Lösning av diofantiska ekvationer med hjälp av Fourieranalys En studie av Hardy-Littlewoods cirkelmetod Solving Diophantine equations using Fourier analysis Examensarbete för kandidatexamen i matematik vid Göteborgs universitet Kandidatarbete inom civilingenjörsutbildningen vid Chalmers Hugo Bäckman Tony Gromer Rebecka Mårtensson Elina Möller Institutionen för Matematiska vetenskaper CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA GÖTEBORGS UNIVERSITET Göteborg, Sverige 2023 Lösning av diofantiska ekvationer med hjälp av Fourieranalys En studie av Hardy-Littlewoods cirkelmetod Examensarbete för kandidatexamen i matematik vid Göteborgs universitet Hugo Bäckman Kandidatarbete i matematik inom civilingenjörsprogrammet Teknisk fysik vid Chal- mers Rebecka Mårtensson Kandidatarbete i matematik inom civilingenjörsprogrammet Teknisk matematik vid Chalmers Tony Gromer Elina Möller Handledare: Julia Brandes Institutionen för Matematiska vetenskaper CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA GÖTEBORGS UNIVERSITET Göteborg, Sverige 2023 Förord Vi vill börja med att tacka vår handledare Julia Brandes för ett stort engagemang och intresse för vår inlärning likväl som för vårt kandidatarbete. Under arbetets gång har en tidslogg och en dagbok skrivits. Nedan följer även en tabell med ansvarsområden i slutrapporten. Elina Möller och Tony Gromer skulle vilja kommentera att i stort sett allt arbete har skett via samtal och diskussioner mellan dem. Det är svårt att avgöra vem av de två som lade fram idéerna eftersom problemlösningen ofta skedde tillsammans. Hugo Bäckman och Rebecka Mårtensson har mestadels jobbat separat men även fortsatt varandras påbörjade texter. Avsnitt Författare Populärvetenskaplig presentation Elina Möller Sammanfattning och abstract Elina Möller, Rebecka Mårtens-son 1.1 Bakgrund stycke ett Elina Möller 1.1 Bakgrund stycke två Hugo Bäckman, Rebecka Mår-tensson 1.2 Mål, Sats 2.2.1 Elina Möller, Tony Gromer 1.2 Mål, Sats 2.2.2 Hugo Bäckman, Rebecka Mår-tensson 1.3 Cirkelmetoden fram till och med Ekvation (7) Elina Möller, Tony Gromer 1.3 Cirkelmetoden efter Ekvation (7) Hugo Bäckman, Rebecka Mår-tensson 2.1 Hardy-Littlewood uppdelning Elina Möller, Tony Gromer 2.2.1 Weyls sats Elina Möller, Tony Gromer 2.4 Minor arcs Elina Möller 2.4 Major arcs Elina Möller, Tony Gromer 2.4.1 Den singulära integralen Tony Gromer 2.4.2 Den singulära serien fram till och med Lemma 3.4.5 Elina Möller, Tony Gromer 2.4.2 Den singulära serien efter Lemma 3.4.5 Tony Gromer 2.5 Hardy-Littlewoods asymptotiska formel Tony Gromer 3.0 Vinogradovs sats (innan subsection) Hugo Bäckman 3.1 Singulära serien Rebecka Mårtensson 3.2 Integral över major arcs Rebecka Mårtensson, HugoBäckman 3.3 Integral över minor arcs Hugo Bäckman 3.4 Bevis av asymptotiska formel Hugo Bäckman, Rebecka Mår-tensson Källhänvisning Tony Gromer, Rebecka Mårtens-son Följande tabell anger ansvarsområden ifrån appendix. Författare Satser och lemman eller delkapi-tel Kapitel A.3, A.1.1, A.4.1, A.4.2, Elina Möller A.1.2, A.4.5, A.1.3, A.5.2 och A.5.3 Tony Gromer A.4.3, A.4.4, A.4.6, A.4.7, A.4.8och A.5.1 Hugo Bäckman A.2.2, A.2.3, A.2.9, A.2.10,A.2.11, Kapitel A.6 Rebecka Mårtenson A.2.1, A.2.3, A.2.4, A.2.5, A.2.7,A.2.8, A.2.6, Populärvetenskaplig presentation Den 7 juli år 1742 skrev den tyska matematikern Christian Goldbach ett brev till en av de mest framgångsrika matematikerna någonsin: Leonhard Euler. I detta brev hävdade Goldbach att varje jämnt heltal kan skrivas som en summa av två primtal. Primtal är heltal som endast är delbara med sig själva och ett. Några exempel på primtal är 2, 3, 5, 7, 37, 79, 97 eller 5197. Det är lätt att se att Goldbachs påstående gäller för de lägsta jämna heltalen. Talet 8, som exempel, kan skrivas som en summa av primtalen 5 och 3: 8=5+3. Detta påstående, känt som Goldbach hypotes, är trots sin enkla formulering ej bevisad. Det finns en svagare Goldbachs hypotes vilken säger att varje udda heltal större än 5 kan skri- vas som en summa av 3 primtal. Som exempel kan vi ta det udda talet 15, vilket kan skrivas som summan av primtalen 3, 5 och 7: 15=3+5+7. Som sagt finns inget bevis på Goldbachs hypotes, men om det fanns skulle det även direkt bevisa Goldbach svaga hypotes. Dock bevisade Ivan Mat- veyevich Vinogradov på 1930-talet att Goldbachs svaga hypotes stämmer för alla tillräckligt stora heltal. Beviset utvidgades till alla heltal av Harald Helfgott år 2013. Även innan 1700-talet har folk varit intresserade av liknande problem. Redan under antiken kan man se att matematikern Diophantus var medveten om vad som idag kallas för Lagranges fyra- kvadrats sats. Lagranges fyra-kvadrats sats säger att varje heltal kan skrivas som en summa av fyra stycken icke-negativa heltal upphöjt till två. Som exempel tar vi tre. Detta heltal kan skrivas som en summa av kvadraterna av 1 och 0 på följande sätt 3 = 12 + 12 + 12 + 02. Ett annat exempel är talet 31 där vi använder talen 1, 2 och 5 på följande sätt 31 = 52 + 22 + 12 + 12. Diophantus text översattes år 1621 från grekiska till latin och år 1770 bevisades Lagranges fyra- kvadrats sats av Joseph Lagrange. Samma år funderade matematikern Waring på om detta på- stående kunde generaliseras ännu mer, vilket han till slut uttryckte i Warings problem. Innan vi formulerar Warings problem ska vi fundera på en annan fråga. Vad skulle hända om vi i Lagranges fyra-kvadrats sats skulle upphöja talen med ett annat tal än 2? Om vi exempelvis tar 3. Skulle fyra stycken icke negativa tal upphöjt till tre räcka för att kunna skriva varje heltal som finns? Svaret är nej. Vi skulle behöva 9 stycken tal där alla är upphöjda till 3 för att kunna addera dessa till varenda heltal som finns. Vad händer om vi upphöjer talen med 4? Hur många tal skulle vi då behöva för att kunna summera till alla heltal? Finns det för varje heltalspotens ett specifikt nummer för hur många tal vi måste summera ihop för att kunna få varenda heltal? Detta är vad Warings problem frågar oss. Detta arbete undersöker Warings problem och metoder som tagits fram av matematiker för att svara på frågan sedan problemet blev formulerat år 1770. Mer specifikt presenterar vi Vinogradovs sats och undersöker en generalisering av Warings problem till flera olika potenser. Sammandrag I detta kandidatarbete i matematik vid Chalmers tekniska högskola och Göteborgs uni- versitet studeras två applikationer av Hardy-Littlewoods cirkelmetod. Det redogörs för en förbättring på Warings problem för ett godtyckligt antal olika potenser. Integralen från Hardy- Littlewoods cirkelmetod löses med Hardy-Littlewood uppdelning i major och minor arcs. Vid uppskattningen av minor arcsen används Hölders olikhet tillsamans med ett korollarium visat av Wooley. Major arcsen delas up i singulära serien och singulära integralen som estimeras separat. Slutligen kombineras detta för att få en asymptotisk formel. Hardy-Littlewoods cirkelmetod används även för att visa Vinogradovs sats. För att kunna estimera antalet sätt att representera ett heltal i termer av olika antal primtal delas enhetsin- tervallet upp i major och minor arcs. En uppskattning görs sedan av integralen över de båda mängderna med bland annat Siegel-Walfisz sats. Genom sammanslagning av dessa tar vi fram den slutgiltiga asymptotiska formlen. Abstract This bachelor’s thesis in mathematics at Chalmers University of Technology and University of Gothenburg examines two applications of Hardy-Littlewoods circle method. Firstly we show an improvement of Waring’s problem for an arbitrary number of different exponents. The integral from Hardy-Littlewood circle method is solved with Hardy-Littlewood decomposition into major and minor arcs. Hölder’s inequality and a Corollary by Wooley are used to estimate the minor arcs. The major arcs are split into the singular series and the singular integral and they are estimated separately. Finally, this is combined into an asymptotic formula. The Hardy-Littlewood circle method is also used to demonstrate Vinogradov’s theorem. In order to estimate the number of ways to represent an integer in terms of prime numbers, the unit interval is divided into major and minor arcs. An estimate of the integral is then made over these two using, among other things, the Siegel-Walfisz theorem. By combining these, we obtain the final asymptotic formula. Innehåll 1 Notationer 1 2 Inledning 2 2.1 Bakgrund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.2 Mål . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.3 Cirkelmetoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 Warings problem för olika potenser 4 3.1 Hardy-Littlewood uppdelning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3.2 Uppskattningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.2.1 Weyls sats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.3 Minor arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.4 Major arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.4.1 Den singulära integralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.4.2 Den singulära serien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.5 Hardy-Littlewoods asymptotiska formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4 Vinogradovs sats 13 4.1 Singulära serien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4.2 Integral över major arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4.3 Integral över minor arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4.4 Bevis av asymptotiska formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 A Appendix i A.1 Allmäna satser och lemman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i A.2 Teori om multiplikativa funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii A.3 Differensoperatorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii A.4 Uppskattningar till Warings problem med flera olika potenser . . . . . . . . . . . . ix A.5 Konvergens av oändlig produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi A.6 Bevis för Vinogradovs Summa, Sats 4.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xviii 1 Notationer Definition 1. (m,n) = 1 innebär att heltalen m och n är relativt prima. Definition 2. För två funktioner f och g där f är reell- eller komplexvärd och g positiv och reellvärd skrivs f = O(g) eller f ≪ g, (1) om det finns någon konstant c så att |f(x)| ≤ cg(x) för alla x i definitionsmängden. Talet c kallas den implicerade konstanten och kan bero av andra variabler a, b, . . .. Om både f ≪ g och g ≪ f skrivs f ≍ g. (2) Definition 3. Ett förkortat sätt att skriva en punkt på enhetscirkeln är e2πik = e(k). Båda skrivsätten kommer användas. Definition 4. Heltalsdelen av det reella talet x betecknas [x] och bestäms av olikheten [x] ≤ x < [x] + 1. Heltalsdelen för ett tal är unikt. Definition 5. {x} betecknar decimaldelen av x, sådan att {x} = x− [x] ∈ [0, 1). Definition 6. ∥x∥ betecknar avståndet från det reella talet x till det närmaste heltalet, det vill säga att ∥x∥ = min {|x− n| : n ∈ Z} = min {{x}, 1− {x}} ∈ [0, 1/2]. 1 2 Inledning 2.1 Bakgrund Warings problem ställer frågan om det för varje heltal k finns ett heltal s så att varje heltal N kan skrivas som en summa av som högst s stycken heltal upphöjt i k, det vill säga N = xk k1 + · · ·+ xs . Problemet lades fram av Waring år 1770 [War82]. För att visa detta så hittar vi en asymptotisk formel för rk,s(N), vilken definieras som antalet representationer som lösningen kan skrivas på. Vi kan se att rk,s(N) konvergerar då s är tillräckligt stort. Hilbert gav ett första bevis, vilket inte var konstruktivt, till detta problem år 1909 [Hil09]. Hardy, Littlewood och Ramanujan [HL20] tog fram cirkelmetoden som fortfarande är relevant inom ämnet. Vinogradov förbättrade och förenkla- de denna metod i ett flertal artiklar, bland annat i [Vin84][Vin54]. Hardy och Littlewood lade även fram en första övre gräns så att rk,s(N) håller. Sedan har flera matematiker gjort denna gränsen bättre, däribland Hua [Hua38], Vaughan [Vau86] och nyligen Boklan [Bok94]. Wooley lade grunden för vidare framsteg [Woo12][Woo18], då han hittade en ny lägre uppskattning av en integral som krävs för att visa konvergens. Browning och Yamagishi generaliserade år 2021 problemet för flera olika potenser i [BY19], men utan att använda Wooleys uppskattning från [Woo18] i sin starkaste form. För vidare information hänvisas till läsaren till [VW02]. Detta arbete kommer presentera en förbättring av Browning och Yamagishis argumentation genom att införa Wooleys resultat. Detta leder till ett bättre krav på s. Ett centralt resultat inom additiv talteori, mer specifikt inom studier om primtal, är Vinogra- dovs sats. Den påstår att alla tillräckligt stora udda heltal N kan skrivas som en summa av tre primtal N = p1 + p2 + p3. Likt Warings problem visas Vinogradovs sats genom att ge en asympto- tisk formel för antalet representationer av primtalstripplar ett udda tal kan skrivas som en summa av. Detta visas med hjälp av Hardy-Littlewoods cirkelmetod. Ivan Vinogradov var först med att visa påståendet [Vin37] och han delade upp den asymptotiska formeln i en huvudterm och en fel- term. Huvudtermen började dock dominera först vid enormt stora tal, och år 2002 visade Liu och Wang att 101346 var tillräckligt stort [LW02]. Drygt ett decennium senare visade Harald Helfgott att påståendet gäller för alla heltal N ≥ 7 [Hel13]. Helfgotts huvudterm började dominera mycket tidigare, och för heltalen innan dess gick det att kontrollera med datorers hjälp. Målet med denna del är att presentera Vinogradovs sats för godtyckligt antal primtal. Det görs genom att finna en asymptotisk formel för antalet representationer för ett positivt heltal N (samma paritet som h) som en summa av h ≥ 3 primtal. Ett välkänt öppet problem inom matematiken är Goldbachs hypotes som påstår att varje jämnt tal större än eller lika med 4 kan skrivas som en summa av två primtal. Med samma metoder som används för att visa Vinogradovs sats kan man även visa att nästan alla jämna heltal kan skrivas som en summa av två primtal. 2.2 Mål Slutligen kommer argumentationen för Warings problem med godtyckligt antal potenser leda till att visa Sats 2.2.1. Låt nu rk(N) vara antalet representationer utav N som en summa av s stycken ki-potenser av positiva heltal. Sats 2.2.1. Låt ki ≥ 2 och ∑s 1 > 1 (3) s (k ) i=1 1 i √ där s1(ki) = k2i − ki + 2⌊ 2ki∏+ 2⌋ −(2. Då e)xisterar det η = η(k, s) > 0 sådan atts i=1 rk(N) = S(N) (∑Γ 1 + )1 ∑ ( (∑ ) )ki s 1i=1 k − s1 1N i +O N i=1 k −1−ηi (4)s Γ 1i=1 ki 2 där den implicerade konstanten endast beror på k och s, och S(N) är aritmetisk funktion sådan att 0 ≤ S(N) < c2 för alla N , där c2 är en positiv konstant endast beroende av k och s. ∑ Browning och Yamagishi etablerade den asymptotiska formeln (4), men med kravets 1 i=1 k (k +1) ≥ 1 för något j ∈ {1, . . . , s}. Vårt resultat ger alltså en relaxering av deras villkor. i≠ j i i Vi kommer även redovisa Vinogradovs sats 2.2.2. Sats 2.2.2. Låt rh(N) vara antalet sätt som ett heltal N kan skrivas som en summa av h ≥ 3 primtal, där N ≡ h (mod 2). Då gäller − ( ( ))Nh 1 O log logNrh(N) = Sh(N) 1 + , (h− 1)(logN)h logN där Sh(N) är en aritmetisk funktion sådan att c1 < Sh(N) < c2 för positiva konstanter c1 och c2. 2.3 Cirkelmetoden Vi låter rk,s(N) för positiva heltal k och s beteckna antalet representationer av heltalet N som en summa av s positiva tal med exponenten k, det vill säga antalet s-tuplar av positiva heltal sådan att N = xk1 + · · ·+ xks . Warings problem innebär att bevisa att varje ickenegativt heltal är en summa av ett begränsat antal potenser av k. Det är ekvivalent med att visa att till varje k finns s sådan att rk,s(N) > 0. Warings problemet för godtyckligt antal olika potenser går att lösa med samma metod, men skulle istället skrivas som N = xk11 + · · ·+ xkss . (5) Detta innebär att varje term har sin egna potens ki. Notera att det inte finns något krav på att ki måste vara distinkta. Grundid∫éen vi utgår ifrån är Fo{urierortogonaliten som säger att1 − 1 då m = n,e(mα)e( nα) dα = (6) 0 0 då m ≠ n. Vi kan utnyttja d∫etta faktum för att ta reda på när E{kvation (5) har en lösning genom att beräkna1 k1 ks e((xk11 + · · · k − 1 då x1 + · · ·+ xs = N,+ x ss N)α) dα = 0 0 då xk11 + · · ·+ xkss ≠ N. Då vi vill testa för godtyckliga heltal xi, så ansätter vi för k ≥ 2 det trigonometriska polynomet [∑1N k ] F (α) = e(αnk). n=1 Genom att multiplicera polynomet med sig själv s gånger så får vi en summa över e((xk1+. . .+xks)α) som innehåller alla möjliga kombinationer av heltal n. Endast de termer som ger en lösning är nollskiljda, och vi får då att ∫ 1 rk,s(N) = F (α) se(−αN) dα. 0 3 För att anpassa kapitel 5 i [Nat96] till ett godtyckligt antal olika potenser så definierar vi istället 1 [N∑ki ] F (α) = e(αnkik )i n=1 och för s stycken godtyckliga potenser ∫får (vi att∏ )1 s rk(N) = Fk (α) e(−αN) dα. (7)i 0 i=1 På liknande sätt definierar vi rh(N) som antal representationer av N skrivet som en summa av h primtal N = p1 + · · ·+ ph. Dessutom definieras Rh(N) som motsvarand∑e viktade summa enligt Rh(N) = log p1 · · · log ph. (8) p1+p2+...+ph=N Denna summa kan formuleras som en integ∫ral med Hardy-Littlewoods cirkelmetod1 R (N) = F (α)hh e(−Nα) dα, (9) 0 där funktionen F (α) nu definieras som ∑ F (α) := log(p)e(pα). (10) p≤N Detta följer från att F (α)h betraktar alla möjliga summor av h primtal upp till N . Vid integrering så kommer Fourierortogonaliten (6) medföra att endast de summor som blir N betraktas. 3 Warings problem för olika potenser 3.1 Hardy-Littlewood uppdelning Det finns inget sätt att beräkna integralen (7) uttryckligen för ki ≥ 2, men det går att få fram Hardy-Littlewoods asymptotiska formel, genom att göra uppskattningar. Det första steget är att dela upp intervallet [0, 1] i två disjunkta mängder, vilka vi kallar för major arcs M och minor arcs m. Sedan kommer integralen uppskattas separat på dessa två mängder. Major arcsen kommer vara de reella talen α ∈ [0, 1] som i stort sätt kan approximeras till rationella tal med liten nämnare. Minor arcsen kommer vara resten av intervallet, det vill säga dem som inte kan uppskattas väl. Den största massan av intervallet hamnar i minor arcsen. Major arcsen kommer sedan att ses som en produkt∑av vad som kallas för singulära integralen och singulära serien. Vi kommer att anpassaargumentet i [Nat96] till flera olika potenser och på detta sätt visa Hardy-Littlewoods asymptotiska formel för s 1i=1 s (k ) > 1 och ki ≥ 2, där s0(ki) ges av Sats 3.3.1. Låt oss nu konstruera major och0 i minor arcsen. Vi låter N ≥ 2ki . Vi kan även anta att k1 ≤ k2 ≤ · · · ≤ ks utan att göra påståendet mindre generellt. Välj ett fixt tal δ > 0 som är godtyckligt litet i termer av k och s. Vi låter a och q vara heltal sådana att 0 ≤ a ≤ q och{(a, q) = 1. Se∣∣dan lå∣∣ter vi }a 1 M(q, a) = α ∈ [0, 1] : ∣∣α− ∣q ∣ ≤ N1−δ och ⋃ ⋃q M = M(q, a). 1≤q≤Nδ a=0 (a,q)=1 4 Här är M(q, a) en major arc och M mängden av alla major arcs. Vi kan se att M(1, 0) = [0, N−1+δ], M(1, 1) = [1−N−1+δ, 1] och [ ] a a M(q, a) = −N−1+δ, +N−1+δ q q för q ≥ 2. Här kan man se att major arcsen kan approximeras med hjälp av rationella tal på sättet ∗ att de är nära ett sådant, med ett avstånd N−1+δ. Ifall α ∈ M(q, a)∩M(q∗, a∗) och a aq ≠ q∗ , då är |aq∗ − a∗q|≥ 1 och ∣ ∣ ∣ 1 ≤ 1 ≤ ∣∣∣a a∗ ∣∣∣ ∣− ≤ ∣∣ − aα ∣∣∣∣ ∣∣∣∣ ∗ ∣∣− a ∣∣ ≤ 2N2δ qq∗ q q∗ + α ,q q∗ N1−δ vilket är omöjligt för N ≥ 2. På grund av det så är major arcsenM(q, a) parvis disjunkta. Volymen av mängden M(1, 0) ∪ M(1, 1) är 2N−1+δ, och för varje q ≥ 2 och (a, q) = 1, så är volymen av en major arc M(q, a) är 2N−1+δ. För varje q ≥ 2 så finns det mer exakt φ(q) positiva heltal a så att 1 ≤ a ≤ q och (q, a) = 1, där φ(q) betecknar Eulers fi-funktion. Det följer nu att volymen av mängden utav major arcsen ges 2 ∑ av 2 ∑ 2 1 vol(M) = φ(q) ≤ q ≤ N2δ ≤ (11) N1−δ N1−δ N1−δ N−3δ+1 1≤q≤Nδ 1≤q≤Nδ vilket går mot 0 då N går mot oändligheten. Vi definierar mängden av minor arcsen som m = [0, 1] \M. Denna mängd är en ändlig union av öppna interval och är uppbyggd av alla α ∈ [0, 1] som inte går att approximera med hjälp av bråk. Volymen av minor arcsen blir 1 vol(m) = 1− vol(M) > 1− N− . 3δ+1 3.2 Uppskattningar För att kunna presentera slutsatsen måste först en del satser och lemman redogöras för vilka underbygger argumenten. De flesta presenteras i appendix, men den viktigaste visas här. 3.2.1 Weyls sats Weyls sats och dess bevis är delvis taget från Sats 4.3 i [Nat96] och delvis från Lemma 2.4 i [Vau97]. Lemma 3.2.1. Låt f(x) = αxk + . . . vara ett polynom av grad k ≥ 2 med reella koefficienter, och antag att α har den rationella approximati∣onen a q∣ så att∣∣∣ − a ∣∣α ∣ ≤ 1 ,q q2 där q ≥ 1 och (a, q) = 1. Låt ∑P S(f) = e(f(n)). n=1 Låt K = 2k−1 och ε > 0. Då är 1 S(f) ≪ P 1+ε(P−1 + q−1 + P−kq)K , där den implicerade konstanten endast beror på k och ε. 5 Bevis. På grund av att |S(f)| ≤ P så fås resultatet direkt om q ≥ P k. Med andra ord kan vi anta att 1 ≤ q < P k, och då är log(q) ≪ log(P ) ≪ P ε. Från Lemma A.4.3 har vi att k!∑Pk−1 | KS(f)| ≪ PK−1 + PK−k+ε min(P, ∥mα∥−1) ( m=1 ) k!∑Pk−1 ≪ PK−k+ε PK−1 min(P km−1, ∥mα∥−1) . m=1 Från Lemma A.1.2 får vi att ( ) | |KS(f) ≪ PK−k+ε PK− ( ) ( ) 1 + P ε P k−1P qP−k + P−1( ) + q −1 ≪ PK+ε qP−k + P−1 + q−1 , vilket avslutar beviset. 3.3 Minor arcs För att visa att integralen över minor arcs blir tillräckligt liten för ett lägre antal termer än [BY19] så behöver vi Korollarium 14.7 från [Woo18]. Sats 3.3.1. Låt 2ki +m(m− 1) s0(ki) = ki(ki − 1) + min . 0≤m 1. D(et existerar då ett δ1 > 0 så att∫ ∏ 0 is (∑ ) )s 1 −1−δ Fk (α) e(−Nα) dα = O N i=1 k 1i .i m i=1 där den implicerade kontanten endast beror på k och s. Bevis. Från Dirichlets sats A.1.1 med Q = N1−δ får vi slutsatsen att för varje reellt tal α finns det ett korresponderande bråk∣ a så ∣att 1 ≤ q ≤ N1−δq (och (a, q) =)1 med egenskapen∣∣∣ − a ∣α ∣∣ ≤ 1 ≤ 1 1min , .q qN1−δ N1−δ q2 6 Ifall q ≤ Nδ följer det att α ∈ M(q, a) ⊆ M = [0, 1] \ m, vilket motsäger vårt antagande. Vi kan alltså anta att Nδ < q ≤ N1−δ. 1 Från Weyls olikhet, Lemma 3.2.1, med f(x) = αxki och P = N ki får vi att 1 1 − − 1 1F (α) ≪ (N k )1+εi ((N k 1k i ) + q 1 + (N k −ki ) iq) 2ki−1i 1+ε ≪ k − 1 1 1 + ε − δ N i (N k −δ −1 1−δi +N +N N ) 2ki−1 ≪ N ki ki 2ki−1 . Nedan följer uppskattningen av integralen över minor arcsen. För ett urval av σ1, . . . , σs ∈ [0, 1] så får vi med hj∣∣ä∫lp av triangelolikheten f∣∣ör in∣∣ ∏ ∣ ∣s ∫ tegraler ∣ s ∣ Fk (α)e(−Nα) dα∫ i ∣ m ∏ ∣ ∣∣∣∣ ∏ ∣≤ F (α)1−σi σi ∣k Fi k (α) dαi ∣ i=1 m i=1 s ∏s ∫ ∣1 ≤ |Fk (α)|1−σi |F σik (α)| dα ≤ sup |F (α)|1−σi |F (α)|σi dα.i i ki ki m α∈mi=1 i=1 0 Sedan via Weyls olikhet fås ∏s ∫ 11 ≪ k + ε δ (N i k − i 2k −1 )1−σi i |Fk (α)|σi dα.i i=1 0 Genom att använda Hölders olikhet på integralen f(år vi∏s ∫ 1 ) 1p1 i ≪ k + ε − δ (N 1−σ σ pi ki 2ki−1 ) i |F i iki(α)| dα (12) i=1 0 där pi är valfria så att 1p + · · · + 1 p = 1. Dessutom ska σipi ≥ s0(ki) med s0(ki) taget från Sats1 s 3.3.1. M∑ed hjälp av detta ser vi att σi ≥ 1s (k ) p . Om vi su∑mmerar både höger och vänsterledet0 i i får vi s σi s 1i=1 s0(k ) ≥ 1. Vi konkluderar att vår∑t antagandei i=1 s > 1 innebär att vi kan välja0 σi ∈ [0, 1], där alla inte är identiskt ett, så att s σii=1 s ≥ 1. Slutligen ser vi då att∑s 1 ∑ 0 s ⇒ σi ≥ ⇒ σi> 1 1 ≥ 1 . s0(ki) s0(ki) s0(ki) pi=1 i=1 i Nu kan vi genom att∏applicera Wooleys sats 3.3.1 på uttrycket (12) få följandes (∑ )1 + ε≪ − δ σ p ε 1 s 1k −1 1−σ i ii −1+ i=1 k −1−δ(N ki ki 2 i ) (N k k 1i i ) pi = N i , ∑ i=1 där sδ = δ1 i=1 k −1 (1− σi) + ε > 0. Detta avslutar beviset.2 i 3.4 Major arcs Som redan nämnts i texten ska integralen över major arcsen uppskattas genom att delas upp i två delar vilka vi kallar för singulära serien och singulära integralen. För att göra detta introducerar vi först hjälpfunktionerna ∑N 1 1 −1 vk (β) = m ki e(βm) (13)i k m=1 i och ∑q ( )arki Sk (q, a) = e .i q r=1 7 Detta motsvarar hur Nathanson definierar dem i [Nat96, Kapitel 5.5], fast anpassat för flera olika potenser. Vi ska nu bevisa att ifall α ligger i major arcsen M(q, a) så kan Fk (α) skrivas somi produkten av Sk (q,a)i q och vk (α − a q ), samt en liten ordoterm. Vi börjar med att estimera dessai funktioner och på så sätt estimerar vi även Fk (α). (Låt nu∑ ∑iq ∏s ) ( )Sk (q, a) −Na S(N,N δ) = i e q q 1≤q≤Nδ a=0 i=1 (a,q)=1 och ∫ N−1+δ ∏s J∗(N) = vk (β)e(−Nβ) dβ.i −N−1+δ i=1 Följande Lemma 3.4.1 använder argumentationen av Sats 5.3 i [Nat96], fast anpassat för god- tyckligt antal olika potenser i Warings problem. Lemma 3.4.1.∫Låt M benämna mängden av major arcs. I så fall är∏s ∑ ( s 1 )−1−δ F (α)e(−Nα) dα = S(N,N δ)J∗(N) +O(N i=1 k 2k ii ) M i=1 där δ2 = 1k − 5δ > 0.s Bevis. Vi låter α ∈ M(q, a) och a β = α− . q Sedan låter vi ( ) Sk (q, a) a Sk (q, a) Vk = Vk (α, q, a) = i v α− = i v (β) i i k kq i q q i för alla möjliga ki. Följande nämns några nödvändiga uppskattningar för att beviset ska kunna 1 genomföras. Eftersom |Sk (q, a)| ≤ q får vi att |Vk | ≪ |vk (β)| ≪ N ki från Lemma A.4.4. Vi låteri i i 1 Fk = Fk (α). I så fall är |Fk | ≤ N ki . Dessutom har vi att Fk − Vk = O(N2δ) från Lemma A.4.5i i i i i och då f∏år vi atts ∏s ∏s ∏s Fki − Vki = ((Fki − Vki) + Vki) + Vki i=1 i=1 i∏=1  i=1s ∏s ∏s ∑ ∏ s = Vk − Vk +O |F i i k − Vi k |+ |F − V | |V |i kl kl kj i∑=1 i=1s ∏ i=1 l=1 j ̸=l∑s−1 ∑1 ( s−1 1≪ |F − V | |V | ≪ |F − V |N i=1 k )+2δk k k k k i = N i=1 kil l j s s l=1 j ̸=l där vi utnyttjar vårt antagande att max ki = ks. På grund av att vol(M) ≪ N3δ−1 från Ekvation (11) följer det ∫att ∣∣∣∣∏ ∣s ∏s∣ ∣∣ ( ∣∣ ∑ ) − s−1 1 ∑s−1 1 − ≪ 3δ 1 i=1 k +2δ ( i=1 k )−1+5δFk Vk dα N N i = N ii i M i=1 i=1 ∑ ( s ∑ 1 1 s 1 = N i=1 k )−1− k +5δ (i s = N i=1 k )−1−δ2 i , 8 då δ = 12 k(− 5δ > 0.)På grund av detta k(an vi se att∫ s ∏s ∫ ∏ )s ( ∑ )s 1 Fki(α) e(− ( )−1−δ Nα) dα = V (α, q, a) e(−Nα) dα+O N i=1 k 2k ii M∑ i=1 ∑ ∏( ) (M i=1q s )∫ N− ( )1+δSk (q, a) − sNa ∏ = i e vki(β) e(−Nβ) dβq q −N−1+δ 1≤q≤N( δ a=0 i=1 ) i=1(a∑,q)=1 ( s 1 )−1−δ +O N i=1 k 2i . Vi kon∫klud(erar att∏ )s Fk (α) e(−Nα) dαi M i=1∑ ∑q ∏s ( ) ( )S ( ∑ )k (q, a) −Na ∗ ( s 1i O i=1 k )−1−δ= e J (N) + N 2i q q 1≤q≤Nδ a=0 i=1 (a,q)=1 ∑ = S(N,N δ)J∗ O ( s 1 (N) + (N i=1 k )−1−δ2 i ), vilket avslutar beviset. 3.4.1 Den singulära integralen Den singulära integralen för Warings problem med godtyckligt antal olika potenser betecknar vi som ∫ ( )1 s 2 ∏ J(N) = vki(β) e(−βN) dβ. (14) − 12 i=1 Argumenten för Lemma 3.4.2 följer den som Nathanson gör för fallet då k1 = . . . = ks i [Nat96] (Sats 5.4). Lemma 3.4.2. Det existerar ett δ3 > 0 så att ∑ ( s 1 J(N) ≪ N i=1 k )−1i och ( ∑ ) ∗ ( s 1O i=1 k )−1−δJ (N) = J(N) + N 3i . Bevis. Frå∫n Le∏mma A(.4.4 inser vi a1 s2 ) tt ∫ 1 ∑ ∫ 1 1 − 1 N s 1 2 ∑s ∑− 1≪ k | | k i=1 k i=1 k ≪ ( s 1i=1 k )−1J(N) min N i , β i dβ = N i dβ + β i dβ N i 0 1i=1 0 N och ∫ 1 ∏s ∫ 1 ∗ 2 2 ∑ − s 1 J(N)− J (N) ≪ |vk (β)| dβ ≪ β i=1 ki dβi N−1+δ −1+δi=1∑ N (δ−1)(1− n ∑ ∑ ∑ 1 ≪ i=1 k ) −1+δ−δ s 1 + s 1 ( s 1 )−1−δ ∑ N i = N i=1 k 3 i∑ i=1 ki = N i=1 ki , där sδ 13 = δ( i=1 k − 1) > 0 då vi enligt olikheten (3) får att s 1 i i=1 k > 2. i Beviset för Lemma 3.4.3 följer argumentationen från Sats 5.5 i [Nat96]. 9 Lemma 3.4.3. Om s ≥ 2,∏så är ( )s (∑Γ 1 + )1 ∑ ( ( ) )i=1 ∑ki s 1 s−1 1 −1J(N) = N i=1 k −1i +O N i=1 ki . (15)s Γ 1i=1 ki Bevis. Ekvation (13) g∏er att (∏ ∑ )s s N 1 1k −1 vi(β) = m ii e((m1 + . . .+ms)β),k i=1 i=1mi=1 i vilket tillsammans med(E∏kvatio)n((14) leder till at)ts s N ∫1 ∏ ∑ 1 − 1/2k 1 J(N) = i( ) mi e((m1 + . . .+ms −N)β)ki∏=1 i i=1∑mi=1s 1 ∏ −1/2 s 1 k −1 = m i . k i i=1 i m1+...+ms=N i=1 1≤ Vi skriver nu (mi≤N∏ )n n1 ∑ ∏ 1k −1 Jn(N) = m ii .k i=1 i m1+···+mn=N i=1 1≤mi≤N Vi kommer nu att använda induktion för att visa Ekvation (15). För basfallet då n = 2 använder vi Lemma A.4.6 med α = 1k(och β = 1 )( k), vilket ger oss att1 2 N 1 1 ∑−1 1 1 J2(N) = m k −1 ( )( ) ( ) (2 ()N −m) k −11 k1 k2 m=1 1 1 Γ 1 Γ 1 ( )k1 k2 = ( k1 ) k2 1 1 1N k + k −1 −11 2 +O N k1 ∏ Γ( 1k +1 )1k22 i= = (1∑Γ 1 + k)1 ∑ ( )1 ( 2 1 1N i=1 k )−1 −1i +O N k1 ,2 Γ 1i=1 ki där vi i sista steget använder Gammafunktionens funktionalekvation zΓ(z) = Γ(1+ z), se [WW21, Kapitel 12.12]. Antag∫nu att påståendet gäller för något n ≥ 2. Vifår via Ekvation (13) att1/2  ∑N n1 1 ∏J (N) = (m ) k −1 n+1 n+1 n+1 e(βmn+1) vi(β)e(−Nβ) dβ −1/2 k ∑ m =1 n+1 n+1 ∫ (∏ ) i=1N n1 1/21 k −1= (mn+1) n+1 vi(β) e(−(N −mn+1)β) dβ k m =1 n+1∑ −1/2n+1 i=1N 1 1 −1 = (m kn+1) n+1 Jn(N −mn+1). k m n+1n+1=1 Vi använder nu induktionsantagandet vilket ger ∑ ∑ ∏ ( )N n1 1 − n i=(1∑Γ 1 + 11 ( 1k )−1 kiJn+1(N) = (mn+1) n+1 (N −mn+1) i=1 ki ) ( kn+1 ) n 1mn+1=1 Γ N∑ i=1 ki−1 1 1 ∑n−1 1 +O m k −1 ( )−1n+1 (N −m) i=1 ki . k m=1 n+1 10 ∑ Vi kan nu använda Lemma A.4.6 på huvudtermen, med nα = ∑ 1i=1 k och β = 1k . Föri n+1 feltermen använder vi återigen oss av Lemma A.4.6, fast med n−1α = 1 1i=1 k och β = k . Föri n hu∏vudterm(en får )vin(∑Γ 1 + )1i=1 k ∑Ni 1 1 − ∑1 ( n 1k − i=1 k )−1(mn+1) n+1 (N mn+1) in Γ 1 kn+1i=1 k mn+1=1i ∏ ( ) ( ) ( ) ( )n i=( ∑n1∑Γ 1 + )1 1 Γ 1 1 ∑ki kn+1 (k∑ Γn+1 ) i=1 k ( n 1i i=1 k + 1k )−1= N i n+1n ∏Γ ( 1 ) n+1 i=1 k Γ 1 i i=1 ki n+(1 1 ( )i=1∑Γ 1 + k= ) ∑i ( n+1 ∑1i=1 k )−1 O ( n 1N i + N i=1 k )−1i ,n+1 Γ 1i=1 ki där vi återigen använder oss av [WW21, Kapitel 12.12]. För feltermen får vi på samma sätt N∑−1 1 ∑1 k − ∑ ∑ 1 n−1 1 n−1 1 1 n 1 m n+1 (N − ( ( )− −1m) i=1 k )−1 = N i=1 k (i i kn+1 ≪ N i=1 k )−1i . k m=1 n+1 Tillsammans ger nu huvudte∏rmen oc(h felterm) en attn+1 i=1 Γ 1 + 1 ( ) k ∑i ( n+1 ∑1 )−1 ( n 1 )−1 Jn+1(N) = (∑ ) N i=1 ki +O N i=1 ki ,n+1 Γ 1i=1 ki vilket fullbordar induktionsbeviset. 3.4.2 Den singulära serien För att introducera den singulära serien behöver vi först presentera en sats. Lemma 3.4.4 är tagen från Lemma 4.2 i [Vau97]. Lemma 3.4.4. Antag att (a, q) = 1. Då är ≪ 1− 1S(q, a) q k . Vi har redan introducerat funktionen ∑ S(N,N δ) = AN (q) 1≤q≤Nδ där ∑q ∏s ( ) ( )Ski(q, a) −NaAN (q) = e . q q a=0 i=1 (a,q)=1 Vi definierar då den singulära serien för Warings∑problem som∞ S(N) = AN (q). q=1 För att visa att AN (q) är absolutkonvergent, låt 0 < ε < 1s , och anta att∑s 1 > 2. (16) k i=1 i Låt även (a, q) = 1. Vi har då enligt Lemma 3.4.4 att 1− 1 S kk ii(q, a) ≪ q , 11 vilket ger oss ∑q ∏s ( ) ( )Sk (q, a) ∑i ≪ 1− s 1 1q i=1 ki = (∑ ) . q s 1 a=0 i=1 ∑ q i=1 k −1 i (a,q)=1 Vi betraktar nu exponenten. Då s 1i=1 k > 2 har vi att∑ is s1 ∑− 1 > 1 =⇒ 1 − 1 = 1 + δ4, k k i=1 i i=1 i där δ4 > 0. Vi kan då se att ∑q ∏s ( ) ≪ Sk (q, a) 1A iN (q) ≪ . q q1+δ4 a=0 i=1 ∑ (a,q)=1∑ ∑ Således är a AN (q) absolutkonverge∑nt om s 1i=1 k > 2. Notera att kravet s 1i i=1 k > 2 är någoti svagare än kravet för minor arcs, att s0(k )−1i >∑1. Låt nu∞ χN (p) = 1 + AN (p h). h=1 Lemma 3.4.5 mots∑varar Lemma 5.7 och Sats 5.6 i [Nat96]. Lemma 3.4.5. Om s 1i=1 k > 2, så äri ∏ S(N) = χN (p). (17) p Vidare så existerar det en konstant c2 beroende endast på k och s sådan att 0 ≤ S(N) < c2 för alla N, och det existerar även ett primtal p0∏beroende av endast k och s sådan att 1/2 < χN (p) ≤ 3/2 (18) p>p0 för alla N ≥ 1. Vidare, så gäller det för tillräckligt stora(N att ) ∑ S(N,N δ) = S(N) +O N−δδ4 . Bevis. Vi har visat att om s 1i=1 k > 2, så äri ≪ 1AN (q∑) , (19)q1+δ4 där δ4 beror endast på k och s, sådan att serien q AN (q) är absolutkonvergent. Eftersom attAN (q) är multiplikativ så implicerar Lemma A.5.3 direkt att produkten i Ekvation (17) konvergerar. Från Lemma A.4.7 så följer det att χN (p) är ett icke-negativt reellt tal för alla N och p, så den singulära serien S(N) är positiv. Vi har alltså ∑∞ 0 ≤ 1S(N) ≤ = c 1+δ 2 < ∞ q 4 q=1 och ∑∞ ∣∣ ∣∣ ∑∞|χN (p)− 11| ≤ A hN (p ) ≪ ≪ 1 . ph(1+δ4) p1+δ4 h=1 h=1 Därför existerar det en konstant c endast beroende av k och s sådan att − c1 ≤ χ (p) ≤ c1 + p1+δ N 4 ∏p1+δ4 för alla N och p. Olikheten (18) följer från konvergens av (1± cp−1−δ4p ). 12 3.5 Hardy-Littlewoods asymptotiska formel Vi har nu alla delar som behövs för att visa Hardy-Littlewoods formel för Warings problem. Låt η = min(1, δ1, δ2, δ3, δδ4). Vi använder oss nu av Hardy-Littlewoods uppdelning och nyttjar Lemma 3.3.2 på minor∫arcsen och Lemma 3.4.1 på∫major arcsen. Då får vi at∫t1 ∏s ∏s ∏s rk,s(N) = Fk (α)e(−αN) dα = (Fk (α)e(−αN) dα)+ ( Fk (α)e(−αN) dα.i i i0 i=1 M i=1 (∑ ) m i=1 (s ∑ ) )1 −1−δ s 1 −1−δ = S(N,N δ)J∗(N) +O N i=1 k 2i +O N i=1 k 1i . Genom att nu använda oss av Lemma 3.4.2 för att uppskatta J∗(N) och Lemma 3.4.5 för att uppskatta S(N,N δ) så får vi att ( (∑ ) ) ( (s ∑ ) )1 δ ∗ O i=1 k −1−δ s 1 2 O i=1 k −1−δrk,s(N) = S(N,N )J (N) + N i + N 1i( ( ))( ( (∑ ) ))s 1 −1−δ = S((N) +O N−δδ4 ) J(N() +O N i=1 k 3i(∑ ) (∑ ) )s 1 O i=1 k −1−δ s 1 + N 2i ( +O N )i=1 k −1−δ1 i (∑ )s 1 −1−η = S(N)J(N) +O N i=1 ki . Till slut använder∏vi oss a(v Lemm)a 3.4.3 för att uppskatta J(N) och vi får dås (∑Γ 1 + )1 ( ) ( (i=1 ∑s ∑ ) ) ( (∑ ) )ki 1i=1 k −1 s−1 1 −1 s 1 −1−ηrk,s(N) = S(N) N i +O N i=1 ki +O N i=1 ki(s∏Γ 1i=1 ki )s i=(1∑Γ 1 + )1 (∑ ) ( (∑ ) )k si 1 n 1= S(N) N i=1 k −1 O i=1 k −1−ηi + N i ,s Γ 1i=1 ki vilket skulle visas. 4 Vinogradovs sats En annan applikation av Hardy-Littlewoods cirkelmetod är i summation över primtal. Genom att ändra domänen som summeras över skapas ett helt nytt problem, vi går från summation av heltalspotenser till summation av primtal. Antalet representationer bestäms av tätheten av primtalen. Chebyshevs sats beskriver detta a∑symptotiskt. Sats 4.0.1. (Chebyshev) Definiera π(x) = p≤x 1 som antalet primtal mindre än eller lika med x. Då gäller x π(x) ≍ . log(x) Det gäller även att ∑ ∑ log p ≍ Λ(n) ≍ x, { p≤x n≤x log(p) om n = pt, där Mangoldtfunktionen Λ(n) := 0 annars. Beviset finns i Sats A.2.11. Låt nu rh(N) beteckna antalet representationer som N kan skrivas som en summa av h primtal, med restriktionen att N har samma paritet som h, dvs N ≡ h (mod 2). För att beräkna det 13 asymptotiska beteendet av rh(N) så betraktas den viktade summan Rh(N∫ ) i Ekvation (8). Från Fourierortogonaliten kan den skrivas som en integral enligt 1Rh(N) = F (α)he(−Nα) dα, se0 Ekvation (9), där F (α) definieras i Ekvation (10). Storleksordningen på F (α) beror på α, mer exakt hur nära α är ett rationellt tal. Likt som för Warings problem görs en uppdelning av enhetsintervallet [0, 1] i två disjunkta delar, major arcs M och minor arcs m. Då Rh(N) kan skrivas som en integral från 0 till 1 motsvarar integralen över M huvudtermen och m feltermen. Partitionen av enhetsintervallet till major arcs M och minor arcs m bygger på kapitel 8.3 i [Nat96]. Låt Q = (logN)B , där B > 0. För heltalen a och q där q ∈ [1, Q] och a ∈ [0, q] med (a, q) = 1 definieras major arc M(q, a) som interva{llet ∣ a ∣ }Q M(q, a) = α ∈ [0, 1]; ∣α− ∣ ≤ . q N Längden av varje M(q, a) betecknar vi vol(M(q, a)) och är 2QN om q ≥ 2 och Q N om q = 1 och för stora N så är dessa mängder disjunkta över (q, a), vilket följer från ett motsägelsebevis. Antag ′ motsatsen, att α ∈ M(q, a) ∩ M(q′, a′). Med villkoret (a, q) = (a′, q′) = 1 och a aq ̸= q′ gäller |aq′ − a′q| ≥ 1. Detta ger 1 1 |aq′ ′≤ ≤ − a q| a a ′ a a′ 2Q Q2 qq′ qq′ = | − | ≤ | − α|+ |α− | ≤ q q′ q q′ N Detta implicerar att N ≤ 2Q3 = 2(logN)3B vilket är omöjligt för tillräckligt stora N . Därmed får vi en motsägelse. Definiera mängden av major arcs som ⋃Q ⋃q M = M(q, a) ⊆ [0, 1]. q=1 a=0 (a,q)=1 Egenskapen att M(q, a) är disjunkta medför att om α ∈ M så existerar unika q och a så att 3 α ∈ M(q, a). Det gäller även att vol(M) ≤ QN . Minor arcs m definieras som komplementet till M, m = [0, 1] \M. Partitionen av enhetsintervallet till två mätbara delar medför att vi kan skriva om Rh(N) som en integral över major- och min∫or arcs, ∫ Rh(N) = F (α) he(−Nα)dα+ F (α)he(−Nα)dα. M m 4.1 Singulära serien För att beskriva integralen över major arcs behöver vi den singulära serien Sh(N). Det är en aritmetisk funktion som definieras enligt ∑∞ µ(q)hcq(N) Sh(N) := . φ(q)h q=1 Om man istället endast summerar över q ≤ Q d∑efinierasµ(q)hcq(N) Sh(N,Q) = . (20) φ(q)h q≤Q Lemma 4.1.1. För alla positiva heltal N ≡ h (mod 2) går det att hitta positiva konstanter c1 och c2 så att c1 < Sh(N) < c2. För varje ε > 0 gäller∑ ( )µ(q)hcq(N) 1 Sh(N,Q) = = Sh(N) +O , (21) φ(q)h Qh−2−ε q≤Q 14 där den implicerade konstanten endast beror av ε. Den singulära serien konvergerar absolut och uniformt och har Eulerprodukten ∏( )∏( )(−1)h (−1)h Sh(N) = 1 + 1− . (p− 1)h (p− 1)h−1 p∤N p|N Bevis. Från Lemma A.2.8 i har vi φ(q) > q1−ε för ε > 0 och tillräckligt stora q. Eftersom cq(N) ≪ φ(q) och |µ(q)h| ≤ 1 ger det µ(q)hcq(N) ≪ 1 ≪ 1 . φ(q)h φ(q)h−1 qh−1−ε Detta visar att Sh(N) konvergerar absolut och uniformt. Det ger även att∑ µ(q)hc (N) ∑q 1 1 Sh(N)−Sh(N,Q) = ≪ φ(q)h qh− − ≪ . 1 ε Qh−2−ε q>Q q>Q Lemma A.2.6 ger att cq(N) är multiplikativ{i termer av q, och p− 1 om p | N cp(N) = −1 om p ∤ N, h där är ett primtal. Det ger att funktionen µ(q) cq(N)p h också är multiplikativ och från Lemma A.5.3φ(q) följer det att ∏ ∑ ∞ ( )µ(pj)hcpj (N) ∏ (−1)hcp(N)Sh(N) = 1 + = 1 + ∏( φ)(p j)h φ(p)h p j=1 ∏( p )(−1)h (−1)h = 1− 1 + , (p− 1)h (p− 1)h−1 p∤N p|N där andra likheten följer från Definition A.2.4. Då den singulära serien är en del av huvudtermen så är det viktigt att den ä∏r be(gränsad då n)→∏∞(. Detta är sant f)rån c1 < (1− 1 − 1) 1 ≤ Sh(N)∏ (p− 1) h ∏ (p− 1) h−1 p p ( ) ≤ 1 11 + 1 + < c − h 2 , (p 1) (p− 1)h p p där c1, c2 > 0. Alla fakt∑orer är nollskild∑a då N ≡ h (mod 2) och produkterna konvergerar eftersom motsvarande summor 1 1p − h och p − h−1 konvergerar, enligt Lemma A.5.1. Om N ≢(p 1) (p 1) h (mod 2) så är Sh(N) = 0, vilket följer från insättningen p = 2 i produkten. För N ≡ 0, h ≡ 1 h h blir 1 + (−1)− h = 0 och om N ≡ 1, h ≡ 0 blir 1− (−1) = 0. (2 1) (2−1)h−1 4.2 Integral över major arcs I detta kapitel tas det fram en övre gräns för storleksordningen av integralen över major arcs i Rh(N). Argumenten är inspi∑rerade av kapitel 8.4 i [Nat96]. Lemma 4.2.1. Låt Nu(β) =∫ m=1 e(mβ), då gäller1/2 Nh−1 u(β)he(−Nβ) dβ = +O(Nh−2). −1/2 h− 1 15 ∑ Bevis. Genom insättning av Nu(β) = m=1 e(mβ) i summan erhålls∫ 1/2 ∑N ∑N ∑ ( ) h−1 · · · e ((m1 + · · · N − 1 N +mh −N)β) dβ = 1 = = +O(Nh−2). −1/2 h− 1 h− 1m1=1 mh=1 m1+···+mh=N mi≥1∀i Första likheten följer från ekvation (6). Andra likheten motsvarar antalet representationer ett tal N kan skrivas som summan av h positiva heltal vilket kan beskrivas kombinatoriskt med stars and bars. Sats 4.2.2. (Siegel-Walfisz) Låt q ≥ ∑1 med (q, a) = 1, då gäller(för alla C)> 0 attx ϑ(x; q, a) := log(p) = +O x . φ(q) (log x)C p≤x p≡a (mod q) Beviset återfinns i Davenpor∑ts Multiplicative number theory [Dav13], se framför allt §22. Lemma 4.2.3. Låt Fx(α) = (log p)e(pα), med x ≤ N . Givet positiva konstanter B och C, p≤x samt positiva heltal q och a sådan(a at)t 1 ≤ q ≤ Q = ((logN)B oc)h (a, q) = 1 så gäller att a µ(q) QN Fx = x+O . q φ(q) (logN)C Bevis. Låt p ≡ r (mod q). Då gäller p(|q ⇐)⇒ (r, q) > 1 oc(h all)tså∑q ∑ pa ∑ pa ∑ (log p)e = (log p)e ≪ log p ≤ log q. q q r=1 p≤x p≤x p|q (r,q)>1 p≡r (mod q) p|q Däru(tav)gäller a ∑q ∑ ( ) ∑q ∑ ( )pa ra Fx = (log p)e = (log p)e +O(log q) q q q r=1 p≤x r=1 p≤x ∑p≡r ((mod )q) ∑ (r,q)=1 p≡r (mod q)q q ( )ra ∑ ra = e (log p) +O(logQ) = e ϑ(x; q, r) +O(logQ) q q r=1 ( )( p≤x ( )) r=1(r∑,q)=1 p≡r (mod q) (r,q)=1q ra x x = e +O + O(logQ) q ( φ(q) ) (log x) C r=1 (r,q)=1 ( ) cq(a) O qx O µ(q) QN= x+ + (logQ) = x+O , φ(q) (log x)C φ(q) (logN)C där femte likheten använder Sats 4.2.2 och sista likheten följer av Lemma A.2.6. Lemma 4.2.4. Låt α ∈ M(q, a) och β = α− aq . För varje positiva reella tal B och C med C > 2B gäller för alla tal h ≥ 3 att ( ) ( ) µ(q) Q2N µ(q)h Q2Nh F (α) = u(β) +O och F (α)h = u(β)h +O . φ(q) (logN)C φ(q)h (logN)C 16 { log p om m = p är ett primtal, Bevis. Definiera λ(m) = 0 annars. Som ett förbered∑ande(steg defi(niera)s U(x) oc)h upp∑skattas från(Lemm)a 4.2.3 enligt ( )ma µ(q) ma µ(q) 1 U(x) := λ(m)e − = λ(m)e − x+O ( ) q φ(q)( ) q φ(q) φ(q)1≤m≤x 1≤m≤x a − µ(q)= Fx x+O(1) = O QN . q φ(q) (logN)C Det gäller även N N − µ(q) ∑ µ(q) ∑ F (α) u(β) = λ(m)e(mα)− e(mβ) φ∑(q) ( φ(q)m=1 ) ∑ m=1N N N ( ( ) )ma − µ(q) ∑ ma µ(q)= λ(m)e +mβ e(mβ) = λ(m)e − e(mβ). q φ(q) q φ(q) m=1 m=1 m=1 Notera nu att |β| ≤ QN . Genom partiell summering, Lemma∫A.1.3, får vi − µ(q) N F (α) u(β) = U(N)e(Nβ)− 2πiβ U(x)e(xβ) dx φ(q) 1 2 ≪ |U(N)| Q N+ |β|N max U(x) ≪ . 1≤x≤N (logN)C 2 Eftersom C > 2B och Q = (logN)B gäller Q N NC = C−2B = o(N). Tillsammans med(logN) (logN) |u(β)| ≤ N , |µ((q))| ≤( 1 och bin)omial(sats(en ger upps)k∑h h−i ) attningen för F (α)h. i h h µ(q) Q 2N F (α) = u(β) O i φ(q) (logN) i=0 ∑h ( ) ( ( C ))i ( ) µ(q)h h 2 h 2 h = u(β)h + (O h−i O Q N µ(q)(N)) = u(β)h O Q N+ , φ(q)h i (logN)C φ(q)h (logN)C i=1 där den implicerade konstanten beror av B, C och h. Med satserna ovan kan vi beräkna huvudtermen till Rh(N). Sats 4.∫2.5. För alla positiva heltal B,C och ε m(ed C > 2B gäller)att ( ) Nh−1 Nh−1 Nh−1 F (α)he(−Nα) dα = S(N) +O +O M h− 1 (logN)(h−2−ε)B (logN)C−5B där de implicerade konstanterna för O beror på h och på valet av B,C och ε. Bevis. V∫i delar upp integralen i två delar, ∫ (F (α) he(−Nα) dα M ( ) )h ∫ ( )h h − µ(q) h − a − µ(q) h a = F (α) u α e( Nα) dα+ u α− e(−Nα) dα. M φ(q) h q M φ(q) h q Vi betecknar integralerna i höger led med I1 och I2. Första integralen uppskattas med hjälp av Lemma 4.2.4, och v∫i få(r ( ) )h ∫ h − µ(q) − a − ≪ Q 2Nh I1 = F (α) u α e( Nα) dα dα M φ(q) h q M (logN) C Q2Nh Q5Nh−1 Nh−1 = vol(M) ≪ ≤ . (logN)C (logN)C (logN)C−5B 17 För andra integralen betraktar vi α = aq + β ∈ M(q, a), vilket ger |β| ≤ Q N . Vi har ∑ ∑q ∫ ( )hµ(q)h a I2 = u α− e(−Nα) dα φ(q)h q q≤Q a=0 M(q,a) ∑ (a,q)=1 q ( )∫ Qµ(q)h ∑ −Na N = e u(β)he(−Nβ) dβ φ(q)h q Q q≤Q a=1 −N ∑ (a,q)=1∫ Q ∫ Qµ(q)h N N = cq(N) u(β) he(−Nβ) dβ = Sh(N,Q) u(β)he(−Nβ) φ(q)h q≤Q − Q Q N −N där vi gjort variabelbytet α → β i andra likheten, och tredje(likhe)ten följer från Definition A.2.5 sa(mt u)r symmetrin av exponentialfunktionen, att summera e −Naq ger samma som att summera e Naq . Realdelen är samma i båda fall, och summan är reell. Sista likheten följer ur definitionen av singulära serien, se Ekvation (20). Storleken av u(β) fås genom Lemma A.4.1 till u(β) ≪ |β|−1 för |β| ≤ 12 . Integralen kan då approxim∫ eras med Lemma 4.2.1 ∫enligtQ 1 ( ) N 2 Nh−1 u(β)he(−Nβ) dβ = u(β)he(−Nβ) dβ + Q 1 (O Qh)−1−N − 2 ( ) Nh−1 Nh−1 Nh−1 Nh−1 = +O(Nh−2) +O = +O , h− 1 Qh−1 h− 1 Qh−1 där feltermen från∫ approximationen komm∫er från1 1 ∫ 1 2 2 2 h−1 u(β)he(−Nβ) dβ ≪ |u(β)|h Ndβ ≪ β−h dβ ≤ , Q Q Q Qh−1∫ N N Nh−1 och( liknand)e för −Q/N− u(β)he(−Nβ)dβ ≪ Nh−1 . Från Lemma 4.1.1 har vi Sh(N,Q) = Sh(N)+1/2 Q O 1h−2−ε och därmed gäller∫ Q ( − ) ( − ( − ))h 1 h 1 h 1 F (α)h − N N Ne( Nα) dα = I1 + I2 = O − +Sh(N,Q) +OC 5B h−1 M ( (logN) ) ( h−− − )1 ( Q )Nh 1 Nh 1 Nh−1 Nh−1 = Sh(N) +O( − − )+O +Oh− 1 (h− 1)Qh 2 ε ((logN)B(h−1) ) (logN)C−5B Nh−1 O N h−1 Nh−1 = Sh(N) + h− 1 (logN)(h− +O . 2−ε)B (logN)C−5B 4.3 Integral över minor arcs F∑ör att få en integraluppskattning över minor arcs så behövs storleken av summan S(α) = n≤N Λ(n)e(nα). Sats 4.3.1. Antag att α är nära e(tt rationellt tal enligt |α− a | ≤ 1)q q2 , (a, q) = 1. Då gäller S(α) ≪ Nq−1/2 +N4/5 +N1/2q1/2 (logN)4 (22) 18 Moral∑en är att om α är ett tal som inte är nära ett rationellt tal med liten nämnare så kommer summan n≤N e(nα) bli liten, då mycket förkortning sker. Från definitionen av Λ, så är summan S(α) och F (α) av samma storleksordning∑, se Sats 4.0.1, och mer exakt så har vi att |S(α)− F (α)| ≤ log(p)e(pα) = O(N1/2 logN). p≤N1/2 Därmed kan man använda samma uppskattning även för F (α). Vi följer Davenports bevis [Dav13] till Sats 4.3.1, med uppdelning av exponentialsummor, se Appendix A.6. Lemma 4.3.2. För alla B∗ >∫0 gäller Nh−1 F (α)he(−αN)dα ≪B∗ ∗ . m (logN) B Bevis. Låt α ∈ [0, 1] \M. Från Sats A.1.1∣ gäller∣att det existerar a q ∈ [0, 1] med 1 ≤ q ≤ N Q och (a, q) = 1 sådan att ∣∣∣ − a ∣∣∣ ≤ Qα . (23)q q Om då q ≤ Q, så gäller att α ∈ M(q, a) ⊆ M, vilket motsäger valet av α. Därmed är (logN)B = Q < q ≤ NQ = N B . M(ed detta och Sats 4.3.1 följer)det att(logN) N F (α) ≪ Nq−1/2 +N4/5 +N1/2q1/2 (logN)4 ≪ , (logN)B/2−4 vilket medför en∫övre uppskattning av in∫tegralen över minor arcs en∫ligt1 F (α)he(−αN)dα ≤ |F (α)|h ≤ sup |F (β)|h−2∫ |F (α)| 2dα m m β∈m 0 ≪ N h−2 1 − |F (α)| 2dα. (logN)(h 2)(B/2−4) 0 Eft∫ersom1 ∫ 1 ∫ 1 ∑ ( ) ∑ |F (α)|2dα = F (α)F (α)dα = log(p1) log(p2)e (p1 − p2)α dα = log(p)2, 0 0 0 p1,p2≤N p≤N där sista likheten följer från Fourierortogonaliteten, Ek∑vation (6), så kan vi använda Chebyshevs sats, Sats 4.0.1 och uppskatta log∫p≤N log(p)2 ≤ logN p≤N log p ≪ N logN . Med insättningen B∗ h−1 = (h− 2)(B/2− 4)− 1 fås då F (α)he(−αN)dα ≪ NB∗ .m (logN)B∗ 4.4 Bevis av asymptotiska formeln Sats 4.4.1. Låt rh(N) beteckna antalet representationer som N ≡ h (mod 2) kan skrivas som summan utav h primtal. Det gäller att ( ( )) Nh−1 log logN rh(N) = Sh(N) 1 +O . (24) (h− 1)(logN)h logN Bevis. Från Sats 4.2.5 för uppskattningen över major arcs tillsammans med Sats 4.3.2 för upp- skattningen över ∫minor arcs så härleds at∫t för alla B,C,B∗ > 0 m∫ed C > 2B gäller1 Rh(N) = F (α) he(−Nα)d(α = F (α)he(−)Nα)d(α+ F (α)he(0 M m− − )−Nα)dαNh 1 Nh 1 Nh−1 Nh−1 = Sh(N) +O h− 1 (logN)(h−2− +O + , ε)B (logN)C−5B (logN)B∗ 19 där de implicerade konstanterna beror på B,B∗, C, ε samt h. För A > 0, sätt B∗ = A, ε = 12 , B = Ah−2−ϵ och C = A+ 5B. Därmed erhålls för alla A > − ( 0 ) Nh 1 O N h−1 Rh(N) = Sh(N) + , (25) h− 1 (logN)A där den implicerade konstanten beror på A. Nu är vi redo att härleda det asymptotiska utseende för rh(N). Först härleds en övre oc∑h under gräns för r (N)(logN)hh i termer av Rh(N). Rh(N) = log(p1) · · · log(ph) ≤ log(N)hrh(N). p1+···+ph=N För 0 < δ < 12 , låt rh,δ(N) beteckna antalet representationer där p 1−δ i ≤ N för något i ∈ 1, . . . , h. Då gäller ∑ Nh−1−δ rh,δ(N) ≤ h 1 ≤ hπ(N1−δ)π(N)h−2 ≪ (logN)h−1 p1,...,ph−1≤N p1≤N1−δ ph=N−(p1+···+ph−1) h−1−δ och därmed existerar det en konstant c > 0 sådan att rh,δ(N) ≤ c N(logN)h−1 . En undre gräns för Rh(N) ges av ∑ ∑ Rh(N) ≥ log(p1) · · · log(ph) ≥ (1− δ)h(logN)h 1 p1+···+ph=N p1+···+ph=N ∀i,p >N1−δ ∀i,p >(N1−δi i − )Nh 1−δ≥ (1− δ)h(logN)h(r hh(N)− rh,δ(N)) ≥ (1− δ) (logN)h rh(N)− c − .(logN)h 1 Därmed fås en övre gräns för (logN)hrh(N) enligt (logN)hr (N) ≤ (1− δ)−hh Rh(N) + c(logN)Nh−1−δ. Detta gäller för alla 0 < δ < 1/2. Beteckna f(δ) = 1−(1−δ)h. Vi har att f(δ) ≤ δmax f ′β∈(0,1/2) (β) ≪ δ. Tillsammans ger detta 0 ≤ (logN)hr (N)−R (N) ≤ (1−(1−δ)h)R (N)+c(logN)Nh−1−δ ≪ δR (N)+log(N)Nh−1−δh h h h . Ansättning av storleken på Rh(N) från ekvation (25) ger att uttrycket ovan är ≪ δNh−1 + log(N)Nh−1−δ = Nh−1(δ + (logN)N−δ). Här ansätts ett δ så att termerna blir av samma storleksordning, δ = 2 log logNlogN , vilket medför att Nh−1≤ log logN0 (logN)hrh(N)−Rh(N) ≪ , logN vilket med ekvation (25) ger att ( ) ( ) Nh−1 Nh−1 Nh−1 log logN (logN)hrh(N) = Sh(N) +O +O , h− 1 (logN)A logN alltså − ( ( ))Nh 1 log logN rh(N) = Sh(N) 1 +O . (h− 1)(logN)h logN 20 Referenser [BBK+23] F. Balestrieri, J. Brandes, M. Kaesberg, J. Ortmann, M. Pieropan, and R. Winter, Campana points on diagonal hypersurfaces, arXiv:2302.08164 (2023). [Bok94] K. D. Boklan, The asymptotic formula in Waring’s problem, Mathematika 41 (1994), no. 2, 329–347. [BY19] T. Browning and S. Yamagishi, Arithmetic of higher-dimensional orbifolds and a mixed Waring problem, Mathematische Zeitschrift 299 (2019), 1071–1101. [Dav13] H. Davenport, Multiplicative number theory, vol. 74, Springer, 2013. [Hel13] H. A. Helfgott, The ternary Goldbach conjecture is true, arXiv preprint arXiv:1312.7748 (2013). [Hil09] D. Hilbert, Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Waringsches Problem), Math. Ann. 67 (1909), 281–300. [HL20] G. H. Hardy and J. E. Littlewood, A new solution of Waring’s problem, Quart. J. Math. 48 (1920). [Hua38] L. K. Hua, On Waring’s problem, Quart. J. Math. 9 (1938), no. 1, 199–202. [LW02] M. C. Liu and T. Z. Wang, On the Vinogradov bound in the three primes Goldbach conjecture, Acta Arithmetica 105 (2002), 133–175. [Nat96] M. B. Nathanson, Additive number theory: The classical bases, 1st ed., Springer, New York, NY, 1996. [Vau86] R. C. Vaughan, On Waring’s problem for smaller exponents. II, Mathematika 33 (1986), no. 1, 6–22. [Vau97] , The Hardy-Littlewood method, 2 ed., Cambridge Tracts in Mathematics, Cam- bridge University Press, 1997. [Vin37] I. M. Vinogradov, The representation of an odd number as a sum of three primes, Dokl. Akad. NaukSSSR, vol. 16, 1937. [Vin54] , The method of trigonometrical sums in the theory of numbers., Interscience Publishers, 1954. [Vin84] , Representation of an odd number as a sum of three primes, pp. 61–64, World Scientific, 1984. [VW02] R. C. Vaughan and T. D. Wooley, Waring’s problem: A survey, NUMBER THEORY FOR THE MILLENNIUM III (United States) (MA Bennett, BC Berndt, N Boston, HG Diamond, AJ Hildebrand, and W Philipp, eds.), A K Peters, 2002, Millennial Con- ference on Number Theory ; Conference date: 21-05-2000 Through 26-05-2000, pp. 301– 340 (English). [War82] E. Waring,Meditationes algebraicæ, ab Edvardo Waring ..., Nineteenth Century Collec- tions Online (NCCO): Science, Technology, and Medicine: 1780-1925, Typis academicis excudebat J. Archdeacon, 1782. [Woo] T. D. Wooley, Math 258x analytic methods for diophantine problems, Föreläsningsan- teckningar (opublicerad),University of Michigan, okänt år. [Woo12] , Vinogradov’s mean value theorem via efficient congruencing, Ann. Math. 175 (2012), no. 3, 1575–1627. [Woo18] , Nested efficient congruencing and relatives of Vinogradovs mean value theorem, Proc. London Math. Soc. 118 (2018), no. 4, 942–1016. [WW21] E. T. Whittaker and G. N. Watson, A course of modern analysis, 5 ed., Cambridge University Press, 2021. A Appendix A.1 Allmäna satser och lemman Dessa satser och lemman används i båda av de två delarna av rapporten. Beviset för Dirichlets sats följer den [Nat96] lägger fram i Sats 4.1. Sats A.1.1. (Dirichlet) Låt α och Q vara reella tal, med Q ≥ 1. Det existerar heltal a och q så att 1 ≤ q ≤ Q, (a, q) = 1, och ∥αq∥ 1< . Q Bevis. Låt N = [Q]. Om ∥αq∥ < 1N+1 för något q är vi klara. Vi kan alltså anta att ∥αq∥ > 1 N+1 för alla q. Då följer det från Dirichlets lådprincip att det existerar heltal i ∈ [1, N−1] och q1, q2 ∈ [1, N ] så att 1 ≤ q1 < q2 ≤ N och [ ) {q1α}, {q2α} ∈ i i+ 1 , . N + 1 N + 1 Låt q = q2 − q1 ∈ [1, N − 1] och a = [q2α]− [q1α]. Då är |qα− a| = |(q2α− 1 1 [q2α])− (q1α− [q1α])| = |{q2α} − {q1α}| < < . N + 1 Q Detta avslutar beviset. Lemma A.1.2 fås från Lemma 2.2 i [Vau97] och opublicerade föreläsningsanteckningar [Woo]. Lemma A.1.2. Antag att α, U och V är∣∣reella t∣∣al så att U ≥ 1 och V ≥ 1 samt att∣∣ − aα ∣∣ ≤ 1q q2 med (a, q) = 1. Då ä∑r ( ) ( )UV ∥ 1 1 qmin , αk∥−1 ≪ UV + + log 2Uq. k q V UV k≤U Bevis. Låt ∑ ( ) S = min UV k−1, ∥αk∥−1 . k≤U Man kan tydligt se att ∑ ∑q ( ) S ≤ UVmin , ∥α(qj + r)∥−1 . (26) qj + r 0≤j≤U r=1q För varje j, låt yj = [αjq2] och θ = q2α− qa. Då är 1 1 α(qj + r) = (yj + ar) + {αjq2} + θrq−2. q q Vi delar in i två fall. Först undersöker vi då j∥= 0∥ och 1 ≤ r ≤∥ q2 .∥Detta ger oss∥ ∥ ∥ ∥ ∥α(qj + r)∥ ≥ ∥∥ar∥− 1 ≥ 1 ∥ar∥ .q ∥ 2q 2 ∥ q ∥ i Nästa fall är att kolla vad som händer då j ̸= 0 eller då j = 0 och q2 ≤ r ≤ q. Vi får att qj + r ≫ q(j + 1). Observera att ∥∥∥∥ ∥yj + ar∥∥∥ ≥ 3 (27)q q är sant så länge ar + yj ≡ b (mod q) (28) inte håller för något b som uppfyller |b| ≤ 2. Vidare för ett fixt värde av j så finns det som mest 5 värden av r med q2 < r ≤ q så att Ekvation (28) stämmer. Notera att r endast löper över en period. Detta ger oss då att ∥∥∥∥yj + ar∥∥∥∥ ∥2 1 ∥∥∥yj + ar∥∥ ∥∥∥ ∥ ≥ − ≥ ∥∥ 2 ∥∥ ∥yj + ar∥∥∥− 2α(qj + r) ∥ ∥ ∥ +q q 3 q 3 ∥ q q ≥ 1 ∥∥∥yj + ar∥∥∥ 2 3 − 2 ∥+ ≥ 1 ∥∥yj + ar∥∥ .3 q 3 q q 3 q ∥ Vi ska nu dela upp Ekvation (26) i de olika bidragen som vi arbetat fram. Först har vi bidra- get från fallet då j = 0 och 1 ≤ r ≤ q2 , sedan bidraget från de r när Ekvation (27) hål- ler och till slut bidraget från de 5 stycken r så att det inte håller. Vi betecknar dessa 5 som rb = {r : ar + yj ̸≡ b (mod q), |b| ≤ 2}. Vi får alltså ∑ − ∑ ∑q − ∑ ∑ S ≪ ∥α(qj + r)∥ 1 ∥ 1 UV+ α(qj + r)∥ + q qj + r1≤r≤ ∑ 2 ∥ 0≤j≤ U r=1 0≤j≤U r∈rb ∥ q r∈/r qb ≪ ∥∥arq ∥∥∥ ∥−1 ∑ ∑q ∥ + ∥∥∥ ∥yj + ar∥∥∥−1 ∑ ∑ UV+ . (29) q q qj + r1≤r≤ 0≤j≤U r=1 U r∈r2 bq r∈ 0≤j≤/r qb Låt oss nu undersöka enbart den sista summan i Ekvation (29). Genom att använda qj+r ≫ q(j+1) får vi att ∑ ∑ UV ∑≪ 5UV ∑≪ UV . ∈ qj + r q(j + 1) q(j + 1)0≤j≤U r rbq 0≤j≤ U q 0≤j≤ U q Nu med denna informationen∥ kan vi återgå till S och då får vi att∑ ∥ ≪ ∥∥arS ∥∥∥∥−1 ∑ ∑q ∥∥∥∥ ∥−1y ∑j + ar+ ∥q q ∥∥ UV+ q(j + 1) 1≤r≤ q∥ ∥ 0≤j≤U(r=1∑ 2∥ ∥ ∑ q r∈/rb∥∥ ∥∥−1 ∑q ∥ 0≤j≤U ∥∥∥ q ∥∥∥ )∥−1ar UV 1= + + (yj + ar) q q q(j + 1) q1≤r≤ ∑ 0≤j≤U r=12 q ∑ ≪ (Uq−1 q UV 1+ 1) + q h q1≤h≤ 2 ( j + 10≤j≤Uq) ≪ UV U(U +(q) log(q) + q )log + 1q ≪ 1 1 qUV + + log 2Uq, q V UV vilket avslutar beviset. Sats A.1.3 är tagen ifrån Sats A.4 i [Nat96]. ii Sats A.1.3. Låt u(n) och f(n) vara aritmetiska∑funktioner. Definiera funktionen U(t) = u(n). n≤t Låt a och b vara ickenegativa heltal så att a < b. Då är ∑b ∑b−1 u(n)f(n) = U(b)f(b)− U(a)f(a+ 1)− U(n) (f(n+ 1))− f(n)). n=a+1 n=a+1 Låt x och y vara reella tal så att 0 ≤ y < x. Ifall f(t) är en funktion med en kontinuerlig derivata på intervallet [y, x], d∑å är ∫ x ′ u(n)f(n) = U(x)f(x)− U(y)f(y)− U(t)f (t) dt. y 0 gäller N1−ε < φ(N) < N Bevis. Vi vet att φ(N) < N för alla N > 1 och eftersom pp−1 < 2 för alla primtal p gäller pm(1−ε) pm(1−ε) p pm(1−ε) 2 = = ≤ φ(pm) pm − pm−1 p− 1 pm pmε pm(1−ε) 1−εoch alltså limpm→∞ φ(pm) = 0. Från Lemma A.2.7 följer lim N N→∞ φ(N) = 0 eftersom funktionen N1−ε φ(N) är multiplikativ. Definiti∑on A.2.9. Dirichletkonvolutionen av två aritmetiska funktioner f och g definieras som f ∗ g := ab=n f(a)g(b). Nedan följer några egenskaper för Dirichletkonvolutionen. En av dessa är att Dirichletkonvolu- tion skapar en kommutativ ring med avseende på (+, ∗) över mänden av aritmetiska funktioner: 1. (associativ) (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h); 2. (distributiv) f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h; 3. (kommutativ) f ∗ g = g{∗ f ; 1 om n = 1 4. (enhetselement) ε(n) = , det vill säga ε ∗ f = f ∗ ε = f ; 0 annars 5. om f(1) = 1 så existerar f−1 sådan f−1 ∗ f = f ∗ f−1 = ε; v 6. om f och g är multiplikativa så är f ∗ g också multiplikativ; 7. om f är multiplikativ så är f−1 multiplikativ. Vi har följande identiteter ∑ 1 ∗ µ(n) = µ(d) = ε(n) d|n det vill säga 1−1 = µ(n) och ∑ 1 ∗ Λ(n) = Λ(d) = log(n). d|n Till varje aritmetisk funktion f : N → R kan man definiera korresponderande Dirichletserie Ff : C → C genom ∑∞ f(n) Ff (s) = . ns n=1 Dirichletserien är multiplikativ med avseende på Dirichletkonvolution av två aritmetiska funktioner f ∗ g. Det vill säga att Ff∗g(s) = Ff (s)Fg(s). Från 1 ∗ µ(n) = ε(n) och 1 ∗ Λ(n) = log(n) så kan man härleda att 1 ζ ′(s) Fµ(s) = , FΛ(s) = − ζ(s) ζ(s) där ζ är Riemanns zetafunktion som definieras som ∑∞ 1 ζ(s) = F1(s) = . ns n=1 Konvergensen av alla dessa funktioner är då ℜ(s) = σ > 1. Chebyshev∑s sats ger det asymptotiska beteendet av chebyshevfunktionerna • π(x) =∑p≤x 1; • θ(x) = ∑p≤x log(x); ∑ • ψ(x) = n≤x Λ(n) = pk≤x log(x). Proposition A.2.10. Storheterna π(x) , θ(x) , ψ(x)x/ log x x x har samma lim sup och lim inf. Bevis. Vi bevisar att de har samma lim sup, beviset för lim inf kan vis∑as analogt. Genom att gruppera termerna i ψ(x) med avseende på primtalspotenserna fås ψ(x) = ⌊ log xp≤x log p ⌋ log p. Detta tillsammans med definitionerna ovan medf∑ör att θ(x) ≤ log xψ(x) ≤ log p = log x · π(x). log p p≤x Därmed gäller lim sup θ(x) ψ(x) π(x)x ≤ lim sup∑x ≤ lim s(up x/ log x . Sam)tidigt gäller för α < 1 att θ(x) ≥ log p ≥ π(x)− π(xα) log(xα) xα 0 sådana att ∑ c1x < ψ(x) < c2x. Definiera S(x) := n≤x log(n) och D(x) = S(x)− 2S( x 2 ). Från Sats A.4.8 så fås S(x) = x(log x− 1) +O(log x). Därmed blir x x x D(x) = x(log x− 1) +O(log x)− 2 (log − 1) +O(log ) = log(2)x+O(log x) 2 2 2 och därm∑ed x2 ≤ D(x) ≤ x för tillräckligt stora x, x > x0. Från identiteten 1 ∗ Λ(n) = log n, det vill säga d|n Λ(d) = lo∑g(n) insatt i ∑sum∑man S(x), ∑fås ∑ ∑ x S(x) = log(n) = Λ(d) = Λ(d) 1 = Λ(d)⌊ ⌋, d n≤x n≤x d|n d≤n n≤x d≤x d|n där ⌊xd ⌋ motsvarar heltalsdelen av x d . Då blir∑ (x) D(x) = Λ(d)f , d d≤x där f(t) = ⌊t⌋ − 2⌊t/2⌋. För 1 ≤ t < 2 s∑å är f(t) = 1 och för∑t ≥ 2 är f(t) ∈ {0, 1}. Detta ger ψ(x)− ψ(x/2) ≤ Λ(d) ≤ D(x) ≤ Λ(d) = ψ(x), x 2 k. Mer specifikt, ifall l = k − 1 och d1 · · · dk−1 ̸= 0, då är ∆d ,...,d1(f)(x) = d1 · · · dk−1k!αx+ β,l alltså ett polynom av grad ett. viii ∑ Bevis. Låt kf(x) = j=1 αjx j , där αk = α. Genom att utnyttja Lemma A.3.1 få vi att ∑k k! ∆d (f)(x) = α ∆ (x j) = d · · · d αxk−l +O(xk−l−1). 1,...,dl j dl,...,d1 l 1 (k − l)! j=0 Detta avslutar beviset. Lemma A.3.3 och dess bevisgång från Lemma 4.5 ifrån [Nat96]. Lemma A.3.3. Låt 1 ≤ l ≤ k. Ifall −P ≤ d1, . . . , dl, x ≤ P, då är ∆ k kdl,...,d (x ) ≪ P ,1 där den implicerade konstanten beror endast på k. Bevis. Beviset följer direkt från Lemma A.3.1. A.4 Uppskattningar till Warings problem med flera olika potenser Här följer en del satser och lemman som underbygger argumentet för slutsatsen i Warings problem för flera olika potenser. Beviset för A.4.1 följer beviset av Lemma 4.7 i [Nat96]. Lemma A.4.1. För varje reell∑t tal α och alla heltal N1 < N2 gäller det attN2 e(αn) ≪ min(N2 −N −11, ∥α∥ ). n=N1+1 Bevis. På grund av att |e(αn)∣∣| = 1 för alla ∣∣heltal n, så har vi∣∣ ∑N2 ∣∣ ∑N∣ 2e(αn)∣ ≤ 1 = N2 −N1. n=N1+1 n=N1+1 Ifall α ∈/∣∣ Z, då är ∥α∥∣∣> 0∣∣ och e(α) ̸= 1. På grund av ∣∣att ∣summan är en geom∣etrisk serie så har vi∣∣ ∑N∣ 2 ∣∣ ∣∣ N2−∣ ∣ ∑ N1−1 ∣ ∣e(α(N2 −N1))− 1 ∣ 2 e(αn) = e(α(N1 + 1)) e(α) n∣∣ = ∣∣ ∣ ≤e(α)− 1 ∣ |e(α)− 1| n=∣N1+1 ∣ n=0= ∣ 2e(α )− e(−α )∣ 2 1 1= = = ≤ 1|2i sin(πα)| |sin(πα)| sin(π∥α∥) 2∥α∥2 2 och därmed avslutas beviset. Bevis av Lemma A.4.2 följer dem från Lemma 4.12 och 4.13 i [Nat96]. Lemma A.4.2. Låt N1, N2, N och l vara heltal så att l ≥ 1, N1 < N2, och 0 ≤ N2 −N1 ≤ N . Låt f(n) vara en reellvärd aritmetisk funktion, och låt ∑N2 S(f) = e(f(n)). n=N1+1 Då är 2l l ∑ ∑ |S(f)| ≤ (2N)2 −l−1 . . . |Sd ,...,d1(f)| ,l |d1| 0. Låt f(x) = αxk + . . . vara ett polynom av grad k med reella koefficienter. Om ∑N S(f) = e(f(n)), n=1 x så är k!∑Nk−1 ( ) |S(f)|K ≪ NK−1 +NK−k+ε −1min N, ∥mα∥ , m=1 där den implicerade konstanten endast beror på k och ε. Bevis. Genom att använda Lemma A.4.2 m∑ed l = k −∑1 så får vi att |S(f)|K ≤ (2N)K−k · · · |Sd − ,...,d1(f)|,k 1 |d1| 2. För varje primtal p så konvergerar serieni ∑∞ χ hN (p) = 1 + AN (p ), h=1 och M (phN ) χN (p) = lim . h→∞ ph(s−1) Bevis. Konvergensen a(v χN (p)) följer di(rekt från E)kvation (19(). Om (a, q) = d, så är∑q q q/d )axki ∑ (a/d)xki ∑ (a/d)xki Ski(q, a) = e = e = d e = dSki(q/d, a/d).q q/d q/d x=1 x=1 x=1 Eftersom ∑ {q ( )1 am 1 om m ≡ 0 (mod q) e = q q 0 om m ≢ 0 (mod q) a=1 så följer det att f(ör godtyckliga heltal x1, .). . , x{s att q 1 ∑ a(xk11 + · · ·+ xks −N) 1 om xk1 + · · ·+ xkss 1 s ≡ N (mod q)e = q q 0 om xk11 + · · ·+ xkss ̸≡ N (mod q),a=1 vilket ger att ∑ ∑ ∑ ( )q q q k1 · · · 1 a(x1 + . . .+ x ks s −N)MN (q) = e q q x1=∑1q1 ∑xs=1( a=1 )q axk1 ∑q ( ) ( )ks = e 1 · · · axs −aNe e q q q q a∑=1(x1=1 ) (xs=1q s )1 ∏ −aN = Sk (q, a) e q i q a∑=1 ∑i=1 (∏ )q s ( )1 −(a/d)N = dSk (q/d, a/d) e q i q/d d|q a=1 i=1 1 ∑ (a∑,q)=d( )q ∏s ( ) ( )Sk (q/d, a/d) −(a/d)N = q i e q q/d q/d d|q∑a=1 i=1(a,q)=d = qs−1 AN (q/d). d|q xiv Vi kan då se att ∑ A (q/d) = q1−sN MN (q) d|q för alla q ≥ 1. För q = ph har vi särskilt att ∑h ∑ 1 + AN (p j) = AN (p h/d) = ph(1−s)M (phN ), j=1 d|ph och således är  ∑ hχ (p) = lim 1 + A (pj N N ) = lim ph(1−s)M hN (p ). h→∞ h→∞ j=1 Sats A.4.8 är taget från Sats A.2 i [Nat96]. Sats A.4.8. Låt a och b vara två heltal sådan att a < b och låt f(t) vara en monoton funktion på intervallet [a, b]. Då har vi att ∑b ∫ b min(f(a), f(b)) ≤ f(k)− f(t) dt ≤ max(f(a), f(b)). k=a a Bevis. Om f(t) ökar på intervallet [a, b], så är∫ k+1 f(k) ≤ f(t) dt k för k = a, a+ 1, . . . , b− 1, och ∫ k f(k) ≥ f(t) dt k−1 för k = a+ 1, . . . , b. Därför följer det att ∑b ∑b−1 ∫ b f(k) = f(k) + f(b) ≤ f(t) dt+ f(b) k=a k=a a och att ∑b ∑b ∫ b f(k) = f(k) + f(a) ≥ f(t) dt+ f(a). k=a k=a+1 a Således får vi att ∑b ∫ b f(a) ≤ f(k)− f(t) dt ≤ f(b). k=a a På samma sätt får vi att om f(t) är avtagande, så får vi ∑b ∫ b f(b) ≤ f(k)− f(t) dt ≤ f(a). k=a a xv A.5 Konvergens av oändlig produkt Detta delkapitel tar upp en mängd satser vilka används för att underbygga argument för konvergens av oändliga produkter. Sats A.5.1 är taget från A.26 i [Nat96]. ∏ Lemma A.5.1. Låt ak ≥ 0 för alla∑k ≥ 1. Då konvergerar oändliga produkten ∞k=1(1 + ak) om och endast om de∑n oändliga serien ∞k=1 ak konvergerar.n ∏Bevis. Låt sn = k=1 ak vara den n:te partialsumman och låt npn = k=1(1 + ak) vara den n:te partialprodukten. Eftersom att an ≥ 0, så är talföljderna {sn} och {pn} båda monotont ökande, och pn ≥ 1 för alla n. Eftersom 1 + x ≤ ex för alla x ∈ R, så har vi att ∑n ∏ ∏ (n n ∑ )n 0 ≤ ak < (1 + a ) ≤ eakk = exp ak , k=1 k=1 k=1 k=1 och således är 0 ≤ sn ≤ pn ≤ esn . Denna olikhet implicerar att talföljden pn konvergerar om och endast om talföljden sn konvergerar. Notera att pn kan bli noll på två olika sätt, antingen att pn = 0 eller att pn → 0. Sats A.5.2 följer från Sats A.∏27 i [Nat96]. Sats A.5.2. Ifall den oändliga ∞n=1(1 + an) är absolutkonvergent, så konvergerar den. Bevis. Låt ∏n pn = (1 + ak) k=1 och låt ∏n Pn = (1 + |ak|). k=1 Ifall den oändliga produkten är absolutkonvergent så kommer sekvensen av partiella produkter Pn konvergera och serien ∑∞ (Pn − Pn−1) n=2 konvergerar. På grund av ∣∣ ∣n∏−1 ∣ n∏−1 0 ≤ | ∣ ∣pn − pn−1| = |anpn−1| = ∣∣an (1 + ak)∣∣ ≤ |an| (1 + |ak|) = |an|Pn−1 = Pn − Pn−1, k=1 k=1 följer det att ∑∞ |pn − pn+1| n=2 konvergerar och då kommer ∑∞ ∑n (pn − pn+1) = lim (p − p→∞ k k−1) = lim (pn − p1)n n→∞ n=2 k=2 konvergera. Då har vi visat att sekvensen av partiella produkter {pn} konvergerar till ett gräns- värde. Nu måste vi bevisa att gränsvärdet inte är noll om inte någon av feltermerna är noll. På xvi ∏ grund av a∑tt den oändliga produkten ∞k=1(1+ak) konvergerar absolut, så följer det av Sats A.5.1 att serien ∞k=1 |ak| konvergerar, och således konvergerar talen ak till noll. Nu ser vi att för alla tillräckligt stora heltal k att | 11 + ak| ≥ 2 och ∣∣∣∣ ∣−ak1 + a ∣∣∣ ≤ 2 |ak| .k Det följer att serien ∑∞ ∣∣∣∣ −ak ∣∣∣1 + a ∣k k=1 konvergerar, och den oändliga produkten ∏∞ ( )ak 1− 1 + ak k=1 konvergerar absolut. Dett(a implicerar)att talföljden av n:te partiella produkter∏n ∏n 1− ak 1 1 1= = ∏ = 1 + ak 1 + a n k k=1(1 + ak) pnk=1 k=1 konvergerar till ett gränsvärde, och således∏är gränsvärdet av talföljden {pn} ej noll. På grund av detta konvergerar den oändliga produkten ∞k=1(1 + ak). Följande Sats A.5.3 motsvarar Sats A.28 i [Nat96]. Sats A.5.3. Låt f(n) vara en multiplikativ funktion som inte är identiskt noll. Ifall serien ∑∞ f(n) n=1 konvergerar absolut så är ∑∞ ∏( ) ∏( ∑∞ ) f(n) = 1 + f(p) + f(p2) + · · · = 1 + f(pk) . n=1 p p k=1 Ifall f(n) är fullständigt multiplikativ, så är ∑∞ ∏ − −1f(n) = (1 f(p)) . ∑ n=1 p Bevis. Ifall ∞n=1 f(n) är absolutkonvergent, då är serien∑∞ a kp = f(p ) k=1 absolutkonvergent för varje primtal∣p. Dessut∣om konvergerar∑ ∑ | | ∣∣∣∑∞ ∣∣ ∑∑∞ ∣ ∣ ∑∞ap = ∣ f(pk)∣∣ ≤ ∣f(pk)∣ < |f(n)| . p p k=1 p k=1 n=1 xvii Således är den oändliga produkten ∏ ∏( ∑∞ ) (1 + ap) = 1 + f(p k) p p k=1 är absolutkonvergent. Från Sats A.5.2 får vi att den oändliga summan konvergerar. Låt ε > 0 och välj ett heltal N0 så att ∑ |f(n)| < ε. n>N0 ∑ För varje positivt heltal n, låt P (n) vara den största primtalsfaktorn av n. Då∑betecknar P (n)≤N summan ö∑ver heltalen vars primtalsfaktorer är mindre eller lika med N och P (n)>N betecknarsumman över alla heltal som har minst en primtalsfaktor som är strikt större än N . På grund av att serien ∞ f(pkk=0 ) konvergerar absolut för varje primtal p, kan ett godtyckligt begränsat antal av dessa serier multipliceras ihop termvis. Låt N ≥ N0. Det följer från den unika faktoriseringen av heltal som produkter av primtal(att∏ ∑∞ ) ∑ 1 + f(pk) = f(n) p≤N k=1 P (n)≤N och att ∣∣∣∣∑ ∏ ( ∑ )∣∣∣∣ ∣∣∣∣∑ ∑ ∣∣∣∣ ∣∣∣∣ ∞ ∞ ∣ ∣ ∞ ∣ ∣∣ ∑ ∣∣ ∣ ∣f(n)− 1 + f(pk) = f(n)− f(n) = f(n)∣∣n=1∑ p≤N ∑k=1 ∣∑∣n=1 P (n)≤N ∣ ∣P (n)>N ∣ ≤ |f(n)| ≤ |f(n)| ≤ |f(n)| < ε. P (n)>N n>N n>N0 Därmed är ∑∞ ∏ ( ∑∞ ) ∏( ∑∞ ) f(n) = lim 1 + f(pk) = 1 + f(pk) . x→∞ n=1 p≤N k=1 p k=1 Ifall f(n) är fullständigt multiplikativ, då är f(pk) = f(p)k för alla primtal p och alla ickenegativa heltal k. På grund av att f(pk) går mot noll då k går mot oändligheten, så följer det att |f(p)| < 1. Summering ger ∑∞ ∑∞ 1 1 + f(pk) = 1 + f(p)k = , 1− f(p) k=1 k=1 och då får vi att ∏( ∑∞ ) ∏ 1 + f(pk) = (1− f(p))−1. p k=1 p Detta avslutar beviset. A.6 Bevis för Vinogradovs Summa, Sats 4.3.1 Sats A.6.1. Antag att α är nära ett rationellt tal enligt |α− aq | ≤ 1 q2 , (a, q) = 1. Då gäller S(α) ≪ (Nq−1/2 +N4/5 +N1/2q1/2)(logN)4. Bevis. För att betrakta S(α) generaliserar vi uttrycket och utnyttjar egenskaper hos Dirichletserier, se Appendix A.1 för teori om Dirichlet∑serier. Genom att an∑sätta attΛ(m) µ(d) F (s) = , G(s) = ms ds m≤U d≤V xviii för något U, V ≥ 2 med UV ≤ N och utnyttja identite(ten (givet konver)gens σ > 1) ζ ′ ζ ′− (s) = F (s)− ζ(s)F (s)G(s)− ζ ′(s)G(s) + − (s)− F (s) · (1− ζ(s)G(s)), ζ ζ så fås en användbar identitet för Λ. Vänsterledet är Dirichletserien av Λ och högerledet kan också ses som en Dirichletserie av flera termer, därmed fås likheten att Λ(n) = a1(n) + a2(n) + a3(n) + a4(n) där { Λ(n) om n ≤ U, ∑ a1 = , aom 2 (n) = − Λ(m)µ(d) 0 n > U mdr=n m≤U d≤V ∑ ∑ ∑  a3(n) = µ(d) log(h), a4(n) = − Λ(m) µ(d) . hd=n mk=n d|k d≤V m>U d≤V k>1 Ovan utnyttjas Dirichletseriens multiplikativa egenskap över konvolution Ff∗g(s) = Ff (s)Fg(s). Termerna multipliceras parvis med∑e(nα), och då termerna sedan summeras över n, så erhållsS(α) enligt S(α) = e(nα)Λ(n) = S1 + S2 + S3 + S4 (31) n≤N där ∑ Si = e(nα)ai(n). n≤N För att få en uppskattning av S betraktas varje summa för sig. Från Chebyshevs sats, Sats A.2.11, så är S1(N) ≪ U. (32) För S2 ändras summationsordning, med summation över möjliga produktermd = t, t = 1, 2, . . . , N med n = rt där r = 1, 2, ..., ⌊Nt ⌋, d∑ärme(d ∑blir ) ∑ S2 = − µ(d)Λ(m) e(rtα). t≤UV md=t r≤N/t m≤U d≤V Från att ∣∣∣∣ ∑ ∣∣ ∑µ(d)Λ(m)∣∣ ≤ Λ(m) ≤ log(t) ≤ log(UV ) md=t m|t m≤U m≤U d≤V fås en övre begränsning av S2 enligt ∑ S ≪ (logUV ) ∣∣∣ ∑ ∣∣∣2 ∣ e(rtα)∣. t≤UV r≤N/t Från Lemma A.4.1 och Lemma A∑.1.2 blir ≪ N 1 NS2 (logUV ) min( , ) ≪ (q + UV + )(log 2qN)2. (33) t ∥tα∥ q t≤UV Summan S3 skrivs om med samma su∑mmations∑ordning som S2 enligt S3 = µ(d) e(dhα) log(h). d≤V h≤N/d xix ∫ Därefter används a∑tt h log(h) = dw∑ w och∫byte av su∫mma∑tionsordnin∑g ger att1 h dw N dw S3 = µ(d) e(dhα) = µ(d) e(dhα) . w w d≤V h≤N/d 1 1 d≤V w≤h≤N/d Från detta fås en ö∫vre b∑egräns∑ning av S3 enligtN ∣ ∣dw ∑ ∣ ∑ ∣ S3 = e(dhα) ≪ (logN) max ∣∣ e(dhα)∣∣. 1 w wd≤V w≤h≤N/d d≤V w≤h≤N/d Från Lemma A.4.1 och Lemma A∑.1.2 blir ≪ N 1 NS3 (logN) min( , ) ≪ (q + V + )(log 2qN)2. (34) d ∥dα∥ q d≤V Summan S4 är mer komplicerad och som kräver följande lemma: Lemma A.6.2. Det existerar ett ∆ = ∆(α,M,N, V ) sådan att för alla komplexa tal bm, ck så gäller det a∣tt∣∣∣ ∑ ∑ ∣∣∣∣  ∑  1  ∑ 2  12∣∣ bm cke(mkα)∣∣ ≤ ∆ |b |2m |c |2kM N är olikheten trivial. xxi