m ramen för quat tuor species. Emel l e r t id veta v i j u , a t t det finnes ansenliga verksamhetsfält i n o m det mo­ derna samhället, i vars arbetares u t b i l d n i n g e t t i varje fal l icke ringa, i många fall rätt högt d r ive t mått av matemat i sk t vetande måste ingå, e t t mått som icke föreskrivits av någon matemat i sk t vilseledd d o k t r i n , u t a n av clen enkla nödvän­ digheten. V i få en föreställning o m dessa arbetsfälts u tbredning i sam- 8 hället, om v i besinna a t t icke mindre än 54 % av de ungdo­ mar, som arbeta v i d landets högskolor, förbereda sig för ve rk ­ samhet inom dessa arbetsfält. Detta procent tal stiger t i l l 60, om v i inskränka oss t i l l den manliga ungdomen. Därvid ha v i lämnat åsido den militära u tb i ldn ingen och u tb i ldn ingen v i d navigationsskolor och tekniska mellanskolor av olika ar t , för v i l k a matemat iken är e t t ofrånkomligt v i l l k o r . M o t denna bakgrund förflyktigas alla t v i v e l om matematikens betydelse för samhället. Det finnes en omständighet, som är ägnad a t t engång år­ l igen göra den matemat ikf ien t l iga opinionen akut . De t är matur i te t sprove t i ma temat ik . Det ta beror na tu r l ig tv i s i första hand på i r r i t a t i o n e n över det t i l l en t r a d i t i o n vordna dåliga resultatet och på indignat ionen över de likaledes t i l l en t r a d i t i o n vordna undersleven. A l l t det ta sammanhänger nu med den d i skont inu i te t , som uppenbarligen föreligger mellan skolans prestat ion och de anspråk dessa prov u t t r y c k a och skall här icke debatteras. Men detta är icke det väsent­ liga. Inför den uppmarsch av skolans kunskapsanspråk i ma­ temat ik , som dessa uppgif ter representera, kan den stora a l l ­ mänheten icke undgå a t t f inna, och här är opinionen inne på en r i k t i g väg, a t t det v i l a r någonting av stark och o n y t t i g specialisering över dessa uppgifter, som föreläggas t i l l lös­ ning, och man känner sig i r r i t e rad över a t t ungdomen skall hejdas av d y l i k a som det tyckes art if iciel la hinder. Jag skänker detta sista moment en alldeles särskild bety­ delse. Visserligen vänder sig opinionen t i l l o r i k t i g t forum, t y studentexamen har j u endast a t t konstatera förefintligheten av e t t visst kunskapsmått hos abi tur ienterna, e t t kunskaps- mått, vars sammansättning den icke bestämmer, men det inneligger i denna uppfa t tn ing en sund reak t ion m o t det. som är den yt ters ta och verkl iga orsaken t i l l matematikens ringa anseende i den allmänna uppfa t tn ingen. Det är j u uppenbart a t t hela denna periodiska student­ examenskampanj skall vara ägnad a t t skärpa stämningen mot matematiken. Emel le r t id är man inne på en alldeles o r ik t i g väg, om man söker den m o t matemat iken bryska op i - 9 nionens innersta orsaker på det ta håll. Man k a n j u lätt av­ hjälpa hela denna sak. Man behöver j u endast sänka ansprå­ ken i matemat iken, så a t t de komma i konformi te t med ansprå­ ken i de övriga prövning underkastade ämnena och hela det ta årligen återkommande hysteriska skede skall försvinna. Men man skall därigenom icke avlägsna den uppfa t tn ing, som på fullaste al lvar frågar, om det n u icke ifråga om matemat iken handlar om någotslags doktrinär överskattning, som det gäller a t t så snabbt som möjligt revidera, för a t t bereda ungdomen större möjlighet a t t ägna sig åt ve rk l ig t betydande och n y t t i g a läroämnen. Det behövs alldeles andra och v i t t gående åtgärder för a t t avlägsna denna icke endast för mate­ matikens ställning v i d våra skolor u tan även för den därmed nära sammanhängande ku l tu re l l a utveckl ingen icke ofarliga åskådning. Därmed äro v i framme v i d sakens kärna. Det är mate­ matikundervisningens nuvarande ståndpunkt i vårt land , som innerst bär skulden t i l l den skeva uppfat tn ingen o m matematikens ställning. Den saknar i sin föråldrade fo rm möjlighet a t t ge en r i k t i g b i l d av matematikens verkl iga be­ tydelse. O m v i vända oss t i l l en högt b i ldad medborgare och fråga honom om hans behållning av exempelvis historieundervis­ ningen i skolan, så skall han u tan t v i v e l skänka den s i t t er­ kännande. H a n har na tu r l ig tv i s glömt a l l t det dynastiska smågnabb, som fyller läroböckerna, men han skall erkänna a t t denna undervisning g i v i t honom många lärdomar, v isa t hurusom många av de idéer, som nu verka i världen redan i gångna århundraden uppstått, kulminera t och domnat bor t . H a n skall också ifråga o m exempelvis botaniken erkänna, a t t även den g i v i t e t t värdefullt element i hans b i ldn ing , o m han också självfallet glömt alla de detaljer, på v i l k a en n i ­ t i sk undervisning t r o t t sig böra slösa en ansenlig t i d . Men ifråga om matemat iken skal l hans omdöme säkert b l i ned­ slående. H a n skall erinra sig a t t han sysslat med omfat tande räkningar med po lynom, a t t han i åratal löst sällsamma a r i t ­ metiska och algebraiska problem, a t t han genomgått en d r i l l 10 i begagnande av logar i tmiska tabeller, men framförallt skal l han erinra sig, a t t han bevisat geometriska teorem. H a n skall knappast erkänna, a t t han senare haft k o n t a k t med någonting av a l l t detta. Visserligen skall han medge, a t t det ta j u ieke är det enda utslaggivande, då det gäller a t t be­ döma en undervisnings betydelse för den högre bi ldningen, men han skal l icke vara v i l l i g a t t erkänna, a t t a l l t det ta g i v i t en behållning som står i någon som helst r i m l i g p ropor t ion t i l l den därpå använda t iden . Jag går nu t i l l en närmare analys av matemat ikunderv is ­ ningen. Jag har höga tankar om skolan och skolundervisningen. Den bör icke endast följa deras signaler, som i undervisnin­ gen se en uppfostran t i l l kommande samhällelig verksamhet, den bör eftersträva en allmänbildning, som äger kännedom o m kulturföreteelsernas u tveckl ing . Skolan bör skänka den i l i ve t invandrande generationen en så f y l l i g världsbild som möjligt, en världsbild, som ger en v i d överblick över alla de krafter , som verka i den värld, där denna generation skall kämpa sin kamp. För matematikens v idkommande inneligger i det ta en bestämd fordran. Matemat ikundervisningen skall ge det inslag i denna världsbild, de matemat iska ins ikter och det mått av matemat i sk t tänkande och bedömande, som erford­ ras för a t t man skall vara f u l l t or ienterad. Det vore nu av intresse men faller tyvärr u tom det möjli­ gas gränser a t t här följa denna undervisnings utveckl ings­ gång under herraväldet av växlande ku l tu r idea l i de ledande länderna. Från upplysningstidens u t i l i te t sepok komma v i i n i nyhumanismens för matemat ikundervisningen så ödes­ digra skede. Dess starka ensidiga betonande av den formella bildningen, inför v i l k e t ifråga o m matemat iken det sakliga innehållet, dess omfa t tn ing och betydelse sjunka ned t i l l fu l lkoml ig värdelöshet, inleder och ful lbordar den förstel- » 11 ningsprocess, ur v i l k e n denna undervisning haft så svårt a t t komma u t och där den hos oss i s tor t sett ännu är kvar . V i ha sedan såsom en motsa t t pol a t t i samband med den tek­ niska undervisningens genombrot t observera s tarka anspråk på e t t fullständigt tillbakaträngande av alla andra moment i matemat ikundervisningen och e t t ensidigt framskjutande av dess användbarhet, typ i ska anspråk av den moderna i n ­ genjörkulturen. Det som nu här är av intresse a t t veta, är a t t frågan om matemat ikundervisningen under de senaste decennierna där ute haft e t t betydande utvecklingsskede, som u tveck la t sig högt över alla d y l i k a specialåskådningars plan. Det har v a r i t en kooperat ion av vetenskap, t ekn ik , samhällelig kunskap och pedagogisk erfarenhet med det fast formulerade syftet a t t skapa en t i l l s i t t lärostoff och sin metodik fu l l t modern u n ­ dervisning. Före kr ige t for tgick denna u tveck l ing på det internat ionel la samarbetets breda bas med den in te rna t io ­ nella matemat iska undervisningskommissionen som sam­ lande ccn t ra l ins t i tu t ion . De t var en sammandragning av de yppersta kraf terna k r i n g undervisningsproblemet. E t t mots tycke t i l l de t ta uppbåd av andl ig kapacitet torde väl få sökas i n o m någon annan undervisningsgren. Bland annat ha v i här en l i t t e r a tu r som det redan är svårt a t t överblicka och behärska. Denna l i t te ra turs k v a n t i t a t i v a ansvällning bekräftar v is ­ serligen i stor utsträckning det kända u t ta landet a t t när ko­ nungarna bygga få kärrdragarna arbete. Men där finnes i den första l in jen imponerande enquéter över ma temat ik ­ undervisningens ställning och skiftande anordning inom ol ika länder, där finnas vetenskapliga fördjupningar av alla ele- mentarmatematikens aktuel la frågeställningar och så finnes där e t t al ls idigt klarläggande av matematikens ställning i n o m ku l tu ren och samhället. N u bör hela denna i stora drag tecknade b i l d av under­ visningsproblemets u tveck l ing ses m o t bakgrunden av en samt id ig t fortgående förändring i universitetens undervis­ ningsbi ld . Uti l i tetsepokens grunda och encyklopediska u n i - 12 versitctsundervisning i matemat ik efterträddes av de höga specialföreläsningarna. Därmed inleddes den divergens mel­ lan universi tetsmatematik och skolmatemat ik , som för den senare blev skickelsediger. Skollärarens u t b i l d n i n g gick över de höga specialföreläsningarna. Man opererade här medve­ tet eller omedvetet med den föreställningen, a t t den på en enskild p u n k t högt d r ivna vetenskapliga u tb i ldn ingen ga­ ranterade orientering i n o m den f ramt ida verksamheten. Man har ka l l a t denna modus för lärarutbildningen das Sys­ tem des doppelten Vergessens, därmed hänsyftande på a t t den unga studenten glömde sin skolmatemat ik under sin färd i matematikens högre rymder och sedan v i d inträdet på lärarbanan åter glömde hela den under s tudiet iden vunna högre insikten, som ingen k o n t a k t hade med hans verksam­ hets speciella kunskapsbehov. Det är k l a r t , a t t denna hia- tus mellan univers i te tsmatematiken och skolmatemat iken utlevererade den senare åt det matematiskpedagogiska kann- stöperiet hos allehanda mindervärdiga auktorer, som där gjorde sig breda. V i befinna oss nu inne i en alldeles annan fas av univer­ sitetsundervisningen. Självfallet kvarstå de höga specialföre­ läsningarna, men det har också samlats e t t s t a rk t intresse k r ing fackutbi ldningen för det blivande värvet och denna utbi ldnings specifika kunskapsbehov. Det är här v i ha a t t söka en av de starkaste orsakerna t i l l det l iv l iga intresset för e lementarmatcmatiken, skollärarens kunskapsfält. Återvända v i nu t i l l den för matemat ikundervisningen betydelsefulla epok, som det var fråga om, så kunna v i säga, a t t densamma haft en ofant l ig betydelse och le t t t i l l en f u l l ­ ständig omläggning av matematikundervisningens hela läro­ stoff och metodik . Man har nu framförallt g jor t upp räk­ ningen med den formella epokens övertro på matematikens formel l t bildande kra f t . Man har också hävdat matemat i ­ kens eget filosofiska och estetiska bildningsvärde inför de extrema anspråken på användningar. Det matematiska tän­ kandet i dess ol ika y t t r i nga r har b l i v i t det centrala. Man återgår helt enkelt t i l l a t t undervisa matemat ik . 13 N u har det ta genast haf t e t t betydande resul tat . Hela den formella epokens uppsjö av ar t i f ic ie l la tillämpningar, t i l l komna i för matemat iken främmande syften, har u t ­ mönstrats. I stället har man recurrerat t i l l matematikens och det matemat iska tänkandets verkl iga inlägg u t i det ve­ tenskapliga arbetet och samhällslivet, och där funn i t en r i k fond för verkl iga och betydelsefulla användningar. Det ta betecknar j u uppenbarligen en sund u tveck l ing . Därtill komma emeller t id såsom logiska konsekvenser ännu andra genomgripande förändringar av mera matemat isk ar t . Matematikens betydelse för k u l t u r e n och samhällslivet sammanhänger med e t t i nom matemat iken dominerande begrepp, som saknar plats i den formella åskådningens stela systembildning. Det handlar överallt o m sammanhang mel­ lan var iabla kvant i t e te r och lagarna för d y l i k a samman­ hang. Det är det ta funktionsbegrepp, det matemat iska tän­ kandets centrala begrepp, som bi ldar det fu l l koml ig t nya inslaget i den moderna undervisningen både i analys och geometri , avsett a t t genomsila hela lärobyggnaden. Det följer härmed en i den t id igare undervisningen okänd skol­ n ing av e t t för tänkandet överhuvudtaget väsentligt mo­ ment. I nära samband med funktionsbegreppet opererar man sedan flera århundraden i n o m den matemat iska vetenska­ pen med den grafiska framställningen av funkt ionala sam­ manhang. Denna är e t t t i l l den grad betydande hjälpmedel, a t t den förbi skolan, där den icke haft någon plats, trängt i n i samhället och där b l i v i t e t t tämligen van l ig t ve rk tyg , då det gäller a t t åskådliggöra ol ika arter av var iab i l i t e t . Med funktionsbegreppet har den grafiska framställningen, dia­ grammet, k u r v a n r y c k t i n i den nya undervisningens plan och är där e t t betydande element. Det finnes vidare en annan fas av det matematiska tän­ kandet, som är av betydelse och som i s tor t sett står främ­ mande för den formella åskådningens undervisningsideal. Det är rymdåskådningen, vars skolning i den nya undervis- 14 ningen beretts e t t ansenligt r u m inom den t idigare av syste­ met helt och hållet u t fy l lda ramen. Det ta är nu de ledande principer, som karakterisera den moderna matematikundervisningen, sådan den utgått ur detta utvecklingsskede. Det är nämligen a t t märka a t t det icke handlar om allmänna oprövade idéer. De t hela kan sammangjutas t i l l en säkert arbetande matemat ikundervis ­ ning. Det är nu det karakter is t iska för denna undervisning, a t t den försiggår i matematikens egen stora verkstad, där ele­ verna, lärlingarna, göras förtrogna med dess verkl iga arbets­ metoder och dess verkl iga betydelse och insats. T i l l det ta kommer sedan en alldeles grundväsentlig om­ ständighet, som på det int imaste sammanhänger med hela denna undervisnings bärande idé. Dess metodik b ry te r icke längre i n över barnasjälen med färdiga mallar och s tupida anspråk. Den äger möjlighet a t t röra sig på e t t större psyko­ logiskt d jup . Den bl i r t i l l en f i n t och känsligt arbetande un­ dervisningskonst, som söker sina förebilder i det matema­ tiska tänkandets egen utvecklingsgång, dess långsamma vand­ r ing från det konkreta och systemfria t i l l det abstrakta och systematiska. Undervisningen genomvandrar i s tark för­ kor tn ing människosläktets egen mödosamma u tveck l ing . Det är na tu r l ig t , a t t denna undervisningskonst skall skänka arbetet, verksamheten en central ställning. V i äro j u alla v i l l iga a t t erkänna, a t t den fastaste beståndsdelen i vår kunskapsvärld konstitueras av a l l t det v i under vår verk­ samhet, vårt arbete genom erfarenhet inhämtat. De t lästa, det hörda och det sedda röra sig på e t t annat plan. Den, som a ldr ig arbetat, kan ingent ing. Det är n u denna under­ visningskonsts stora överlägsenhet, a t t den kan gå fram längs denna av den pedagogiska konsten i s tor t sett föga u tny t t j ade väg. Det handlar därvid icke om själlös övning och tillämpning, u tan o m en medverkan, som är e t t kons t i ­ t u t i v t element i det helas utvecklingsgång. Sådan är denna matemat ikundervisn ing . Den har s i t t be­ stämda kunskapsvärde, den levande och verksamma mate- 15 matikens kunskapsvärde, den äger det estetiska värde, som v i l a r över den matemat iska tankebyggnaden, den innesluter i s i t t på v e r k l i g t och sunt arbete vi lande inlägg i den allmänna undervisningsbilden e t t e t i skt moment . Den tillför sålunda allmänbildningen beståndsdelar, som f u l l t kunna mäta sig med de från annat håll kommande. Matemat iken bl i r t i l l e t t med de övriga läroämnena jämbördigt läroämne. Jag vänder mig nu t i l l matemat ikundervisningen v i d våra skolor. Jag v i l l då genast säga ifrån, a t t denna undervisning ännu befinner sig inne i den formella epoken. Jag förbiser därvid icke, a t t m a n på någon enstaka p u n k t arbetar med nya me­ toder och a t t man väl numera v i d de flesta skolor r i t a r e t t eller annat d iagram. Gäller det a t t anlägga en finare analys av situationen, så är där dock en sak a t t iak t taga . Den t idigare av in t e t r ub ­ bade uppfa t tn ingen om systemets ofelbarhet har råkat i gungning. Jag t ro r m i g träffa det r ik t iga , då j ag konstaterar förefintlighet av en f u l l t förnimbar osäkerhet. Matemat ik ­ lärarna skola v i l l i g t erkänna, a t t de i det ta nu befinna sig i den besvärande s i tuat ionen a t t icke på varje p u n k t veta, hu ru de skola ställa sin undervisning. Den formella epokens långa dura t ion hos oss samman­ hänger i viss mån med djupare liggande kul ture l la idéers långsamma vandr ing . Tidens händelser ha härvid verka t y t ter l igare retarderande. Men där finnas andra för vårt land speciella orsaker. Visserligen ha de höga specialföreläsnin­ garna av begripliga orsaker icke dominerat i nom vår u n i ­ versitetsundervisnings t idigare skeden, men den åskådning, som utrustade den bl ivande läraren med special insikter i minimaly tornas och de dubbelperiodiska funktionernas teo­ rier, ledde i alla fall t i l l den hiatus mel lan universi tetsmate­ mat iken och skolmatemat iken, som var för de höga special- föreläsningarna typ isk . Det går nu icke i en handvändning a t t ändra d y l i k t isynnerhet i e t t l and som vårt med dess ringa u t b u d av mera betydande krafter . B a k o m den mönster­ b i l d av en i alla r i k tn inga r f u l l t modern universi tetsunder- I (i visning, som v u x i t f ram under den nuvarande matemat ik ­ professorns händer, ligger många års arbete, vetenskapligt och pedagogiskt arbete. Det har där b land annat gällt a t t vetenskapligt u tb i lda den från början icke förefintliga stab av krafter, som erfordras för a t t uppbära en d y l i k under­ visning. A t t det hela u t a n en effekt iv lärarutbildning är dömt a t t skära i n på orätt spår, ser man redan i de valhänta offer åt tidens nya fordringar, som t ag i t sig u t t r y c k i an­ slutningen av särskilda kapi te l o m funktionsbegreppet och grafisk framställning t i l l den redan nedtyngda skolkursen. Jag går nu denna formella undervisning i n på l i ve t . A r i t m e t i k e n erbjuder det alldeles natur l iga fältet för en förnuftig undervisning. A r i t m e t i k e n är j u det medborgerliga livets matemat ik par préférence. Det är det ta som skall ge ar i tmet ikundervisningen dess färg. Talet , det genom upp­ mätning och uppräkning u t v u n n a talet , i n t a r j u en domine­ rande plats i samhällslivet såsom medel för behärskande och jämförande av samhällsföreteelsernas k v a n t i t a t i v a sida. Räknesätten äro därvid räknekonstens svar på de frågeställ­ ningar, som osökt växa f ram u r det ta arbete. På det ta sätt fa t tad b l i r a r i tme t iken e t t betydande läro­ ämne. Den b l i r t i l l e t t slags k v a n t i t a t i v samhällslära. U t ­ gående från elevens anspråkslösa erfarenhetsvärld med dess måttliga och överskådbara t a l , för denna a r i t m e t i k honom stegvis u t t i l l samhällets mera storstilade k v a n t i t a t i v a för­ hållanden. Den för honom också i n i det moderna samhällets finare mekanism. Bankväsendet, lånerörelsen, statens och kommunernas finansoperationer, försäkringsväsendet i n ryc ­ kas i arbetet. F luk tua t ionerna , hela det levande samhälls­ livets k v a n t i t a t i v a var iab i l i t e t , de funkt ionala samman­ hangen k o m m a a t t invävas i hans erfarenhetsvärld. De t är med en betydande fond av fasta sociala ins ikter han utgår ur en d y l i k undervisning. H a n för därjämte med sig den r i k ­ t iga k v a n t i t a t i v a orienter ing i samhället, det k v a n t i t a t i v a omdöme, som äger förmågan a t t inställa storleksförhållan­ dena i deras r i k t i g a belysning och draga r i k t i g a slutsatser. På det ta sätt ser n u icke skolans a r i tme t ikundcrv i sn ing 17 ut . Den rör sig innanför den formella åskådningens galler. Räknesätten, de formella operationerna äro de primära. V a d sedan det ymniga fältet av isolerade exempel v i d k o m ­ mer, så är det ta inordna t i det formella systemets schema. Där finnes enkel och sammansatt reguladetri , intresseräk­ ning, rabatträkning, bolagsräkning, kedjeräkning och vad a l l t dessa urgamla skolastiska formationer heta. N u är det det betänkliga, a t t dessa exempel, som i legio lösas av skolbarnen, icke hålla inför en förnuftig k r i t i k . De äga en falsk ans t rykn ing av verkl ighet , men en bl ick i de digra exempelböckerna är nog för a t t man skall inse, a t t de äro art i f iciel la . De äga sålunda in t e t socialt aktual i tets intres­ se. Men saken är al lvarl igare. De äro hopkonstruerade för a t t tjäna såsom substrat för den formella exercisen. Därvid har i de flesta fa l l ta lmatcr ia le ts real i te t t i l l den grad fått träda i bakgrunden, a t t dessa exempel med sina befängda ta luppgif ter äro en bestämd fara för det k v a n t i t a t i v a verk­ lighetssinnet. De ha mycke t l i t e t , i stor utsträckning ingen­ t i n g alls med matematikens betydelse för samhället a t t skaffa. De färdigheter och tankekombinat ioner de inträna äro också i s to r t sett överflödiga. I n o m skolans algebraundervisning är sakläget be tyd l ig t allvarsammare. Där har man t i l l skapa t sig ett fält för an­ vändningar, som icke finnas i verkl igheten. Jag tänker på de algebraiska problemen, som finnas i hundradetal i exempel- böckerna och v i d v i l k a eleverna i åratal kvarhållas. De äro på några enstaka undantag när på sin höjd a t t beteckna som något slags matematiska skämtuppgifter som ingent ing ha med en a l lvar l ig undervisning a t t skaffa. Jag behöver j u endast påminna om famil jen, som löser en ekva t ion av andra graden för a t t bestämma familjemedlemmarnas antal och t ro ts detta stannar i okunnighet o m sakläget enär ekva t io ­ nen visar, a t t antalet är antingen 5 eller 13, för a t t inställa hela denna t r a f ik i dess rätta plan. Dessa problem ha t i l l ­ k o m m i t under den andfådda j ak t en efter tillämpningar. D e t är endast skollärarne och deras elever, som syssla med dem. N u l ider algebraundervisningen av e t t annat grundväsent- 2 — Forskartnötet II 18 l i g t fel, som i hög grad förringar hela dess värde. Den är så över sig formell . Den ar i tmet iska real i tet , som j u underst ligger under symbolernas transponering, faller u t o m denna undervisnings intresse. Det hela stannar längs hela l in jen på något sätt på y t a n , på avstånd från den verkl iga innebör­ den. Det b l i r e t t spel med bokstavssymbolerna. Skolans algebra kan närmast betecknas som en gigantisk bokstavs- patience. Det är på denna p u n k t den moderna undervisningen sät­ ter i n en ansenlig kraf t . Den v i l l föra tvärs genom symbo­ lernas formella förknippning i n t i l l den ofta betydande kon ­ kreta reali tet , som ligger därunder. Den v i l l göra formler­ nas språk, det matematiska tänkandets f in t arbetande verk­ tyg , t i l l e t t för eleverna levande språk. De t t a är ifråga om algebran den nya undervisningens centrala p rogrampunkt . Geometriundervisningen avvecklar sig inom ramen av e t t bestämt geometriskt system, som är en för skolan omarbe­ tad b i l d av Eukl ides ' system. Undervisningen för eleverna från sats t i l l sats genom hela systemet. Denna åskådning hör t i l l de al l ra ålderdomligaste forma­ tionerna i hela vår elementarundervisning. Dess grundfel är a t t den i stället för det konkre ta kunskapsmaterialet f ram­ skjuter en abst rakt systembildning, som arbetar på en an­ nan psykologisk nivå än den där eleverna befinna sig. N u följer med denna sys tembi ldning en bestämd tvångs­ anordning av kunskapsmaterialet . Den visar sig däri, a t t lätt tillgängliga och v i k t i g a beståndsdelar på grund av syste­ mets speciella s t r u k t u r komma i n på e t t sent, ofta alldeles för sent s tadium. Tvångsanordningen tar sig emeller t id f ram­ förallt det u t t r y c k , a t t undervisningen under s i t t begynnelse­ stadium en otillbörligt lång t i d arbetar med et t alldeles ba­ nalt kunskapsmatcrial . Det ta kunskapsmaterial är nu icke heller det centrala i denna undervisning. Det b i ldar endast substratet för den alldeles speciella d r i l l i bevisföring, som ännu in t a r en bety­ dande plats. Denna bevisföring faller t i l l sina grundelement u tom barnens psykologiska sfär. Hela denna ännu på många 19 håll odlade geometriska elokvens saknar den verkl iga upp­ fattningens säkra s t ruk tu r och b l i r sålunda i s tor t sätt vär­ delös. N u följer vidare med denna systematiserande undervis­ ning, a t t den står främmande för hela den r i k a geometriska kunskapsvärld, som faller u t o m systemets r a m . Där ligger bland annat hela den avbildande geometrin med dess mång­ skiftande inlägg i ku l tu ren och samhällslivet. På alla dessa punkter sätter den nya undervisningen i n . Den v i l l göra geometrin t i l l en arbetande geometri . Det kon ­ kre ta är där det primära och centrala. Abs t r ak t ionen är en långt senare process. Det ta är n u i stora drag bi lden av matemat ikunderv is ­ ningen. Den rör sig som v i sett i föråldrade former. De t är den, som y t t e r s t betingar matematikens skeva ställning i den allmänna uppfa t tn ingen. De t är n u uppenbarligen en betydande uppgi f t a t t föra undervisningen u t ur denna ställning. Här måste landets ma­ tematiker , vetenskapsmännen och skolmannen, träda i sam­ arbete. Det är en svår uppgif t det gäller. De t behövs d jup vetenskaplig b i ldn ing och v e r k l i g pedagogisk erfarenhet för a t t lösa matematikundervisningens svåra problem.