Matematiska såll, primtalstvillingar och Chens sats Mathematical sieves, twin primes and Chen’s theorem Examensarbete för kandidatexamen i matematik vid Göteborgs universitet Victor Ahlquist Alf Söderberg Institutionen för Matematiska vetenskaper CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA GÖTEBORGS UNIVERSITET Göteborg, Sverige 2021 Matematiska såll, primtalstvillingar och Chens sats Examensarbete för kandidatexamen i matematik inom Matematikprogrammet vid Göteborgs universitet Victor Ahlquist Alf Söderberg Handledare: Lucile Devin Anders Södergren Institutionen för Matematiska vetenskaper CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA GÖTEBORGS UNIVERSITET Göteborg, Sverige 2021 Förord Idén att skriva ett kandidatarbete om matematiska såll ska tillskrivas våra handledare. Resultatet är en litteraturstudie av Heini Halberstams och Hans-Egon Richerts bok Sieve Methods. Vårt mål är att presentera olika sorters matematiska såll och några tillämpningar i studiet av primtalstvillingar. Vi avslutar med att presentera Chens sats och studera dess bevis. Rapporten ska först och främst betraktas som en grupprestation. För att underlätta en indi- viduell bedömning har vi under arbetets gång fört en loggbok över varje medförfattares insats. Detta omfattar dels en dagbok som varje vecka lämnats in till examinatorerna, dels en individuell tidslogg där var och en angett vad de arbetat med och hur länge. De olika avsnitten i den slutliga rapporten har författats enligt följande: • Victor Ahlquist: Sammanfattning, kapitel 1, avsnitt 2.1, 2.3, 4.2, 4.3, 4.5, kapitel 5, avsnitt 6.3 till och med ekvation (6.12), avsnitt 6.4, appendix A, avsnitt B.1, B.3.1, B.4.2, B.4.3 och B.4.5. • Alf Söderberg: Förord, populärvetenskaplig presentation, avsnitt 2.2, 3.3, 3.4, 4.1, 4.4, 6.1, 6.2, 6.3 från och utan ekvation (6.12), avsnitt B.2, B.3.2, B.4.1 och B.4.4. • Avsnitt 3.1 och 3.2 har skrivits gemensamt. Arbetet med att anpassa Chens sats, såsom den behandlas i [HR, kapitel 11], till fallet med prim- talstvillingar har både Victor och Alf utfört. I synnerhet i arbetets slutskede har vi bidragit till den slutliga utformningen även på varandras delar. Vi vill framföra vårt varma tack till våra handledare, Lucile Devin och Anders Södergren. Utan deras värdefulla hjälp och stöd hade projektet inte varit genomförbart. De har vid flera tillfällen läst igenom texten, bidragit med värdefulla insikter och gett förslag på relevanta förbättringar. Populärvetenskaplig presentation Såll används av de flesta till vardags i någon form, till exempel när man brygger kaffe eller kokar pasta. Principen för ett såll är enkel: den handlar om att skilja saker åt, ofta något vi vill ha från något vi inte vill ha. Också inom matematiken förekommer såll, och även om de skiljer sig från vad de flesta är vana vid bygger de på samma princip. Matematiska såll används inom talteorin, ett område ägnat åt att studera heltalen och deras egenskaper. Centrala i talteorin är primtal, som enbart är delbara med sig själva och 1. Tal som inte är primtal kallas sammansatta. De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... (Talet 1 räknas inte som ett primtal). Differensen mellan två primtal kan inte vara mindre än 2, förutom i undantagsfallet 3− 2 = 1. Par av primtal (p, p+ 2) vars avstånd till varandra är precis 2 kallas primtalstvillingar. De första primtalstvillingarna är (3, 5), (5, 7), (11, 13) och (17, 19). En stor del av talteorin går ut på att undersöka primtal. Redan den grekiske matematikern Euklides (325-265 f.v.t.) visste att det finns ett oändligt antal primtal. Vi kan ställa samma fråga om primtalstvillingar: finns det ett oändligt antal primtal p sådana att också p+ 2 är ett primtal? Frågan är, trots sin enkelhet, ännu inte besvarad. Ett annat fenomen är att det verkar som om alla jämna tal större än 2 kan skrivas som en summa av två primtal. Vi har till exempel att 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 5 + 3 och 10 = 5 + 5, och så vidare. Inte heller detta har kunnat bevisas än, även om många matematiker tror att det är så. Dessa båda problem kallas primtalstvillingsförmodan och Goldbachs förmodan. De ansågs länge vara nästan omöjliga att angripa, men under 1900-talet togs de första stegen mot en lösning. I denna process har matematiska såll visat sig oumbärliga. Matematiska såll finns i flera olika varianter, och det är vårt syfte att studera några av dem. Vi kommer se hur vart och ett av sållen relaterar till problemet om primtalstvillingar. I nuläget kan de inte användas för att bevisa den ursprungliga frågan, men de kan visa närliggande resultat. Det första sållet vi studerar är det äldsta och härrör från den grekiske matematikern Eratosthe- nes (276-194 f.v.t.). Tillvägagångssättet är relativt enkelt, och handlar om att på ett effektivt sätt hitta alla primtal i en given talmängd. Som illustration kan vi betrakta talen 1, 2, 3..., 100. Den första observationen vi gör är att vart och ett av dessa tal som inte är ett primtal har minst två primtalsfaktorer. Av dessa är minst en faktor mindre än eller lika med 10, för om båda vore större än 10 skulle talet vara större än 10 · 10 = 100. Genom att stryka alla tal delbara med primtal mindre än eller lika med 10 kan vi därmed hitta alla primtal mellan 10 och 100. Efter Eratosthenes dröjde det länge innan andra sållmetoder introducerades, och de flesta som vi studerar härrör från 1900-talet. De är mer komplicerade, men konceptet är detsamma. Generella sållmetoder arbetar med en ändlig talmängd, och syftar att ur denna sovra vad som är intressant, och uppskatta storleken av detta. I Eratosthenes såll skiljer vi till exempel primtal från sammansatta. I nyare sållmetoder är det inte säkert att det är lika effektivt. Mer generellt kanske man intresserar sig för tal med två, tre eller fem primtalsfaktorer. Ibland betraktar vi också primtal p till vilka vi adderar en konstant h. Den naturliga frågan är då att undersöka om p + h också är ett primtal. Primtalstvillingsförmodan handlar om fallet h = 2, men man kan även undersöka saken för andra h. Två av de nyare sållmetoderna har namngivits efter norrmännen Viggo Brun (1885-1978) och Atle Selberg (1917-2007). Bruns metod bygger på att på ett intrikat sätt välja vilka tal som ska sållas bort efter hur deras primtalsfaktorer är fördelade. På så sätt kan man visa att det finns ett oändligt antal heltal n så att både n och n − 2 har som mest sju primtalsfaktorer. Det kan jämföras med primtalstvillingsförmodan, som säger samma sak fast med en istället för sju faktorer. I sitt historiska sammanhang utgjorde Bruns insatser en viktig milstolpe i arbetet med förmodan. Selbergs idé bygger istället på att reella tal, när man multiplicerar dem med sig själva, aldrig är mindre än 0. Det använde Selberg genom att till varje element i talmängden vi vill undersöka tillskriva en så kallad vikt som är större än eller lika med 0. Selbergs metoder används bland annat för att visa Chens sats, som vårt arbete avslutas med. Den är namngiven efter den kinesiska matematikern Jingrun Chen (1933-1996) och säger att det finns ett oändligt antal primtal p så att p + 2 har en eller två primtalsfaktorer. När den publice- rades rönte den stor uppmärksamhet, och är än idag en av de skarpaste approximationerna till primtalstvillingsförmodan. Sammanfattning Matematisk sållteori har varit ett viktigt verktyg för många nutida resultat inom analytisk talteori. Med hjälp av Halberstam och Richerts Sieve Methods redogör vi för grundläggande sållteori med fokus på tillämpningar i studiet av primtalstvillingar. Vi bevisar och tillämpar varianter av Eratosthenes-Legendres såll, Bruns såll och Selbergs såll. Vi formulerar också de viktigaste resultaten från en utveckling av Selbergs såll för linjära problem. Avslutningsvis återger vi delar av beviset av Chens sats, som implicerar existensen av oändligt många par (p, p + 2) där p är ett primtal och p + 2 en produkt av maximalt 2 primtal. Abstract Mathematical sieve theory has been an important tool for many recent results in analytic number theory. Using Halberstam and Richert’s Sieve Methods, we present the fundamentals of sieve theory with a focus towards applications to the study of twin primes. We prove and apply forms of Eratosthenes-Legendre’s sieve, Brun’s sieve, and Selberg’s sieve. We also formulate the most important results from a development of Selberg’s sieve for linear problems. We conclude with a partial proof of Chen’s theorem which shows the infinitude of pairs (p, p+ 2) with p a prime and p + 2 a product of at most two primes. Innehåll 1 Inledning 1 1.1 Bakgrund och rapportens mål . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Rapportens upplägg och avgränsningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.3 Rekommenderade förkunskaper och lässtrategi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.4 Talteoretiska definitioner och notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Definitioner och inledande sållteori 3 2.1 Sållteoretiska definitioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2 Uppskattning av |Ad| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.3 Två villkor på ω och ett första såll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3 Kombinatoriska såll 4 3.1 Introduktion till kombinatoriska såll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.2 Nya villkor på ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.3 Bruns såll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.4 Användning av Bruns såll på primtalstvillingar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4 Selbergs såll 9 4.1 En grundläggande olikhet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4.2 Beräkningar och ett första resultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4.3 Aritmetiska primtalsföljder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.4 Användning av Selbergs såll på primtalstvillingar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.5 Tvillingprimtal och fler villkor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 5 Det linjära sållet 13 5.1 Funktionerna f och F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 5.2 Linjära sållresultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 6 Chens sats 15 6.1 Formulering av Chens sats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 6.2 Inledande uppskattningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 6.3 Begränsning av termerna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 6.4 Selbergs såll och Dirichletkaraktärer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 A Uppskattningar och elementär talteori 22 A.1 Elementära resultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 A.2 Uppskattningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 B Bevis av satser 25 B.1 Eratosthenes-Legendres såll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 B.2 Bevis av Sats 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 B.3 Detaljer till Selbergs såll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 B.3.1 Verifiering av detaljer från avsnitt 4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 B.3.2 Uppskattning av 1/G(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 B.4 Detaljer till Chens sats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 B.4.1 Omskrivning av summor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 B.4.2 Uppskattning av en produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 B.4.3 Dirichletkaraktärer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 B.4.4 Begränsning av en summa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 B.4.5 Avslutande uppskattningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1 Inledning Vi ger en beskrivning av sållteorins utveckling, presenterar rapportens upplägg samt rekommende- rade förkunskapskrav och lässtrategi för rapporten. Avslutningsvis förklarar vi notation och återger elementär talteori som används i senare kapitel. 1.1 Bakgrund och rapportens mål Studiet av primtal har alltid varit en central del av talteorin och det finns idag många öppna problem gällande talföljder kopplade till primtalen. Euklides (325-265 f.v.t.) visade tidigt existensen av oändligt många primtal. Ett relaterat, men svårare, problem är frågan om existensen av oändligt många primtalstvillingar, det vill säga oändligt många primtal p sådana att även p+2 är ett primtal. Problemet kallas primtalstvillingsförmodan och är olöst, men ett av de mest fruktsamma verktygen för att angripa problemet har hittills varit sållteori. Sållteori kan sägas utgöra en utvidgning av Eratosthenes (276-194 f.v.t.) ursprungliga algoritm för att finna primtalen upp till en viss gräns. Legendre (1752-1833) utvecklade Eratosthenes metod till det som idag kallas Eratosthenes-Legendres såll och en formulering av sållet återfinns nedan i form av Sats 2.1. Brun (1885-1978) kan sägas ha inlett den moderna sållteorin med [Br] där Bruns kombinatoriska såll, som utgör ett förbättring gentemot Eratosthenes-Legendres såll, presenteras. Ett resultat baserat på Bruns idéer finner läsaren i Sats 3.2. Selberg (1917-2007) utvecklade 1947 en version av det vi idag kallar Selbergs såll [S]. Metoden har i utökad form kunnat användas för att erhålla undre begränsningar för många följder och speciellt följder kopplade till primtalstvillingar. Förutom Brun och Selberg, som har lagt grunden för sållteorin, bör även bidragen från Bombieri och Vinogradov nämnas där Bombieri-Vinogradovs sats ger en begränsning på en felterm som ofta uppkommer i sållteorin. Satsen bevisades i den form vi behöver den av Bombieri i [Bo], och leder nästan direkt till vårt Lemma 4.3. Vårt mål är att redogöra för delar av beviset för en approximation av primtalstvillingsförmo- dan. Specifikt kommer vår kvantitativa Sats 6.1 implicera följande kvalitativa resultat, som först bevisades av Chen (1933-1996) i [C]. Fallet h = 2 är speciellt intressant på grund av kopplingen till primtalstvillingar. Sats 1.1. För varje jämnt h 6= 0 existerar det oändligt många primtal p sådana att p + h är ett primtal, eller en produkt av maximalt två primtal. Bland mer nutida bidrag till sållteorin återfinns ett anmärkningsvärt resultat från Zhang [Z]. Zhang bevisade att det existerar något h mindre än 70 miljoner sådant att det finns oändligt många primtalspar vars avstånd till varandra är mindre än h. Konstanten h har ytterligare be- gränsats, och speciellt kan Maynards bidrag [M] nämnas där han med nya metoder begränsade h till 600. Polymath-projektet, där bland annat Maynard och Tao deltog, använde i [P] idéerna från [M] och [Z] för att begränsa h till 246. Vi ser att om konstanten h kan begränsas till 2 är primtalstvillingsförmodan bevisad. 1.2 Rapportens upplägg och avgränsningar I samtliga kapitel följer vi ungefär presentationen i [HR]. Vi inleder med att i kapitel 2 ge sållteore- tiska exempel, samt beskriva Eratosthenes-Legendres såll. Vi utelämnar beviset, men det återfinns i appendix B.1. Kapitel 3 är fristående från framställningen i resterande kapitel, men vi lyckas här visa intressanta tillämpningar. Vi inleder med att behandla kombinatoriska såll i allmänhet och härleder olikheten (3.8). Vi presenterar sedan Bruns såll i form av Sats 3.2, tillsammans med tillämpningar på primtalstvillingar. Ett bevis av Sats 3.2 finns i appendix B.2. Vi ger i kapitel 4 en noggrann introduktion till Selbergs såll i form av Sats 4.1 som senare kopplas till studiet av primtalstvillingar. Eftersom Selbergs såll är det viktigaste grundläggande sållet för Chens sats ges ett bevis för Sats 4.1 direkt i kapitel 4. Vi studerar sedan det linjära sållet, som har stor betydelse för primtalstvillingar, i kapitel 5. De viktigaste resultaten som används i Chens sats formuleras, men fullständiga bevis utelämnar vi. Förhoppningsvis förmedlas dock den koppling satserna har till den övriga sållteorin. Avslutningsvis behandlar vi beviset av Chens sats för primtalstvillingar. Här skiljer vår fram- ställning sig från [HR], som istället behandlar Chens sats för Goldbachs förmodan, men många 1 argument är lika. Vi beskriver noggrant de delar av beviset som har koppling till rapportens tidiga- re avsnitt. Vi ställer upp ett såll för att approximera antalet element i {p+h : p ≤ N, p+h ∈ P2}, där P2 betecknar mängden av alla heltal med maximalt två primtalsdelare och p betecknar primtal. I nästa steg använder vi satserna från kapitel 5 för att erhålla en undre begränsning för mängden. För att slutföra beviset behöver vi uppskatta tre summor, men en av uppskattningarna kräver mer teori än omfånget av rapporten tillåter och vi hänvisar läsaren till [HR, kapitel 11.4-11.6] för de- taljerna. Uppskattningarna av de andra summorna redogörs för i appendix B.4.5 och tillsammans med den utelämnade uppskattningen slutför det beviset av Chens sats. 1.3 Rekommenderade förkunskaper och lässtrategi För att tillgodogöra sig innehållet i texten bör läsaren ha god förståelse av elementär talteori, till exempel i form av innehållet i [R]. Några viktiga talteoretiska resultat som vi använder finns i appendix A, tillsammans med användbara uppskattningar. Vi poängterar dock att en fullständig introduktion till elementär talteori ligger utanför rapportens ramar. Rapporten kan läsas sam- manhängande från början till slut, men vi har utelämnat vissa bevis och tekniska detaljer från huvudtexten. Vi markerar tydligt i texten om detaljerna återfinns i appendix. 1.4 Talteoretiska definitioner och notation Vi återger här viktiga definitioner från elementär talteori. Vi använder notationen från [HR] som med få undantag är standardnotation inom talteori. För ett positivt heltal n betecknar ν(n) antalet primtalsdelare utan multiplicitet, och Ω(n) antalet primtalsdelare med multiplicitet. Vi låter ν(1) = Ω(1) = 0. Den naturliga logaritmen betecknas med log och om k är ett positivt heltal skriver vi logk x för (log x)k. Ett positivt heltal n kallas kvadratfritt om ingen primtalskvadrat delar n. Vi betecknar Eulers konstant, som är gränsvärdet av skillnaden mellan den n:te delsumman av den harmoniska serien och log n, med γ. Funktionen µ(n) betecknar Möbiusfunktionen, definierad enligt µ(n) = { (−1)ν(n) om n är kvadratfritt, 0 annars. (1.1) Vi låter φ(n) beteckna antalet positiva heltal mindre än eller lika med n som är relativt prima till n. För två heltal a, b betecknar (a, b) deras största gemensamma delare, och [a, b] deras minsta gemensamma multipel. Låt f vara en komplexvärd funktion, definierad på de positiva heltalen, som inte är konstant lika med 0. Vi kallar då f multiplikativ om f(mn) = f(m)f(n) för relativt prima tal m,n. Det följer från definitionen att µ är multiplikativ och från elementär talteori vet vi att även φ är det. Vi låter alltid p beteckna ett primtal. Vidare låter vi pi(x) beteckna antalet primtal mindre än eller lika med x och pi(x; d, a) motsvarande antal primtal i restklassen a modulo d. Speciellt är pi(x) = ∑ p≤x 1. Funktionen lix definieras som lix = ∫ x 2 1 log t dt, x ≥ 2. Vi har ofta nytta av ordo-notation. När vi skriver f(x) = O(g(x)), eller f(x) g(x), menar vi att det finns en konstant C ≥ 1 så att |f(x)| ≤ C|g(x)| för alla x i en underförstådd mängd. Ofta kommer det vara mängden av alla x så att x ≥ 2, men villkoret x ≥ 3 kan vara underförstått om vi hanterar funktionen log log x, som är 0 för x = e. I de flesta fall är det intervallet [K,∞) där K är ett stort tal som är den intressanta mängden. Notationen f(x) g(x) betyder g(x) f(x). På liknande sätt skriver vi f(x) = h(x) +O(g(x)), (1.2) om det existerar något `(x) = O(g(x)) så att f(x) = h(x) + `(x) för alla x i någon mängd. Istället för likhetstecken kommer vi ibland skriva ≤ eller ≥ i (1.2) med analog betydelse. Ett index, till exempel i Oh(1), anger vad den implicerade konstanten C tillåts bero på. Ibland utelämnas index om det framgår av kontexten vad C beror på. 2 2 Definitioner och inledande sållteori Nedan följer det första sållteoretiska innehållet. Vi ger grundläggande definitioner och presente- rar två viktiga villkor. Avslutningsvis formulerar vi och tillämpar en utveckling av Eratosthenes ursprungliga algoritm i form av Eratosthenes-Legendres såll. 2.1 Sållteoretiska definitioner Vi inleder med att redogöra för grundläggande definitioner [HR, s. 14-15 och 24-25]. Heltalen utgör om inget annat anges grundmängden då vi bildar nya mängder. För en mängd eller följd C skriver vi |C| för antalet element i C. Vi låter A beteckna en ändlig följd av heltal och X > 1 vara en approximation av |A|. En speciell delföljd till A är Ad, med d kvadratfri, definierad som mängden av de element i A som delas av d. Vi noterar att A1 = A. Till A kommer vi definiera en icke-negativ reellvärd funktion ω0 på mängden av primtal som definieras så att |Ap| approximeras av Xω0(p)/p. Vi utökar ω0 till en multiplikativ funktion defi- nierad på mängden av kvadratfria tal genom ω0(d) := ∏ p|d ω0(p). I praktiken definierar vi dock alla tal ω0(d) samtidigt så att ω0 blir multiplikativ. Till kvadratfria d definierar vi även en felterm rd = |Ad| −Xω0(d)/d. Vi låter P vara en mängd av primtal. För heltal K definierar vi PK som mängden av primtal som inte delar K. Speciellt är P1 mängden av alla primtal och givet ett P låter vi P beteckna dess komplement i P1. Till P definierar vi P (z) som produkten av alla primtal i P strikt mindre än z. För att knyta samman A och P definierar vi en funktion ω(p) enligt ω(p) = { ω0(p) om p ∈ P, 0 annars. Som tidigare utvidgar vi ω till en multiplikativ funktion på mängden av kvadratfria tal. Givet ω introducerar vi feltermen Rd = |Ad| −Xω(d)/d och produkten W (z) = ∏ p 1 och annars 1 enligt Lemma A.1. Summan som involverar Möbiusfunktionen fungerar alltså som en indikator för de sökta talen. I den andra likheten har vi bytt summationsordning, använt d | P (z) och (q, P (z)) = 1, vilket följer ur defini- tionen av S(Aq,P, z), så att (q, d) = 1. Den sista likheten är definitionen av Aqd. Ett fullständigt bevis återfinns i appendix B.1. Som det påpekas i [HR, s. 31] blir Sats 2.1 endast användbar för små z i förhållande till X, eftersom feltermen är exponentiell i z. Trots feltermen lyckas Sats 2.1 ge en icke-trivial övre begränsning av antalet primtalstvillingar mindre än ett tal x. Vi betraktar talföljden A = {n(n+2) : n ≤ x} beskriven i avsnitt 2.2, med y = x så att X = x. Vi väljer P = P1 och ser från (2.3) att (R) är uppfyllt. En av faktorerna i n(n + 2) måste vara delbar med p för att produkten ska vara det så att ρ(p) ≤ 2, vilket tillsammans med (2.3) medför att (Ω0) är uppfyllt med A0 = 2. Vi kan räkna ut ρ(p) explicit för alla primtal och ser att ρ(2) = 1, men ρ(p) = 2 för p > 2. Om (p, p + 2) är ett par av primtal med z ≤ p ≤ x kommer p(p + 2) och P (z) vara relativt prima. Därmed har vi |{p ≤ x : p + 2 är ett primtal}| ≤ S(A,P, z) + z. Tillämpning av Sats 2.1 ger |{p ≤ x : p+ 2 är ett primtal}| ≤ S(A,P, z) + z ≤ XW (z) + 3z + z = xW (z) + 3z + z. Från Korollarium A.10 och ω(p) = ρ(p) följer W (z) 1/ log2 z. Vi låter z = (log x)/2 så att |{p ≤ x : p+ 2 är ett primtal}|  x log2( 12 log x) + x(log 3)/2 + log x 2  x log2 log x eftersom (log 3)/2 < 1. Eftersom det ännu är okänt om det finns oändligt många primtalstvillingar skulle det vara mer intressant med en undre begränsning. Med hjälp av en variant av Bruns såll kan åtminstone undre begränsningar för par som nästan är primtalstvillingar härledas, se Sats 3.3. 3 Kombinatoriska såll Eratosthenes-Legendres såll formulerar den algoritm som Eratosthenes använde i ett modernt språk. En nackdel med Eratosthenes-Legendres såll är att summan av feltermer är svår att kon- trollera. Vi kommer i detta kapitel presentera den grundläggande idén bakom kombinatoriska såll och ge ett exempel i form av Bruns såll. De utgör ett sätt att hantera problemet med feltermerna och därmed erhålla starkare resultat än tidigare. Materialet är hämtat från [HR, avsnitt 2.1-2.4]. 4 3.1 Introduktion till kombinatoriska såll Vi följer här [HR, avsnitt 2.1]. I Eratosthenes-Legendres såll använder vi den första inre summan i (2.4) som en indikatorfunktion för att avgöra om ett element a räknas till S(A;P, z). Vi kallar nu den inre summan σ0((a, P (z))). Kombinatoriska såll generaliserar σ0 genom att införa funktioner χ och σ, där σ definieras enligt σ(n) = ∑ d|n µ(d)χ(d). (3.1) Fallet där χ är den konstanta funktionen 1 ger σ0(n). Vårt syfte är nu att härleda undre och övre begränsningar för S(A;P, z) med hjälp av defini- tionen (3.1). Vi inleder med likheten µ(d)χ(d) = ∑ δ|d µ ( d δ ) σ(δ), (3.2) som följer genom att utveckla σ(δ) enligt (3.1) i högerledet, byta summationsordning och sedan använda Lemma A.1. Vi kan använda (3.2) för att se att ∑ d|P (z) µ(d)χ(d)|Ad| = ∑ d|P (z) |Ad| ∑ δ|d µ ( d δ ) σ(δ) = ∑ δ|P (z) σ(δ) ∑ t|P (z)/δ µ(t)|Aδt|, där vi i sista steget bytt summationsordning och skrivit d = δt. Idén är nu att dela upp summan ovan i de två fallen δ = 1 respektive δ > 1. Vi skriver P(d) för de tal i P som inte delar d, byter variabeln δ till d och använder (2.4) på de inre summorna i högerledet ovan för att erhålla S(A;P, z) = ∑ d|P (z) µ(d)χ(d)|Ad| − ∑ 1 1 eftersom p är ett primtal. Fallet δ = 1 ger inga problem eftersom q(1) =∞. Om vi nu byter summationsordning ovan och skriver δ = t` erhåller vi ∑ `|P (z) ∑ p|P (z) p p och att det tredje argumentet i S(Apd;P, p) är p. Poängen med omskrivningen är att vi får en övre respektive en undre begränsning om tecknet på µ(d)(χ(`)−χ(p`)) är konstant för de element som förekommer i summationen, se även [HR, s. 40]. Vi har alltså olikheten ∑ d|P (z) µ(d)χ2(d)|Ad| ≤ S(A;P, z) ≤ ∑ d|P (z) µ(d)χ1(d)|Ad|, (3.6) för två funktioner χ1 och χ2 givet att de uppfyller (−1)v−1µ(d)(χv(d)− χv(pd)) ≥ 0, för pd | P (z), p < q(d), (3.7) där v är 1 eller 2. Om vi använder definitionen av Rd i (3.6) får vi en undre och övre begränsning för S(A;P, z) som X ∑ d|P (z) µ(d)χ2(d) ω(d) d − ∑ d|P (z) |χ2(d)||Rd| ≤ S(A,P, z) ≤ X ∑ d|P (z) µ(d)χ1(d) ω(d) d + ∑ d|P (z) |χ1(d)||Rd|. (3.8) Vi vill hitta en klass av funktioner χv som uppfyller (3.7), vilket motiverar följande definition [HR, s. 43]. Definition 3.1. Två funktioner χv, v = 1, 2, definierade för alla d|P (z) sägs ge upphov till ett kombinatoriskt såll om det för v = 1, 2, gäller att 1. χv(d) ∈ {0, 1} för alla d|P (z), 2. χv(1) = 1, 3. om χv(d) = 1 gäller det att χv(t) = 1 då t | d och d | P (z), 4. om χv(t) = 1, µ(t) = (−1)v, p < q(t) och pt | P (z) gäller det att χv(pt) = 1. Lemma 3.1. Om två funktioner χv, v = 1, 2, genererar ett kombinatoriskt såll uppfyller de (3.7). Bevis. Antag att pd | P (z) och att p < q(d). Vi ska visa att (−1)v−1µ(d)(χv(d)−χv(pd)) inte kan vara negativt. Eftersom χv(d) antingen är lika med 0 eller 1 måste χv(d) − χv(pd) vara lika med −1, 0 eller 1. Det finns därför bara två fall där (−1)v−1µ(d)(χv(d)− χv(pd)) kan vara negativt. Det första fallet är om χv(d) = 0, χv(pd) = 1 och µ(d) = (−1)v+1. Eftersom d | pd är emellertid χv(d) = 1 om χv(pd) = 1 enligt den tredje egenskapen i Definition 3.1. Detta fall kan därför inte inträffa. Det andra fallet är om χv(d) = 1, χv(pd) = 0 och µ(d) = (−1)v. Det motsäger emellertid den fjärde egenskapen i Definition 3.1. Beviset är därför klart. En omedelbar konsekvens av Lemma 3.1 är att att funktioner som ger upphov till kombina- toriska såll uppfyller (3.8). För ett kombinatoriskt såll har vi alltså direkt en övre och en undre begränsning av S(A;P, z). 3.2 Nya villkor på ω Vi ska i nästa avsnitt undersöka Bruns såll, som är en instans av ett kombinatoriskt såll. Innan dess behöver vi några tekniska hjälpmedel som vi presenterar här [HR, avsnitt 1.4 och 2.3]. Vi börjar med att introducera ett nytt villkor (Ω1) på ω. Villkoret säger 0 ≤ ω(p) p ≤ 1− 1 A1 (Ω1) 6 för någon konstant A1 ≥ 1. Efter omordning av termerna erhåller vi det ekvivalenta uttrycket 1 ≤ 1 1− ω(p)/p ≤ A1. (3.9) Vi introducerar även (Ω2(κ)), som är en viktig generalisering av villkoret (Ω0). Det säger att ∑ w≤p 0 och A2 ≥ 1. En tolkning av (Ω2(κ)) är att ω(p) i genomsnitt är begränsad av parametern κ. I själva verket gäller det att (Ω0), som begränsar ω(p) för varje p, implicerar (Ω2(κ)) med κ = A2 = A0 [HR, Lemma 2.2]. Vi ser att Lemma A.7 medför ett liknande resultat, men där A2 då blir en multipel av A0. Om både (Ω1) och (Ω2(κ)) är uppfyllda har vi även en uppskattning av W (z) enligt [HR, Lemma 2.3] 1 W (z) = O(logκ z). (3.10) Jämför med Lemma A.10 som är ett specialfall. 3.3 Bruns såll Bruns såll är ett exempel på ett kombinatoriskt såll och ger en metod för att hitta både en övre och en undre begränsning till S(A;P, z). Vi ska här presentera de funktioner χv som ger upphov till det. För det påminner vi om att Pz1, z definieras som produkten av alla primtal p i P sådana att z1 ≤ p < z. Nästa steg är att vi inför tal zn, n = 0, 1, ..., r så att 2 = zr < zr−1 < ... < z1 < z0 = z och låter b vara ett positivt heltal. Vi definierar nu för v = 1, 2, χv(d) = { 1 om ν((d, Pzn,z)) ≤ 2b− v + 2n− 1, n = 1, 2, ..., r, 0 annars, (3.11) då d | P (z). Detta begränsar antalet primtalsfaktorer hos de d vi inkluderar såväl som hur de är fördelade. Även om funktionerna kan tyckas invecklade tillåter de oss att begränsa storleken på summan av resttermer χv(d)|Rd|. Man kan visa att χv, v = 1, 2 uppfyller kraven för ett kombinatoriskt såll (se Lemma B.1). Vi presenterar nu det centrala resultatet [HR, Sats 2.1]. Ett nästan fullständigt bevis finns i appendix B.2. Sats 3.2. Låt b vara ett positivt heltal och λ en konstant som uppfyller 0 < λe1+λ < 1. Antag vidare att villkoren (Ω1), (Ω2(κ)) och (R) är uppfyllda. Då gäller det att S(A;P, z) ≤ XW (z) ( 1 + 2 λ2b+1e2λ 1− λ2e2+2λ e(2b+3)c1/(λ log z) ) +O ( z2b+2,01/(e 2λ/κ−1) ) och S(A;P, z) ≥ XW (z) ( 1− 2 λ2be2λ 1− λ2e2+2λ e(2b+2)c1/(λ log z) ) +O ( z2b−1+2,01/(e 2λ/κ−1) ) (3.12) där c1 = A2 2 ( 1 +A1 ( κ+ A2 log 2 )) . Anmärkning. De implicerade O-konstanterna beror inte på b eller λ. De kan dock bero på κ, A1 och A2, konstanterna i villkoren (Ω1) och (Ω2(κ)). I framtiden tillåts alla O-konstanter bero på konstanterna Ai. En förbättring jämfört med Eratosthenes-Legendres såll är den sista feltermen, där vi finner z i basen istället för exponenten. En annan anmärkningsvärd aspekt är att vi får en undre begränsning. Sådana är ofta svårare att erhålla än övre begränsningar, men ger ofta intressanta resultat. Vi kommer se ett exempel på det i nästa avsnitt. 7 3.4 Användning av Bruns såll på primtalstvillingar Vi presenterar nu [HR, s. 62-63]. Sats 3.3. Det finns ett oändligt antal positiva heltal n sådana att n och n − 2 har högst 7 prim- talsfaktorer. Anmärkning. Vi betraktar heltal n och n−2 istället för n och n+2 för att underlätta räkningarna i bevisets slutskede. Bevis. Vi låter A = {n(n − 2) : n ≤ x} och P = P1, mängden av alla primtal. Vi betraktar nu S(A;P, z). Detta uttryck betecknar antalet heltal n(n − 2), där n ≤ x, sådana att n(n − 2), och därför även n och n− 2, saknar primtalsfaktorer p sådana att p < z. Enligt vad vi såg i avsnitt 2.2 kan vi välja X = x och ω(p) = ρ(p) = { 1 om p = 2, 2 om p > 2. I likhet med vad vi såg i avsnitt 2.3 beror det på att kongruensen n(n−2) ≡ 0 mod p har exakt två lösningar, n ≡ 0 mod p och n ≡ 2 mod p, som sammanfaller då p = 2. Alltså har vi att ω(p) ≤ 2, varför (Ω0) är uppfyllt. Från avsnitt 3.2 är därför även (Ω2(κ)) uppfyllt, med κ = A2 = 2. Vidare har vi att 1 ≤ 1 1− ω(p)/p ≤ 1 1− 2/3 ≤ 3, så (Ω1) är uppfyllt med A1 = 3. Slutligen är |Rd| ≤ ω(d) enligt (2.3), så (R) är uppfyllt. Därför kan vi tillämpa Sats 3.2. Med b = 1 erhåller vi ur (3.12) att S(A;P, z) ≥ xW (z) ( 1− 2 λ2e2λ 1− λ2e2+2λ e4c1/(λ log z) ) +O ( z1+2,01/(e λ−1) ) . För vårt val av ω är W (z) = 12 ∏ 2 0. (3.13) Detta kommer medföra att faktorn 1− 2 λ2e2λ 1− λ2e2+2λ e4c1/(λ log z) förblir positiv då z → ∞, eftersom faktorn e4c1/(λ log z) då går mot 1. För λ = log(1,288) uppfylls (3.13) såväl som satsens krav. Vi kan även finna en konstant u sådan att 1 + 2,01/(eλ− 1) < u < 8 för detta val av λ. Om vi låter z = x1/u får den sista resttermen formen O ( log2 x/(u2xε) ) , där ε > 0. Eftersom W (z)  1/ log2 z följer det att S(A;P, z) → ∞ då x → ∞. Alltså finns det ett oändligt antal n sådana att samtliga primtalsfaktorer p hos n eller n − 2 uppfyller p ≥ z = x1/u. Låter vi Ω(n) beteckna antalet primtalsfaktorer hos n (med multiplicitet) får vi alltså x ≥ n ≥ zΩ(n) = xΩ(n)/u och x ≥ n− 2 ≥ zΩ(n−2) = xΩ(n−2)/u. Detta beror på att n respektive n − 2 är produkter av Ω(n) respektive Ω(n − 2) primtalsfaktorer som var och en är större än eller lika med z. Därmed kan vi dra slutsatsen att Ω(n) u ≤ 1 och Ω(n− 2) u ≤ 1, så att Ω(n) ≤ u < 8 och Ω(n− 2) ≤ u < 8. Eftersom både Ω(n) och Ω(n − 2) är heltal måste de därför vara mindre än eller lika med 7. Det avslutar beviset. 8 4 Selbergs såll Efter Bruns arbete har flera andra såll konstruerats. Ett av de viktigaste är Selbergs såll, och de flesta av de resterande resultaten som presenteras här bygger på dess grundidé. I likhet med Bruns sållmetoder ger Selbergs motsvarigheter oss metoder för att finna övre och undre begränsningar till S(Aq;P, z). Oftast sker det under samma sorts förutsättningar som tidigare. Det vanligaste är att vi sätter villkor på funktionen ω eller resttermerna |Rd|. I det här kapitlet presenterar vi Selbergs såll i form av Sats 4.1, tillsammans med en härledning. Vi ser också hur satsen kan användas för att finna en övre gräns i studiet av primtalstvillingar. Vi avslutar med att introducera generaliserade villkor för funktionen ω och resttermerna |Rd|. 4.1 En grundläggande olikhet Selbergs såll bygger på att vi för varje positivt kvadratfritt heltal d definierar ett reellt λd, med kravet att λ1 = 1. Vi har då den grundläggande olikheten S(Aq;P, z) ≤ ∑ a∈Aq ( ∑ d|(a,P (z)) λd )2 = ∑ a∈Aq ( ∑ d|a d|P (z) λd )2 . (4.1) Denna har sin grund i att om (a, P (z)) = 1 har vi endast en term i den inre summan, nämligen λ1 = 1. I alla andra fall ger termerna a ett icke-negativt bidrag eftersom vi kvadrerar en summa av reella tal. Idén kan synas enkel men har visat sig effektiv. Det övergripande problemet är att välja lämpliga konstanter λd så att uppskattningen i (4.1) blir så bra som möjligt. Utan några begränsningar är problemet svårt, så det är vanligt att man förenklar situationen genom att införa en parameter ξ > 1, och sätta λd = 0 då d ≥ ξ [HR, s. 97]. I nästa avsnitt bygger vi vidare på (4.1) och inför samtidigt några av de viktigaste hjälpmedlen. 4.2 Beräkningar och ett första resultat Ett naturligt val av parametern ξ är att sätta ξ = z, vilket är fallet som behandlas i [HR, avsnitt 3.1]. När undre begränsningar härleds är det dock sällan möjligt att välja variabeln z fritt. Därmed är det fördelaktigt om vi kan välja ξ fritt för att behålla viss flexibilitet [HR, s. 189]. Speciellt i samband med villkoret R(1, α) som definieras i avsnitt 4.5 kommer flexibiliteten som ξ ger vara användbar. Vi följer därför utvecklingen av teorin i [HR, avsnitt 6.1] och inleder med att utveckla kvadraten i (4.1) enligt S(Aq;P, z) ≤ ∑ a∈Aq ∑ d1|a d1|P (z) ∑ d2|a d2|P (z) λd1λd2 , för kvadratfria q med (q, P (z)) = 1 och (q,P) = 1, som i avsnitt 2.1. Nyckelidén är nu att ändra summationsordning för att erhålla den övre begränsningen i form av en huvudterm och en restterm. Vi skriver därför om högerledet ovan till ∑ d1|P (z) ∑ d2|P (z) λd1λd2 ∑ a∈Aq [d1,d2]|a 1. Eftersom [d1, d2] | P (z) och (q, P (z)) = 1 enligt villkoren på q i S(Aq;P, z) från (2.2), är den innersta summan |Aq[d1,d2]| enligt kinesiska restsatsen. Vi sätter D = [d1, d2] för att förenkla notationen. Vi använder nu att |AqD| = Xω(qD)/qD + RqD per definition och delar upp uttrycket ovan enligt ω(q) q X ∑ d1|P (z) ∑ d2|P (z) λd1λd2 ω(D) D + ∑ d1|P (z) ∑ d2|P (z) λd1λd2RqD, (4.2) där vi i första termen utnyttjat att ω är multiplikativ. Vi använder notationen från [HR, avsnitt 6.1] och betecknar den vänstra dubbelsumman Σ1 och den högra Σ2 så att vår uträkning har visat 9 att S(Aq;P, z) ≤ X ω(q) q Σ1 + Σ2. Eftersom Σ1 multipliceras med X är den första termen relativt stor och vi väljer därför λd för att minimera den. Valet λd = 0 för d ≥ ξ minskar dock storleken av Σ2 [HR, s. 189], eftersom inte alla delare till P (z) bidrar till summan. Till skillnad från [HR, avsnitt 6.1] väntar vi med att specificera λd tills vi kan se vad det optimala valet är, men vi följer deras omskrivning av Σ1. Den fortsatta uträkningen inleds med observationen ω(D) D = ω(d1)ω(d2) d1d2 (d1, d2) ω((d1, d2)) , (4.3) som följer ur multiplikativiteten hos ω, aritmetikens fundamentalsats och den elementära likheten d1d2 = [d1, d2](d1, d2). Givetvis gäller inte likheten om ω((d1, d2)) = 0, men i sådana fall är ω(D) också noll enligt multiplikativiteten, så vi kan bortse från detta fall. För nollskilda ω(p) har vi även p ω(p) = 1 + p(1− ω(p)p ) ω(p) =: 1 + 1 g(p) , (4.4) där g(p) definieras som den multiplikativa inversen av bråket i det mittersta uttrycket. Vi utvidgar g till en multiplikativ funktionen definierad på kvadratfria d enligt g(d) = ω(d) d ∏ p|d 1 (1− ω(p)/p) , (4.5) jämför [HR, ekvation (1.4.17)]. Den uppmärksamma läsaren noterar att g(p) inte är definierad om ω(p)/p = 1 och vi kräver därför villkoret (Ω1) som förhindrar det. Från (4.5) följer g(d) = 0 om och endast om ω(d) = 0. Vi förenklar nu andra faktorn i (4.3) med hjälp av Lemma A.3 enligt (d1, d2) ω((d1, d2)) = ∏ p|(d1,d2) p ω(p) = ∏ p|(d1,d2) ( 1 + 1 g(p) ) = ∑ `|(d1,d2) 1 g(`) = ∑ `|d1 `|d2 1 g(`) . (4.6) Tillsammans med (4.3) kan (4.6) användas för att skriva om första summan Σ1 i (4.2) till ∑′ d1|P (z) ∑′ d2|P (z) λd1λd2 ω(d1)ω(d2) d1d2 ∑′ `|d1 `|d2 1 g(`) = ∑′ `|P (z) `<ξ 1 g(`) ( ∑ d|P (z) l|d<ξ λd ω(d) d )2 . (4.7) I den yttre summan behöver vi endast ta hänsyn till ` < ξ eftersom ` | d annars medför att d ≥ ` > ξ så att λd = 0. Symbolen ′ betyder att vi endast summerar över heltal k med ω(k) 6= 0. Nu följer vi [HR, s. 121] för att finna optimala λd. Vi definierar y` som summan innanför kvadraten i (4.7) så att Σ1 = ∑′ `|P (z) `<ξ y2` g(`) , y` = ∑ d|P (z) l|d<ξ λd ω(d) d (4.8) En beräkning, se appendix B.3.1, visar att kravet λ1 = 1 är ekvivalent med 1 = ∑ `<ξ `|P (z) µ(`)y` = ∑′ `<ξ `|P (z) y` √ g(`) µ(`) √ g(`). (4.9) Cauchy-Schwarz olikhet och (4.8) visar nu att högerledet ovan är mindre än Σ1 ·G1(ξ, z), där Gk(ξ, z) := ∑ `<ξ `|P (z) (`,k)=1 µ2(`)g(`). (4.10) 10 Vi betecknar G1(ξ, z) med G(ξ, z) och har då en undre begränsning av Σ1 som 1/G(ξ, z). De optimala y` väljs så att Cauchy-Schwarz olikhet ger likhet, det vill säga så att alla y`/ √ g(`) är multiplar av µ(`) √ g(`) för alla `, med samma proportionalitetskonstant. Tillsammans med (4.9) visar detta att y` = g(`)µ(`)/G(ξ, z), vilket medför att λd = µ(d) ∏ p|d(1− ω(p)/p) Gd(ξ/d, z) G(ξ, z) , (4.11) samt |λd| ≤ 1. Detaljerna återfinns i appendix B.3.1. Med hjälp av denna observation kan vi hitta en övre begränsning för Σ2, enligt metoden i [HR, avsnitt 6.1], genom att ta absolutbelopp i (4.2). Vi ser därför att Σ2 ≤ ∑ d1|P (z) d1<ξ ∑ d2|P (z) d2<ξ |Rq[d1,d2]| ≤ ∑ D<ξ2 D|P (z) |RqD| ∑ d1,d2 [d1,d2]=D 1. (4.12) Vi har i den första summan använt att den minsta gemensamma multipeln av två delare till P (z) måste dela P (z), samt vara mindre än ξ2 på grund av storleksbegränsningarna på d1, d2. Vi tar mellan andra och tredje summan bort kravet d1, d2 < ξ vilket ger olikhet. Vi beräknar den innersta summan till 3ν(D) med hjälp av ett kombinatoriskt argument. För att bilda två tal vars minsta gemensamma multipel är precis D har vi för varje primtalsfaktor i D precis tre val. Vi kan antingen låta den ingå i d1, d2, eller båda. Vi får alltså följande sats [HR, Sats 6.1]. Sats 4.1. Om (Ω1) är uppfyllt och ξ > 1 har vi den övre begränsningen S(Aq;P, z) ≤ ω(q) q X G(ξ, z) + ∑ d<ξ2 d|P (z) 3ν(d)|Rqd|. (4.13) Sats 4.1 gäller under svaga förutsättningar vilket gör den användbar. Eftersom vi inte har något villkor på storleken av Rqd kan dock inte summan i (4.13) förenklas direkt. Vi kommer längre fram se att resttermen kan uppskattas väl om ett villkor (R(κ, α)), som är mindre strikt än (R), är uppfyllt. Utöver resttermen kommer vi även uppskatta G(ξ, z) nedifrån för att kunna använda Sats 4.1 i praktiken. Vi avslutar med att notera att en alternativ, svagare form på resttermen i (4.13) är ∑ d<ξ2 (d,P)=1 µ2(d)3ν(d)|Rqd|, (4.14) eftersom alla d som delar P (z) uppfyller att (d,P) = 1 samt är kvadratfria, jämför [HR, ekvation (3.1.14)]. 4.3 Aritmetiska primtalsföljder Vi avviker tillfälligt från undersökningen av Selbergs såll för att studera ett exempel av särskilt intresse i samband med primtalstvillingar [HR, exempel 5, avsnitt 1.3]. Vi låterA = {ap+h : p ≤ x} med a, h heltal, (a, h) = 1 och x ≥ 1 reellt. När vi behöver uppskatta |Ad| kommer alltid (a, d) = 1 och vi kommer alltid använda P = Ph så att vi endast undersöker d med (d, ah) = 1. Vi har |Ad| = |{ap + h : p ≤ x, p ≡ −ha−1 mod d}| = pi(x; d,−ha−1), där a−1 är den multi- plikativa inversen modulo d till a. Eftersom (d, ah) = 1 växer |Ad| obegränsat då x → ∞, enligt Dirichlets sats [D, kapitel 1]. En kvantitativ form av Dirichlets sats i [D, kapitel 22] ger lix/φ(d) som en uppskattning för pi(x; d,−ha−1). Om vi sätter d = 1 får vi uppskattningen X = lix. Vi får även naturliga val för ω0, och i förlängningen ω. Totalt får vi X = lix, ω(d) = { d φ(d) om (d, h) = 1, 0 annars. (4.15) 11 Speciellt är ω multiplikativ eftersom φ är det. Vi ser också att ω(p) = p/(p − 1). Nu följer också Rd = pi(x; d,−ha−1)− lix/φ(d) om d är kvadratfri och (d, ah) = 1. Feltermen beror på både d och h vilket inte kommer vara önskvärt i framtiden. Vi definierar därför E(x, q) = max 2≤y≤x max (c,q)=1 ∣ ∣ ∣ ∣pi(y; q; c)− li y φ(q) ∣ ∣ ∣ ∣ , (4.16) så att |Rd| ≤ E(x, d), d kvadratfritt, (d, h) = 1. 4.4 Användning av Selbergs såll på primtalstvillingar Vi ger nu ett exempel på hur Sats 4.1 kan användas i arbetet med primtalstvillingar, och följer i stort sett tillvägagångssättet i [HR, avsnitt 3.6-3.7]. Vi låter N och h vara positiva jämna heltal, och betraktar mängden L = {p + h : p ≤ N}. Vi ser att L är ett specialfall av följden A vi studerade i avsnitt 4.3, med a = 1 och x = N . Då har vi enligt (4.15) att ω(p) = { p p−1 om p - h, 0 annars. (4.17) Låter vi ξ = z i G(ξ, z) har vi med G(z, z) =: G(z) att 1 G(z) ≤ 2 ∏ p>2 ( 1− 1 (p− 1)2 ) ∏ 22 ( 1− 1 (p− 1)2 ) ∏ 22 ( 1− 1 (p− 1)2 ) ∏ 2 0, f(u) = eγ ( η(u)− ρ(u) u ) , u > 0. (5.2) Då 0 < u ≤ 2 kan vi se direkt från definitionen att f(u) = 0 och F (u) = 2eγ/u. För att undvika längre avvikelser från studiet av primtalstvillingar nöjer vi oss med att formulera de egenskaper hos f och F som krävs för beviset av Chens sats utan bevis och hänvisar den intresserade läsaren till [HR, avsnitt 8.2] för detaljer. Två viktiga egenskaper hos f och F är att f växer monotont från 0 till 1 och att F avtar monotont mot 1. Man kan också med mer information om η, ρ, visa att konvergensen mot 1 sker exponentiellt så att f(u) = 1 + O(e−u) och F (u) = 1 + O(e−u). Från definitionen av f , F följer även ∫ u u1 f(t− 1)dt = uF (u)− u1F (u1), ∫ u u1 F (t− 1)dt = uf(u)− u1f(u1), (5.3) för 2 ≤ u1 ≤ u. Nyckeln till beviset är att se att vi för u ≥ 2 har (uF (u))′ = f(u − 1) och (uf(u))′ = F (u− 1). Den sista egenskapen vi behöver är en medelvärdesegenskap som vi kommer använda i Chens sats för att kontrollera beteendet hos f och F mellan två närliggande punkter. För godtyckliga 0 < u1 < u2 har vi nämligen 0 < F (u1)− F (u2) ≤ F (u1) u2 − u1 u1 , 0 < f(u2)− f(u1) ≤ 2e γ u2 − u1 u1 . (5.4) Vi noterar här att om u1 väljs större än exempelvis 1 är F (u1) = O(1) på grund av monotoniciteten. 5.2 Linjära sållresultat Nu är vi redo att formulera de två resultat om linjära såll från [HR, avsnitt 8.3-8.4] som vi kommer använda i beviset av Chens sats. I båda resultaten kräver vi utöver (Ω2(1, L)) även (Ω1). För att bevisa de två resultaten krävs en utvidgning av Selbergs såll från kapitel 4, som låter oss erhålla undre begränsningar. Härledningen av det utvidgade sållet sker genom att introducera funktioner liknande η och ρ ovan, men framställningen blir teknisk och hamnar utanför rapportens omfång. Vi presenterar därför resultaten nedan utan bevis. Det första resultatet är [HR, Sats 8.3]. Sats 5.1. Låt (Ω1) och (Ω2(1, L)) vara uppfyllda. Om ξ ≥ z, eller 1 < ξ < z med z  ξλ för något λ, har vi S(Aq;P, z) ≤ ω(q) q XW (z) ( F ( log ξ2 log z ) + C1 L (log ξ)1/14 ) + ∑ n<ξ2 n|P (z) 3ν(n)|Rqn|, S(Aq;P, z) ≥ ω(q) q XW (z) ( f ( log ξ2 log z ) − C2 L (log ξ)1/14 ) − ∑ n<ξ2 n|P (z) 3ν(n)|Rqn|, (5.5) där vi explicit har skrivit ut O-konstanten Ci. Som vanligt tillåts den bero på alla Ai och α, men inte på L. Om ξ < z måste konstanten C1 tillåtas bero på λ. Med medelvärdesegenskapen (5.4) kan vi härleda en utvidgning av Sats 5.1 utan resttermer [HR, Sats 8.4]. Detta kräver dock att vi introducerar villkoret R(1, α). Nyckeln till beviset är att sätta ξ2 = Xα/(logX)A4 , använda (R(1, α)), (3.10) och sedan tillämpa (5.4). 14 Sats 5.2. Låt (Ω1), (Ω2(1, L)) och (R(1, α)) vara uppfyllda. Om z ≤ X existerar det ett X0 så att vi för X ≥ X0 har S(A;P, z) ≤ XW (z) ( F ( α logX log z ) + C L (logX)1/14 ) S(A;P, z) ≥ XW (z) ( f ( α logX log z ) − C L (logX)1/14 ) (5.6) där konstanten C tillåts bero på Ai och α men inte L. Konstanten X0 kan bero på A4 och α. 6 Chens sats Vi ska nu formulera och presentera ett bevis av Chens sats [HR, Sats 11.1]. Satsen utgör i ett specialfall den i sitt slag närmaste approximationen av primtalstvillingsförmodan. 6.1 Formulering av Chens sats Sats 6.1 (Chens sats). Låt h vara ett nollskilt jämnt heltal. Då finns en konstant N0 så att om N > N0 gäller det att |{p : p ≤ N, p+ h ∈ P2}| > 0,66 ∏ p>2 ( 1− 1 (p− 1)2 ) ∏ 2 p2. Eftersom den inre summan är tom måste p2 ≥ (N/p1)1/2. Men då får vi att p2p3 > N/p1 och därmed att p+ h > N . Detta är uppenbarligen en motsägelse, och alltså har p+ h med ett undantag högst två primtalsfaktorer om dess vikt är lika med 1/2. Vi såg att det finns två undantag från regeln att ett element i W med positiv vikt måste höra till P2: Dels om p + h = N , dels om p + h = p1q2 där q = (N/p1)1/2 är ett primtal. Dessa två undantag orsakar inga problem, eftersom de endast introducerar en felterm O(1). Högerledet i (6.2) förenklas om vi ändrar den yttre summationsgränsen till p ≤ N . Det kommer medföra att en felterm Oh(1) läggs till. Därefter multiplicerar vi in i parentesen i den modifierade versionen av (6.2) och erhåller då tre summor. I var och en av dessa undersöker vi hur stor felterm som uppkommer om vi även avlägsnar de restriktioner som impliceras av symbolen ′. Den kommer att få formen O(N9/10). I den första summan lägger vi som mest till Oh(1) termer, eftersom kravet (p, h) = 1 har hävts, och ∑ p|h 1 = Oh(1). I den andra summan betraktar vi för varje p1 en följd av N på varandra följande heltal och undersöker vilka som är delbara med p21, eftersom kravet på kvadratfrihet hävts. Avlägsnandet av ′ ger därför som mest ett bidrag på N/p21 + 1 för varje p1. I den tredje summan resonerar vi på liknande sätt, men med p1p22. Totalt får vi ett bidrag på (jämför [HR, s. 322]) Oh(1) +O ( ∑ N1/10≤p12 ( 1− 1 (p− 1)2 ) ∏ 2 2,64 ∏ p>2 ( 1− 1 (p− 1)2 ) ∏ 22 ( 1− 1 (p− 1)2 ) ∏ 2 1. Talet ` kallas för χ:s period. Vi presenterar nedan några användbara egenskaper hos Dirichletkaraktärer. Från definitionen följer |χ(n)| = 1 för alla (n, `) = 1, samt att χ(n) i sådana fall är en enhetsrot. Dessutom ser vi att om χ är en Dirichletkaraktär är också χ¯ det och χ(n)χ¯(n) = 1 för (n, `) = 1. Från multiplikativiteten följer, om (n, `) = 1, att χ¯(n) = χ(n−1), där n−1 är invers till n modulo `. En speciell karaktär är huvudkaraktären χ0 som är indikatorfunktion för tal n sådana att (n, `) = 1. Fler detaljer återfinns i appendix B.4.3 och en fullständig behandling ges i [D, kapitel 1 och 4]. Vi använder nu Selbergs såll i specialfallet ξ = z, q = 1 och följer [HR, avsnitt 11.3]. Eftersom S1 är nära relaterad till A := A(p1, p2) från (6.14) väljer vi de vikter λd vi skulle använt för att studera A, med tillhörande P := Ph. Notera att z ≤ N1/4 ≤ p1 ≤ p2 så att för d ≤ z har vi (d, p1p2) = 1. Därmed är A en av de följderna vi studerade i avsnitt 4.3. Vi väljer därför ω(d) = d/φ(d) för d ≤ z, (d, h) = 1, och ω(d) = 0 om (d, h) > 1. Vi väljer nu λd enligt (4.11) och erhåller, jämför (4.1), att S1 ≤ ∑ m≤N Λ0(m) ( ∑ d|P (z) d|m−h λd )2 = ∑ d1,d2|P (z) λd1λd2 ∑ m≤N m≡h mod D Λ0(m), (6.20) 19 där vi i första olikheten använt att kvadrater är icke-negativa, samt att λ1 = 1 så att om (m − h, P (z)) = 1 får summan precis ett tillskott Λ0(m). D har vi definierat som [d1, d2]. Eftersom P = Ph är (D,h) = 1 och h har en invers modulo D. Därmed är h ≡ m mod D ekvivalent med mh−1 ≡ 1 mod D. Vi kan nu använda Lemma B.6, som beskriver resultatet av en summation över alla Dirichletkaraktärer modulo D, för att skriva om högerledet i (6.20) till ∑ d1,d2|P (z) λd1λd2 φ(D) ∑ m≤N Λ0(m) ∑ χ mod D χ(h)χ(m) = ∑ d1,d2|P (z) λd1λd2 φ(D) ∑ χ mod D χ(h) ∑ m≤N Λ0(m)χ(m), Vi kallar hädanefter den innersta summan ψ0(N,χ). För huvudkaraktären χ0 har vi speciellt ψ(N,χ0) = ∑ m≤N (m,D)=1 Λ0(m) = ∑ m≤N Λ0(m)− ∑ m≤N (D,m)>1 Λ0(m). (6.21) Vi delar därför upp summan över Dirichletkaraktärerna ovan för att hantera χ = χ0 separat. Vi tar sedan absolutbelopp av de två sista delsummorna som uppkommer. Vi flyttar in absolutbeloppet och erhåller totalt S1 ≤ ∑ d1,d2|P (z) λd1λd2 φ(D) ∑ m≤N Λ0(m) + ∑ D1 Λ0(m) + ∑ D2 ( 1− 1 (p− 1)2 ) ∏ 22 ( 1− 1 (p− 1)2 ) ∏ 22 ( 1− 1 (p− 1)2 ) ∏ 2 m. Det beror på att högerledet växer då n växer medan vänsterledet däremot förblir konstant. Vi är därför klara om vi kan visa (B.2) för n = m. Vi vet att ν((pt, Pzm,z)) = ν(pt) eftersom pt | P (z) och zm ≤ p. Vidare är ν(t) = ν((t, Pzm,z)) ≤ 2b−v+2m−1. Om vi kan visa att olikheten är strikt är vi klara, eftersom ν(pt) = ν(t)+1. Eftersom µ(t) = (−1)ν(t) = (−1)v gäller det att: • Om v = 1 är ν(t) udda och 2b− v + 2m− 1 är jämnt. • Om v = 2 är ν(t) jämnt och 2b− v + 2m− 1 är udda. Alltså är ν(t) 6= 2b− v + 2m− 1, vilket avslutar beviset. Eftersom χv(d) ≥ 0 för alla d|P (z) och v = 1, 2, får (3.8) formen X ∑ d|P (z) µ(d)χ2(d) ω(d) d − ∑ d|P (z) χ2(d)|Rd| ≤ S(A;P, z) ≤ X ∑ d|P (z) µ(d)χ1(d) ω(d) d + ∑ d|P (z) χ1(d)|Rd|. (B.3) Beviset utförs genom att uppskatta de olika summorna var för sig. Innan dess behöver vi följande uträkning [HR, s. 44]. Lemma B.2. Låt p+ beteckna det minsta primtalet större än p. Under villkoret (Ω1) och för v = 1, 2, gäller det att ∑ d|P (z) µ(d)χv(d) ω(d) d = W (z) ( 1 + (−1)v−1 ∑ p 1 skriver vi d = p1...pr där p1 < ... < pr, eftersom d är kvadratfri. Vi får då ∑ p|d (χv((d, Pp+,z))− χv((d, Pp,z))) = r∑ i=1 (χv((d, Pp+i ,z))− χv((d, Ppi,z))) = r−1∑ i=1 (χv(pi+1...pr)− χv(pi...pr)) + χv(1)− χv(pr) = 1− χv(d). Vi löser ut χv(d) och får ∑ d|P (z) µ(d)χv(d) ω(d) d = ∑ d|P (z) µ(d) ω(d) d − ∑ d|P (z) µ(d) ω(d) d ∑ p|d ( χv((d, Pp+,z))− χv((d, Pp,z)) ) . Den första summan är lika med W (z) enligt Lemma A.2. I den andra summan skriver vi allt under båda summatecken och absorberar ett minustecken genom att ersätta µ(d) med µ(d/p). Vi erhåller då W (z) + ∑ d|P (z) ∑ p|d µ ( d p ) ω(d) d ( χv((d, Pp+,z))− χv((d, Pp,z)) ) . (B.4) Vi delar nu upp d = δpt i tre faktorer, där p är ett primtal, δ innehåller alla primtalsfaktorer mindre än och t alla större än p (om inga sådana faktorer finns är δ respektive t lika med 1). De 27 är parvis relativt prima och eftersom ω och µ är multiplikativa är dubbelsumman i (B.4) lika med ∑ δpt|P (z) ∑ δ|P (p) p|P (z) t|Pp+,z µ(δt) ω(δ) δ ω(p) p ω(t) t (χv(t)− χv(pt)) = ∑ p|P (z) ω(p) p ∑ δ|P (p) µ(δ) ω(δ) δ ∑ t|Pp+,z µ(t) ω(t) t (χv(t)− χv(pt)) . (B.5) Vidare har vi att om pt|P (z) och p är mindre än den minsta primtalsfaktorn i t är χv(t)− χv(pt) = (−1) v−1µ(t)χv(t)(1− χv(pt)). (B.6) För att verifiera det kontrollerar vi tre olika fall. Om χv(pt) = 1 har vi att χv(t) = 1 eftersom funktionerna χv genererar ett kombinatoriskt såll. I så fall är båda led lika med 0. Detsamma gäller om χv(pt) = 0 och χv(t) = 0. Om χv(pt) = 0 och χv(t) = 1 måste µ(t) = (−1)v−1, och (B.6) gäller även då. Vi använder nu (B.6) i (B.5) och erhåller (−1)v−1 ∑ p|P (z) ω(p) p ∑ δ|P (p) µ(δ) ω(δ) δ ∑ t|Pp+,z µ2(t) ω(t) t (χv(t)(1− χv(pt))) = = (−1)v−1 ∑ p|P (z) ω(p) p W (p) ∑ t|Pp+,z ω(t) t (χv(t)(1− χv(pt))) . Villkoret (Ω1) tillåter oss att bryta ut W (z), vilket avslutar beviset. Nästa steg i beviset av Sats 3.2 är att definiera talen zn, n = 1, 2, ..., r. Givet Λ > 0, som kommer specificeras nedan, väljer vi r som det minsta naturliga talet så att e−rΛ log z ≤ log 2. Det betyder att log 2 < e−(r−1)Λ log z samt att e((r−1)Λ)/2 < √ log z log 2 , (B.7) vilket är användbart nedan. Vi definierar zn enligt { log zn = e−nΛ log z, n = 1, 2, ..., r − 1, zr = 2. (B.8) Under dessa förutsättningar har vi följande egenskap hos W (z) [HR, s. 59]. Vi påminner om att λ och c1 introduceras i formuleringen av Sats 3.2. Lemma B.3. Med zn, n = 1, 2, ..., r är definierade som i (B.8) gäller det att W (zn) W (z) ≤ e2(nλ+c) för n = 1, 2, ..., r där c = c1 log z . Bevis. Under (Ω1) och (Ω2(κ)) gäller olikheten W (w) W (z) ≤ exp ( κ log log z logw + A2 logw ( 1 +A1κ+ A1A2 log 2 )) , 2 ≤ w ≤ z. Man kan visa olikheten med hjälp av partiell summation, men vi avstår från att göra det här utan hänvisar istället till [HR, s. 53-54]. Med definitionen av zn och c1 erhåller vi W (zn) W (z) ≤ exp ( κ log log z log zn + A2 log zn ( 1 +A1κ+ A1A2 log 2 )) = exp ( κΛn+ 2c1enΛ log z ) = e2c exp ( n ( κΛ + 2c1 log z enΛ − 1 n )) (B.9) 28 då n = 1, 2, ..., r − 1. Samma olikhet gäller för n = r, eftersom log z/ log 2 ≤ erΛ. Med elementära medel kan vi se att (ex− 1)/x är växande för x > 0. Med hjälp av definitionen för zn får vi därför enΛ − 1 n ≤ erΛ − 1 r ≤ erΛΛ rΛ ≤ ΛeΛ log z log 2 log(log z/ log 2) . Insättning i (B.9) och utbrytning av κΛ i den inre parentesen ger W (zn) W (z) ≤ e2c exp ( nΛκ ( 1 + 2c1eΛ κ log 2 1 log(log z/ log 2) )) . Eftersom z är tillräckligt stort kan vi anta att 2c1eΛ κ log 2 1 log(log z/ log 2) ≤ ε, där ε = 1/(200e1/κ). För Λ = 2λ/(κ(1 + ε)) får vi då att exp ( nΛκ ( 1 + 2c1eΛ κ log 2 1 log(log z/ log 2) )) ≤ e2nλ, så att W (zn) W (z) ≤ e2(c+nλ). (B.10) Lemma B.4 och B.5 nedan är centrala, vilket vi förstår när vi jämför (3.8) med ekvationerna i Sats 3.2. De återfinns som [HR, ekvation (2.4.12) och (2.4.21)]. Lemma B.4. För v = 1, 2, gäller det att ∑ d|P (z) µ(d)χv(d) ω(d) d = W (z) ( 1 + 2θ λ2b−v+2e2λ 1− λ2e2+2λ e(2b−v+4)c/λ ) , där |θ| ≤ 1 och c = c1/ log z. Bevis. Enligt Lemma B.2 är 1 W (z) ∑ d|P (z) µ(d)χv(d) ω(d) d = 1 + (−1)v−1 ∑ p2 ( 1− 1 (p− 1)2 ) ∏ 22 ( 1− 1 (p− 1)2 ) ∏ 21 Λ0(m). (B.30) Faktorn µ2(D) är egentligen redundant eftersom D | P (z), men det kommer vara användbart att behålla den. Vi undersöker nu den inre summan. Notera att m = p1p2n som ovan. Vi har villkoret (m,D) > 1, vilket vi kan skriva som (p1p2n,D) > 1. Vi vet från definitionen att p2 ≥ N1/3 > z, så de möjliga fallen är (p1, D) > 1 och (n,D) > 1. Vi byter summationsordning som i (B.28) och får ∑ m≤N (m,D)>1 Λ0(m) ≤ ∑ p1p2∈PN 1 log(N/(p1p2)) ∑ n≤N/(p1p2) (n,D)>1 Λ(n) + ∑ p1p2∈PN p1|D 1 log(N/(p1p2)) ∑ n≤N/(p1p2) Λ(n). (B.31) För den första summan kan vi notera att vi enligt definitionen av Λ har ∑ n≤x (n,D)>1 Λ(n) = ∑ p|D ⌊ log x log p ⌋ log p ≤ (log x)ν(D). Om vi sätter x = N/p1p2 ser vi att hela första summan kan begränsas av ν(D)|PN | ≤ ν(D)N 2/3. Vi byter nu summationsordning i andra summan i (B.31) och tar bort några av villkoren på p1, p2 för att få en begränsning av andra summan till ∑ n≤N Λ(n) ∑ N1/10≤p1