Det här verket har digitaliserats vid Göteborgs universitetsbibliotek och är fritt att använda. Alla tryckta texter är OCR-tolkade till maskinläsbar text. Det betyder att du kan söka och kopiera texten från dokumentet. Vissa äldre dokument med dåligt tryck kan vara svåra att OCR-tolka korrekt vilket medför att den OCR-tolkade texten kan innehålla fel och därför bör man visuellt jämföra med verkets bilder för att avgöra vad som är riktigt. Th is work has been digitized at Gothenburg University Library and is free to use. All printed texts have been OCR-processed and converted to machine readable text. Th is means that you can search and copy text from the document. Some early printed books are hard to OCR-process correctly and the text may contain errors, so one should always visually compare it with the ima- ges to determine what is correct. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 C M Rapport R126:1979 Geoteknisk riskbedömning Etapp 1: Statistiska metoder tillämpade på svensk geoteknik Lars Olsson Håkan Stille Byggforskningen ïiXNISKA rfQi.. 'JIAN i LUND SEKTIONEN fOk VXG. OCH VATTEN mmmm RI 26:1979 GEOTEKNISK RISKBEDÖMNING Etapp 1: Statistiska metoder tillämpade på svensk geoteknik Lars Olsson Håkan Sti 1 le Denna rapport hänför sig till forskningsanslag 760942-4 från Statens råd för byggnadsforskning till Institutionen för jord- och bergmekanik, Tekniska högskolan, Stockholm I Byggforskningsrådets rapportserie redovisar forskaren sitt anslagsprojekt. Publiceringen innebär inte att rådet tagit ställning till åsikter, slutsatser och resultat. R126:1979 ISBN 91-540-3124-9 Statens råd för byggnadsforskning, Stockholm LiberTryck Stockholm 1979 957860 INNEHÅLL FÖRORD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 SAMMANFATTNING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 SÄKERHETSBEGREPPET . . . . . . . . . . . . ...... 6 Dagens säkerhetsfaktor - ett beslutskriterium 6 Riskerna i samhället . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Osäkerheterna vid geotekniska beslut ...... 13 Alternativt beslutskriterium - Förlustrisken . 15 Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 TILLGÄNGLIGA RISKBERÄKNINGSMETODER . . . . . . . . 21 Fullständig statistisk analys - nivå 3 . . . . 22 Approximativa statistiska metoder - nivå 2 . . 23 Partial koefficientmetoden - nivå 1 25 Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 RISKBEDÖMNING MED BAYESIANSK STATISTIK .... 28 Inledning. . . . . . . . . . . 28 Sannolikhet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Bayes' teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Bayesiansk statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Bayesiansk statistik tillämpad på geotek- nisk osäkerhet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Sammanfattning och exempel . . . . . . . . . . . . . . 42 FORSKNINGSBEHOV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Bakgrund .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Bestämning av partial koefficienter och karakteristiskt värde . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Riskbaserade regler för användning av observationssystem och utförande av prov­ belastning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Bestämning av den professionella osäkerheten . 51 Upplysning om säkerhet och riskbedömning ... 51 Sammanfattning av forskningsbehovet ...... 51 LITTERATUR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 FÖRORD Denna rapport är första delen av ett BFR-projekt, som behandlar hur statistiska och probabilistiska metoder kan tillämpas inom geotekniken för att möjliggöra en riskbedömning. Rapporten har till syfte att ge den teoretiska bakgrunden till säkerhetsbegreppet och riskbedömningsmetodik. I det fortsatta projektet visas den praktiska tillämpningen. Denna rapport är uppdelad i fyra huvuddelar: SÄKERHETSBEGREPPET. Denna del ger synpunkter på dagens säkerhets- faktor samt påvisar och diskuterar alternativ. Den kan läsas relativt lätt. TILLGÄNGLIGA RISKBERÄKNINGSMETODER. Här ges en kortfattad orien­ tering om de metoder, som i dag används för riskberäkning. RISKBEDÖMNING MED BAYESIANSK STATISTIK. I detta kapitel redogörs för grunderna för så kallad bayesiansk statistik (Bayes 1763), och visas hur den kan användas vid riskberäkning. Kapitlet är något 1äroboksaktigt, men detta har bedömts nödvändigt, då lämplig svensk litteratur ej finns samtidigt som metodiken har uppenbara fördelar för geotekniken. FORSKNINGSBEHOV. Här redogörs för den forskning, som erfordras, speciellt med tanke på kommande normer. Stockholm augusti 1979 Lars Olsson Håkan Stille SAMMANFATTNING 5 I föreliggande forskningsuppgift har studerats den teoretiska bakgrunden till metoder för riskberäkning inom geotekniken. I kapitlet SÄKERHETSBEGREPPET påvisas att dagens säkerhetsfaktor ingalunda är ett entydigt mått på risken (= brottsannolikheten). Den måste i stället uppfattas som ett beslutskriterium, där beslutet gäller om man skall acceptera en geoteknisk konstruk­ tion etc eller ej. Beslutet måste fattas trots att man arbetar under stor osäkerhet. Denna osäkerhet delas upp i tre klasser, probabilistisk, statistisk och professionell, som alla bidrar. Dagens säkerhetsfaktor diskuteras sedan utifrån dessa aspekter och det konstateras att en övergång till ett system där man i stället för säkerhetsfaktorn använder risken som beslutskriterium ger mycket stora fördelar. Kapitlet TILLGÄNGLIGA RISKBERÄKNINGSMETODER ger en överblick av de metoder för beräkning av risken (eller något riskkorrelerat tal) som i dag används. Principerna för de olika metoderna anges, med speciell betoning på de metoder (nivå 2-metoder och partial koefficientmetoden) som kommer att föreskrivas i kommande svenska normer. Kapitlet RISKBEDÖMNING MED BAYESIANSK STATISTIK innehåller dels en diskussion av sannolikhetsbegreppet, dels en exemplifierad redogörelse för hur Bayes1 teorem och så kallad bayesiansk statistik kan tillämpas på geotekniska problem. Speciellt visas hur man génöm tillämpning av denna statistik kan ta hänsyn till de olika osäkerheterna, som råder och få fram en bästa riskupp­ skattning ur tillgängliga data som på ett stringent sätt kombineras med erfarenhetsvärden och subjektiva bedömningar. I rapportens avslutande kapitel, FORSKNINGSBEHOV, redogörs för de forskningsområden, som primärt behöver behandlas, för att partial koefficientmetoden skall kunna tillämpas inom geotekniken. Partial koefficientmetoden skall nämligen införas i kommande svenska byggnormer. Denna forsknings huvudfrågeställningar är: "Hur skall man utforma undersökningen (inklusive observations- system och provbelastningar) så att man når önskad tillförlit- 1ighet?" "Vilka krav måste ställas på analysmetod och beräkningar för att resultatet skall ha tillräcklig tillförlitlighet?" Det teoretiska underlaget för att lösa dessa frågor finns och forskningen bör därför inriktas på att uforma metodik för det praktiska arbetet. SÄKERHETSBEGREPPET P!§3ëD§_ säker hetsfa k tor - ett_beslutskriterium I den allmänna diskussionen om olika verksamheter, som upplevs som farliga, stöter man ofta på order "säker". Man hör uttryck som "säker", "helt säker" och "tillräckligt sä­ ker" . Redan häri syns tvetydigheten i begreppen: Om man, vilket ju är det vanliga, med "säker" avser att kollaps etc. etc. överhuvud­ taget inte kan inträffa, betyder ju "helt säker" identiskt samma sak att möjligheten~för skada inte existerar. Men så snart man börjar använda begreppet "tillräckligt säker" gör man en extremt betydelsefull, fastän sällan uttalad, ändring av innebörden i "säker". "Säker" betyder inte längre att någon viss skada omöjligen kan inträffa, utan att det är osannolikt men möjligt att den inträffat. "Tillräckligt säker" får då betydelsen: Händelsen ifråga kan visserligen inträffa, men det är så osannolikt, att den gör det, att vi kan acceptera denna sannolikhet. Ofta kallar man denna skadesannolikhet för "risk". Denna termino logi kommer att användas i det följande i denna rapport, alltså: Risken för en viss skada = P (skadan inträffar). P (skadan in­ träffar) betyder "sannolikheten för att skadan inträffar".) Det är väsentligt att notera, att människan är van att leva med risker både medvetet (t ex bilkörning) och omedvetet (t ex ris­ ken att huset man bor i rasar). I vissa fall upplevs till och med risken som önskvärd, i vissa sporter bl a där man frivilligt utsätter sig för risken, och där den ingår som en del av den upplevelse man eftersträvar. Vanligen är dock risken oönskad, det vore ju att föredra att t ex bilkörning vore helt riskfri, sä att inga skador inträffade Vilken ståndpunkt man skall inta i frågan om säkerhet blir fö1j- aktlingen beroende av om man överhuvudtaget kan uppnå total sä­ kerhet, dvs ett tillstånd där en oönskad händelse är helt el i - minerad. Att en oönskad händelse är helt eliminerad, betyder att sanno­ likheten för dess inträffande är noll P (brott) = 0. Kan detta uppnås vid geotekniska problem? Låt oss ta en enkel lerslänt som exempel: 7Mothållande moment = R-x-Z. Pådrivande moment = W-g-a Figur 1. Cirkulärcylindrisk glidyta Vid en s k c-analys med cirkulär cylindrisk glidyta antar man att brottet sker längs en yta som är en del av en (liggande) cy­ linder samt att skjuvhål1 fastheten T är helt mobiliserad över hela ytan. Ett tillräckligt stabi 1 itetsvi11 kor för den beräknade glidytan blir då: Mothållande momentet ^ Pådrivande momentet Genom olika åtgärder kan detta villkor uppfyllas t ex genom minsk­ ning av påförd last, flackare slänt etc etc. Det tycks alltså som om âet vore möjligt att ernå full säkerhet, dvs att skredsannolikheten = 0. Tyvärr är det inte så enkelt. Visserligen är det sant, att man kan beräkna stabiliteten för slänter och konstruera den så att stabi 1itetsvi11 koret är upp­ fyllt, men denna beräkning gäller den teoretiska slänten, den man ritat upp på papperet och inte den verkliga: Som skisserats i fig. la är det enda sambandet mellan den verk­ liga slänten och den teoretiska den högst individuella tolkning, som den aktuella geoteknikern gör. Vid denna tolkning vägs en hel rad faktorer in, t ex: • Val av brottmodell och följaktligen beräkningsmodell • översättning av mätdata till data för beräkning • Bedömning av inverkande, men ej uppmätta faktorer Figur la. Subjektiv verklighetsuppfattning Det val som träffas, är beroende av geoteknikerns erfarenhet av liknande fall där han gjort motsvarande bedömningar och "lyckats" resp "misslyckats". Även andras erfarenhet spelar in, men i så­ dana fall ar det ju någon annan som gjort bedömningen utifrån sin erfarenhet och sina andra bedömningsgrunder. Tolkningen av data påverkas också av en rad andra faktorer: • Riskovillighet • önskan att göra en billig konstruktion • Värden som står på spel osv. Alla dessa faktorer, som gör att sambandet mellan den verkliga och den teoretiska slänten blir osäkert och bundet till indi­ viduella tolkningar gör att man i stället för stabilitetskrite- riet för den teoretiska slänten Mothållande momentet >-, Pådrivande momentet använder ett acceptanskriterium för den verkliga slänten Mothållande momentet >F Pådrivande momentet "h där F kallas säkerhetsfaktor ( F > 1) Säkerhetsfaktorns uppgift är alltså att gardera mot de osäker­ heter som ligger i tolkningen mellan verkligheten och den antag­ na matematiska modellen för jordens egenskaper och uppträdande. 9Den är alltså inte ett direkt mått på hur stabil den verkliga slänten är annat än för det hypotetiska och aldrig uppnåeliga fall då man i varje punkt känner jordens egenskaper och dessutom enty­ digt kan beskriva brottmekanismen. Den skall i stället användas endast som ett beslutskriterium, när det gäller att acceptera el­ ler förkasta en verklig slänt. När säkerhetsfaktorn betraktas på detta sätt, dvs som beslutskri­ terium, inser man att om den ges "rätt" storlek kan den medföra att en del osäkerheter neutraliseras och att man därför kan använ­ da den praktiskt efter att den kalibrerats. Denna kalibrering har skett empiriskt genom att man med tiden fått erfarenhet från verkliga konstruktioner. Kalibreringen blir givetvis grov, då man tvingas arbeta med ett stort antal variabler samtidigt och inte kan upprepa försöken (dvs oftast verkliga konstruktioner). Användandet av säkerhetsfaktorn kan därför tolkas på följande sätt: "Om man gör en grundundersökning av sedvanlig omfattning och därur på brukligt sätt bedömer jordparametrarna och sedan använder dessa i en vedertagen beräkningsmetod och därvid finner att säkerhetsfaktorn är större än vad som vedertaget krävs, så kan konstruktionen accepteras. Om man upprepar detta för ett stort antal konstruktioner har man inte skäl att anta att de verk­ liga konstruktionerna skall vara instabil a i mer än ett litet antal fall." Genom erfarenhet har man alltså nått fram till ett läge där konstruktionerna misslyckas med en frekvens som är acceptabel, även om denna frekvens (brottsannolikheten) inte är direkt an­ given. Fyller då geoteknikens traditionella säkerhetsfaktor de krav man kan ställa på ett bra beslutskriterium? Kraven kan sammanfattas så: Den bör leda till mest ekonomiska lösningar utan att man för den skull utsätts för oacceptabla risker. Svaret måste bli nej av följande skäl: •Säkerhetsfaktorn måste täcka en s tor osäkerhet. Eftersom säkerhetsfaktorn behandlar ett genomsnittsfall med en sammansatt osäkerhet i data och beräkningsmetod finns det ingen möjlighet att direkt tillgodogöra sig en minskning av osäkerhe­ ten i det speciella fallet. Även om man subjektivt kan tjäna in en förbättrad grundundersök­ ning genom att man vågar åsätta högre hållfasthetsvärden, t ex täcker själva säkerhetsfaktorbegreppet inte in detta tillväga­ gångssätt förrän ny erfarenhet vunnits. •Risken är inte definierad. När man arbetar med säkerhetsfaktorn som beslutskriterium har man ingen uttalad risk som är acceptabel. Ofta arbetar man tvärtom under vanföreställningen att man är "helt säker". •Ekonomiskt betraktelsesätt är omöj­ ligt. Det är omöjligt att optimera en konstruktion eftersom skadeverk­ ningarna vid en eventuell olycka inte beaktas. Samma säkerhets- faktor används för likartade problemställningar oavsett antal människor i riskzon osv. •Begreppsmässigt svår. Vid inträffade skador har det ofta hänt, att man i efterhand vi­ sat att den "sanna" säkerhetsfaktorn var mindre än 1.0 och att skadan därför var förutsebar. Normalt torde det vara riktigt att en extensiv undersökning i de flesta fall kunnat förutsäga olyckan men detta synsätt torde vara fel. Om ett beslutskriterium används rätt är beslutet rätt. Däremot kan utfallet av beslutet vara det icke önskade, utan att för den skull själva beslutet var fel! Den väsentligaste anmärkningen torde vara den att man inte arbe­ tar med en definierad risk. Endast om man kan göra detta öppnar sig några möjligheter att gå vidare och att börja optimera kon­ struktioner, både i lokal (byggherrens) och mera global (sam­ hällets) synpunkt. Och av det föregående torde ha framgått att få konstruktioner är optimerade i dag. I optimeringen ligger givetvis inte bara ett krasst penningtän- kande. Först och främst måste man se till människoliv, men abso­ lut säkerhet går ej att få! Man får därför kanske göra så att man jämför nuvarande risker inom geotekniken med andra risker, allmänna och sådana förknippade med byggnadsverksamhet. Utgåen­ de härifrån kan man sedan kanske utveckla ett system med största tillåtna risker och därifrån optimera. Det finns relativt spar­ samt med data om brottfrekvensen inom det geotekniska arbets­ fältet. Ofta tiger man helst om inträffade skador eller bortser man helt från smärre skred i schakter osv. En sammanställning har gjorts av Meyerhof (1970) se fig. 2. 10 o!*- OVERALL SAFETY FACTOR (F.) LOG. LOG. CONC "'STEEL STRUCT V=0- LEGEND E = EARTHWORKS F = FOUNDATIONS R = EARTH RETAINING STRUCTURES v = COEFFICIENT OF VARIATION Fig. 2 Samband säkerhetsfaktor och brottrisk enl Meyerhof (1970). n Som framgår av denna figur arbetar man inom geotekniken med hög­ re brottsannolikheter än för den statiska konstruktionen. Dess­ utom framgår, att de säkerhetsfaktorer, som normalt används inte svarar mot samma brottsannolikhet för olika typer av arbeten. Bi§!s§ro5_i_§§!!!b§ll?5_ För att kunna få en uppfattning om storleken av de brottsannolik­ heter man arbetar med, måste man ha något att jämföra med. Männi­ skans förmåga att uppfatta och förstå små tal är nämligen be­ gränsad. För att förstå talen måste man ha erfarenhet och det ligger i sakens natur att man har svårt att få denna erfarenhet. En sannolikhet av 10-2(1/100) kan man kanske förstå men om sanno­ likheten blir 10~3 eller mindre torde det vara omöjligt att för­ stå den. De blir bara jämförelsetal och det är så man får arbeta. Man får alltså jämföra med kända sannolikheter och "gaffla" målet. Nedan ges i tabell 1 några brittiska värden på dödsrisk fördela­ de på olika orsaker (Ciri a Rep. 63 1977 ). Tabell 1 Comparative annual probability of death per 10000 persons Hours exposure/ annum Annual risk/10 000 persons Approx, annual risk/person Mountaineering (International) 100 27 10“I 2 Distant water trawling (1958-72) 2900 17 Air travel (crew) 1000 12 10~3 Coal mining 1600 3.3 Car travel 400 2.2 2 x 10“4 Construction site 2200 1.7 Air travel (passenger) 100 1.2 Home accidents (all persons) 5500 1.1 10~4 Home accidents (able bodied) 5500 0.4 4 x 10":' Manufacturing 2000 0.4 STRUCTURAL FAILURE 5500 0.001 10-7 All causes Male age 30 8700 13 10“3 (England and Wales) Female age 30 8700 11 (1960-1962) Male age 50 8700 73 Female age 50 8700 44 Male age 53 8700 100 10~2 Beträffande "structural failures" bör beaktas två saker: dels är materialet för litet för att vara statistiskt tillförlitligt, dels omfattas bara sådana fall där någon omkommit. Den verkliga siff­ ran för sannolikheten att en bärande konstruktion skall rasa (oavsett någon dör) är därför högre. Samtidigt måste man komma ihåg att orsaken till kollapsen i många av fallen varit vad som kallas "grova fel", dvs misstag i konstruerande eller utförande. Konstruktören kanske bortser ifrån ett avgörande belastningsfal1 eller entreprenören schaktar för djupt osv. I fig. 3 visas kurvor över frekvens (händelser/år) och antal döda/ händelse för naturliga och av människan orsakade händelser. 12 Omkomna/händ else Omkomna/händelse Fig. 3a Dödsfall p g a naturliga orsaker Fig. 3b Dödsfall p g a mänskliga aktiviteter En sammanställning av olika risker och samhällets inställning redo visas av Holmqvist (1978). Dödsrisk per år Exempel pä kategori Samhällsreaktion 1:100 eller 10~^ Biologisk totalrisk - 1:100 eller Kolbrytning Sällsynta riskområden, ome- 10"3 delbara åtgärder vidtas för deras reducering. 1:10 000 eller Trafiken, fritiden, Den viktigaste och vanligaste 10~4 arbetet nivån. Individen är villig att anslå pengar, särskilt andra skattebetalares, för att reducera risken. Lagar och inspektionsmyndig- heter finns. Propagandan har inslag av fruktan och egosim. "Det liv du kan rädda kan vara ditt eget". 1:100 000 eller Drunkning, kväv- 10'5 ning, plötslig förgiftning Samhällets intresse väsent­ ligt lägre, lagstiftning vag och utan sanktioner, propagandan är av allmän karaktär. 1:1 000 000 eller 10‘6 Biologisk brus- Samhället ointresserat (av nivå, t ex blixt, att t ex utrota getingar). getingstick Att dö av blixtnedslag be­ traktas som osannolik kurio­ sitet. Den, som ställt sig under eken, är "dum". 13 Osäkerheterna_yid_geotekniska_bes2ut_ Geoteknikerns arbete består till en stor del av beslutsfattande. Beslutet kan vara att välja grundläggningsmetod, att göra ytter­ ligare grundundersökningar, att inte bygga osv men det viktiga är att slutprodukten av verksamheten är ett beslut. Dessutom skall beslutet vara det bästa beslutet, där "bästa" är definierat genom beslutskriterier. Det stora problemet vid detta beslutsfattande är att det måste ske under osäkerhet. Vore allting helt känt är beslutsfattandet tri­ vialt. De osäkerheter, som finns i den geotekniska beslutsproces­ sen kan indelas i tre klasser • probabi1istisk osäkerhet t statistisk osäkerhet t professionell osäkerhet Probabi1istisk osäkerhet uppkommer av att naturen är stokastisk (slumpmässig), dvs att det finns en slumpmässig variation i t ex skjuvhållfastheten. Man kan visserligen mycket väl hävda att håll­ fastheten har ett bestämt värde i varje punkt, men det väsentliga är att vi inte kan mäta i varje punkt utan av praktisk nödvändig­ het måste uppfatta naturen som slumpmässig. Denna slumpmässighet kan beskrivas med statistiska mått, man kan t ex ange att skjuv­ hållfastheten inom området är normal fördel ad med medelvärdet 17 kPa och standardavvikelsen 3 kPa (Fig. 4)• Fig. 4 Normal fördel ad skjuvhålIfasthet På detta sätt har vi entydigt beskrivit skjuvhål1 fasthetens slump­ mässiga variation. För en viss skjuvhål1 fasthet kan man alltså ange sannolikheten att verkliga värdet är lägre. Den probabilistiska osäkerheten är alltså egentligen en följd av vår oförmåga att ange naturens egenskaper i varje punkt. Statistisk osäkerhet uppkommer genom att vi, när vi vill beskriva den probabil istiska osäkerheten endast har ett begränsat antal mätningar att utgå ifrån. Intuitivt inser man att ju fler prover man har, desto säkrare kan man uttala sig om den verkliga varia­ tionen. Om man har ett litet antal prover, finns det ett flertal olika fördelningar som är lika troliga, se fig. 5a. Om provantalet ökar minskar osäkerheten om vilken fördelning som är troligast, både till typ och parametrar (läges- och sprid­ ningsmått) se fig. 5b. 14 fit) I // \ \ s'' ~~ \ D. *0. J/ \ \ “ - " v r Figur 5a. Några tänkbara för- Figur 5b. Sannolik fördelning delningar vid få prov.(2 st) vid stort provantal. Professionell osäkerhet finns vid alla geotekniska beräkningar. Denna osäkerhet har inte med materialdata att göra utan med val av beräkningsmetod. Man är osäker på vilken metod som är represen­ tativ, tolkningen av mätvärden till de värden som skall användas i formlerna osv. Ett exempel på denna professionella osäkerhet är resultatet av en enkät av Stille (1978). Härvid skulle deltagarna ange rätt beräkningsformel för beräkning av en bank på lera, där ju flera alternativa brottfigurer kan tänkas. Alternativen visas i fi g. 6. I figuren anges också hur stor andel av de tillfrågade som ansåg respektive beräkningsmetod vara korrekt. Figur 6. Professionell osäkerhet. Bank på lera. (Stille 1979) Den professionella osäkerheten är som synes betydande även på ett så enkelt problem och måste alltså verkligen beaktas vid be­ räkningar. Metoder finns för detta, vilket kommer att illustreras i beräkningsexempel. 15 Att det finns en stor osäkerhet inom geotekniska beräkningar illustreras också av det kända försöket vid MIT, där 10 erkända geotekniker fick förutsäga uppfyllnadshöjden vid brott och sätt­ ningarna för en bank som uppfylldes på lera. Resultaten av förut­ sägelserna visas i fig. 7 (Hynes & Vanmarcke, 1975). Uppfyllnadshöjd vid brott (m) Figur 7, Professionell osäkerhet. Förutsägelser vid MIT-försöket. Alternativt beslutskriterium - Förlustrisken I det tidigare har risk definierats som sannolikhet för skada. Denna definition behålls framgent, bl a för att passa in i gängse språkbruk i svenska byggnormer etc. Ofta är det dock inte denna risk man är intresserad av. Om man söker få fram ett system där man vill få den optimeringsmöjlighet som med konventionell säkerhetsfaktor saknas, måste man ha ett kriterium som har ett ekonomiskt mätetal. Ett sådant är produkten av skadesannolikheten och skadans kon­ sekvenser. Detta har tidigare framförts av författarna (Olsson & Stille, 1978) men då under beteckningen risk. För att som ovan sagts inte ha en annan definition på risk än den i Sverige an­ tagna kommer i fortsättningen denna produkt att betecknas för­ lustrisk. (Ekonomisk risk är en annan möjlig beteckning, men eftersom skadan kan innebära andra förluster än pengar, t ex människoliv, föredras beteckningen förlustrisk.) Detta tankesätt är intuitivt tilltalande, en skada med baga­ tell artade konsekvenser kan man acceptera att den händer ,medan en skada med stora (eller troligen stora men okända) konsekven­ ser "aldrig" får inträffa. "Aldrig" måste här ses som en finit sannolikhet, dock måste den vara så liten att den inte nämnvärt inverkar på den totala förlustrisk vi lever under. (Med de beteck­ ningar som anammats är dödsrisken en förlustrisk där konsekvensen = förlust av livet.) Man kan nu sätta upp ett kriterium för att en konstruktion skall anses säker: En konstruktion anses säker om dess förlustrisk kan accepteras. Givetvis är det så, att man inte direkt kan multiplicera ihop san­ nolikhet och t ex antal döda. Katastrofer och liknande händelser 16 måste vara mer sällsynta än vad en direkt proportional itet ger. Man får en kurva för accepterandet av förlustrisken, som är en funktion av förlusten. Ett enklare sätt är att ändra skadekonsek- vensen med en lämplig funktion så att man i beräkningarna använder en justerad konsekvens, som beaktar speciella omständigheter. Sådana kan vara stor förlust av människoliv, men också en jämförel­ sevis mindre förlust av pengar, om denna förlust kan sätta ett företag i konkurs. Om man i stället för den direkta konsekvensen använder den justerade fås det enklare uttrycket Förlustrisk = P (skada) x skadekonsekvens Ett exempel på dessa tankegångar återfinns i CIRIA Rep 63 (1977), där man inför "social criterion factors" som man dividerar anta­ let riskexponerade personer med (eller multiplicerar bassannolik­ heten med) : in which n is the average number of people within or near to the r structure during the period of the risk K is a social criterion factor, given in Table 3 for s various types of structure Pf,is the target probability of failure of the structure aue to any cause in its design life n^ is the design life of the structure in years Tabell 2 Social criterion factors (CIRIA Rep. 63) Nature of structure Ks Places of public assembly, dams 0,005 Domestic, office or trade and industry 0,05 Bridges LOO Towers, masts, offshore structures 5,0 Vid uppgörandet av denna tabell har man utgått från en basrisk och sedan beaktat sådana faktorer som om man frivilligt utsatt sig för risken, behovet av tillflyktsort, stora konsekvenser etc. -4Denna basrisk har satts till 10 , vilket man antagit vara den risk som man (i England) kan tolerera. Den är av samma storleks­ ordning som olycksfall i hemmet. Det bör observeras, att den för­ lustrisk man här talar om, dödsrisken, ses som ett samhällsproblem Man tar inga ekonomiska hänsyn. Vid konstruktionsarbete har man förutom konsekvenser i form av riskerade människoliv även ekonomiska konsekvenser. Dessa kan ses som varande av två slag: dels samhällets samlade förluster för denna verksamhet, dels förluster som är förknippade med ett speciellt projekt. 17 Förlusterna behöver inte nödvändigtvis vara orsakade av skador! Ett konservativt byggande med onödigt låg skadesannolikhet med­ för ju också förluster, fastän dessa inte är i iögonfallande. Det har därför föreslagits bl a av Stille (1976) att man som opti­ mal konstruktion väljer den där förväntad förlust blir minst, givetvis under bivillkoret att man även ur andra synpunkter är beredd att acceptera förlustrisken. Man får ett uttryck av formen Et = Ei + pf Ef där E = förväntad total kostnad E. = initial kostnad El = skadekostnad p.p = risk (brottsannolikhet) Med utnyttjande av denna princip får man ett instrument att balan­ sera olika tänkbara kostnader mot varandra. Man kan t ex väga bättre förundersökning (= mindre brottsannolikhet) med dess kost­ nader mot totala förlustrisken (pf EJ osv. Man har alltså ge­ nom användandet av förlustrisktänkandet fått en möjlighet att di­ rekt "få betalt" för bättre grundundersökningar, tillförlitligare beräkningsmetoder etc. Användandet av en förlustriskbaserad konstruktionsprincip ger även andra möjligheter. Förlustrisken är ju sammansatt av risken ( = brottsannolikheten) och förlusten (=skadekonsekvensen).. Man kan givetvis även operera med att minska konsekvenserna vid en given risk. Detta kan ske t ex genom att välja deformationståliga kon­ struktioner. Ett annat intressant alternativ är användandet av varningssystem, t ex skredvarnare. Detta förfarande, att göra ett optimalt val mellan olika kostna­ der, kan ses som en applikation av beslutsteori på geotekniska problem. Vid beslutsteoretiska överväganden har man, förenklat uttryckt, ett antal möjliga vägar att gå, som var och en ger ett resultat (utfall), som är beroende av "Naturen". Med "Naturen" avser man de förhållanden, som visar sig råda, men som är obe­ kanta när beslutet fattas. Tillvägagångssättet kan åskådliggöras med ett enkelt exempel: Man skall slå stödpålar till berg. Man vet att djupet till berg i området är antingen 10 eller 15 m, men man vet inte vilket djup som rådet på platsen. Skall man beställa 10 eller 15 m långa pålar? Beroende på vad djupet visar sig vara får de olika valen följan­ de utfall: _____________ ___ Vald xltgärd Naturen ao Slå 10 m lång påle a1 Slå 15 m lång påle 0 °Djupet är 10 m Ingen förlust Pålen måste kapas. Förlust 25 enheter ®1 Djupet är 15 m Pålarna måste skarvas Förlust: 100 enheter Ingen förlust Figur 8a. Betalningsmatris Ofta återger man alternativen i form av ett så kallat beslutsträd o -25 -100 O Om man, förutom tänkbara åtgärder och möjliga förhållanden q, även känner sannolikheten för att respektive 8 skall vara det verkliga, kan man fatta ett optimalt beslut. Man väljer då det som har minsta förväntade förlusten min 9 -p(en). Antag t ex att man av erfarenhet bedömer att sannolikheten för att djupet till berg är 10 m är 0-3, dvs p (6 ) = 0.3 och p (6,) = 0.7. Beslutsträdet får då följande utseende°med utsatta förväntade förluster E^.: Et - 0 . 0.3 = 0 Et = -25 . 0.7 = -17.5 Et = -100 . 0.3 = -30 Et = 0 . 0.7 = O Figur 8c. Fullständigt beslutsträd I detta fall bör man alltså välja att beställa 10 m långa pålar, eftersom man med den tillgängliga informationen då får den mindre förväntade förlusten (0 - 17.5 = -17.5). Beslutsteorin kan sedan utvidgas så att man kan bedöma värdet av ytterligare information, dvs värdet av åtgärden an = bättre grund­ undersökning.. ( I detta fall bättre kunskap om djupet till berg.) Sammanfattning En övergång från dagens säkerhetsfaktor till ett system där ris­ ken eller förlustrisken används som beslutskriterium ger alltså många fördelar. Figur 8b. Beslutsträd • Man får möjlighet att beakta och diskutera varje osäker del i beslutsprocessen for sig,vilket gör det möjligt att optimera sina insatser vad gäller konstruktionsarbetet • Man får en möjlighet att direkt beakta konsekvenserna av en skada. Ur samhällets synpunkt torde detta främst komma att gälla personskador men för enskilda byggherrar kan det givet­ vis bli aktuellt att beakta även rent ekonomiska konsekvenser. övergången till detta tänkesätt är redan påbörjad i svenskt norm­ arbete. I kommande normer för bärande konstruktioner kommer man nämligen att övergå till riskbaserade metoder, antingen genom att man gör en analys av risken eller genom att man använder den så kallade partialkoefficientmetoden. (Dessa metoder beskrivs i avsnittet Tillgängliga riskberäkningsmetoder.) Av geotekniskt intresse är, att jord och berg i dessa normer betraktas som en del av konstruktionen. Man kommer alltså i framtiden i svensk geoteknik- att :arbeta enligt samma riktlinjer som gäller för övrigt konstruktionsarbete. I Danmark och Norge finns motsvarande tendenser. I Danmark är den gällande grundläggningsnormen baserad på partialkoefficienter och i Norge arbetar Norska Geotekniska Föreningen på "sikkerhets- prinsipper" som också är baserade på partialkoefficientmetoden. Även i övriga utlandet finns ett stort intresse för riskanalys inom geotekniken, speciellt kanske inom offshore- och jordbäv- ningsområdena. Ett slutligt påpekande bör göras: Ett "rätt" beslut behöver inte nödvändigtvis medföra att resultatet (utfallet) blir det önskade. Med "rätt" menas ett beslut fattat i enlighet med något accepte­ rat beslutskriterium, t ex en norm eller ett ekonomiskt optime­ ring skriterium. I normer etc har man ju de facto inte helt uteslutit möjligheten av skador, man har bara gjort den så liten att det är osannolikt att skador inträffar. En enstaka skada behöver därför inte inne­ bära att beslutskriteriet är fel om det har följts i det aktuel­ la fallet. Följande exempel brukar ibland användas för att påvisa att ett beslut kan vara rätt även om utfallet blir fel: Antag att man erbjuder följande vad: Du skall singla slant 10 gånger i följd. Om Du inte får upp klave minst en gång har Du förlorat och får betala 1 krona. Om Du däre­ mot får upp klave en eller flera gånger har Du vunnit och tår då 1 000 kronor. Skall Du anta vadet? Låt oss anta att Du accepterar vadet och får upp krona 10 gånger i följd och alltså förlorar. Var då beslutet att anta vadet fel- 20 aktigt? Skulle Du trots utfallet anta vadet igen om det erbjöds Dig? 21 TILLGÄNGLIGA RISKBERÄKNINGSMETODER På senare år har ett omfattande arbete gjorts runt om i världen för att utveckla beräkningsmetoder där hänsyn tas till risk. Merparten av arbetet har gjorts inom byggnadsstatiken och därför är metoderna inte alltid direkt lämpade' för geotekniken med dess speciella förutsättningar. Även i Sverige arbetas med detta och det bör en än gång påpekas, att framtida normer kommer att vara mer eller mindre riskbaserade. Metoderna brukar indelas i tre ni­ våer, där skillnaden mellan nivåer bl a ligger i hur fullständig den statistiska analysen är. Definitionerna av de tre nivåerna har varit något varierande. Vid en workshop 1976 (Dialog) angavs den nordiska uppfattningen vara följande: Nivå 1: "Semi-probabi1istisk" med karakteristiska värden och mul ti pl i kations faktorer. Nivå 2: en interpolering mellan nivåerna 1 och 3, men inte helt definierad. Associeras ofta med andramomentets statistis­ ka metoder. Nivå 3: fullständig sannolikhetsteori, modellers händelser och sannolikhetsfördelning hos ingående variabler. En tydligare definition är den som föreslagits av the Sub-Com­ mittee on First Order Reliability Concepts for Design Codes of the CEB-CECM-CIB-FIP-IABSE Joint Committee on Structural Safety: Nivå 1.: en designmetod vid vilken tillämplig säkerhetsnivå fås på (konstruktiva) elementnivå, genom att ett antal partiel­ la säkerhetsfaktörer föreskrivs, vilka är relaterade till något i förväg definierat karakteristiskt värde på bas­ variablerna. Karakteristiska värden ges som en funktion av medelvärden, variationskoefficienter och fördelningstyp. För givna karakteristiska värden, kan de partiella säkerhetsfaktö­ rerna härledas från nivå 2, beroende på graden av säker­ het och variationen hos basvariablerna. Nivå 1 metoder kan göras identiska med nivå 2 metoder om säkerhetsfak­ törerna är kontinuerliga funktioner av basvariablernas medelvärden och varianser och av säkerhetsindex. Existe­ rande nivå 1 metoder ersätter dessa kontinuerliga funk­ tioner med diskreta värden på faktorerna. Nivå 2: en designmetod som innehåller säkerhetskontroll för bara en utvald punkt (eller punkter) på brottgränsen (sådan den definieras av tillämplig gränstillståndsekvation), snarare än en kontinuerlig process, som vid nivå 3. En nivå 2 metod innefattar att denna kontrollpunkt identi­ fieras med en lämplig algoritm och att brottgränsen idea­ liseras i det området. Säkerhetsnivåer kan definieras ge­ nom säkerhetsindex eller ekvivalenta "operationella" san­ nolikheter på motsvarande sätt som för nivå 3-metoder. Nivå 3: säkerhetskontroll baserad på en "exakt" probabilistisk analys för hela stomsystem och som använder fullständiga 22 fördelningar, med säkerhetsnivåer som är baserade på överenskomna brottsannolikheter, vilka tolkas som rela­ tiva frekvenser. Nedan följer en kortfattad beskrivning av metoderna. Den som är intresserad av ett fördjupat resonemang hänvisas till CIRIA Rep. 63 (1977)- En svensk genomgång av främst nivå 2 metoder återfinns i Åkerlund (1974 ). Fullständig_statistisk_analys_- nivå 3_ Detta är den mest fullständiga metoden men den innehåller många teoretiska och numeriska svårigheter. Metoden torde knappast kom­ ma till användning som rutinmetod, men är intressant dels som kalibreringsmetod för de förenklade metoderna, dels för stora projekt (t ex offshore) eller där man vill optimera en konstruk­ tion på beslutsteoretiska grunder. Geotekniska beräkningar ger en del speciella problem. Dessa orsakas främst av det begränsade antalet prov och av osäkerheten i beräkningsmodellen. Av dessa skäl förordas användandet av s k bayesiansk statistik. Teorin för denna och exempel på användningen ges i kapitlet "Riskbedöm­ ning med bayesiansk statistik". Brottsannolikheten (risken) beräknas som sannolikheten att mot- hållande krafter är mindre än pådrivande. Detta görs bäst genom att man först tecknar det allmänna uttryck g(R,L) £ 0 som be­ skriver brottvillkoret, där R är mothållande krafter och L är pådrivande krafter. Därefter sätts aktuella värden på ingående variabler in i uttryck­ et g(R,L). Brottsannolikheten blir då sannolikheten för alla kombinationer av R och L, som uppfyller brottvillkoret g(R,L0. Genom att sedan införa alla osäkerheter, inklusive den professio­ nella, får man en bästa uppskattning av risken: \rott= P( X'9(R,t)lO ) där X är bästa (bayesianska) uppskattning av kvoten mellan sant varde och det beräknade värdet och R resp L är bästa uppskatt­ ningar av mothållande resp pådrivande krafter. (Givetvis ingår oftast en del parametrar, som inte har någon osäkerhet, d.v.s är deterministiska). Den sökta sannolikheten motsvaras av den skuggade ytan i figur 9. Figur 9. Brottsannolikhet 23 Ibland uttrycker man mothållande krafter och laster separat och för ett uttryck för brottsannolikheten av formen Pbrott ■ P(R £0 vilket kan återges grafiskt som i figur iq. Figur 10. Brottsannolikhet Brottsannolikheten ges i detta fall av: P(brott) = ff fL(x) fR(y) dx dy x>y Sannolikheten för brott (risken) och vär uppskattning är inte ett fixerat värde utan ändras om vi får mer information. Man får alltså ett ändrat värde på risken, om man uppdaterar någon av de ingående stokastiska variablerna. Sådan uppdatering kan göras t ex på basis av ytterligare provtagning. Om observationer av hela kon­ struktionens uppförande finns, t ex genom lastmätningar, kan den professionella osäkerheten (genom stokastiska variabeln X) upp­ dateras. Genom tillämpning av beslutsteori fås möjlighet att optimera ett mätprogram så att man får "bästa utdelning" i form av minskad osäkerhet. ApproxiïËÏlva.statistlsk^metoder - nivå 2 Dessa metoder torde bli de metoder som föreskrivs t ex i kommande svenska normer, som alternativ till Nivå 1 metoder (partial- koefficientmetoden). Nedanstående beskrivning avser endast att belysa principerna och går inte in på en del problem som ofta förekommer och som gör att en mer avancerad form av metoden krävs. Se Ciria Rep. 63 (1977) och/el 1 er Åkeri und (1974). a) definiera brottgränstillståndet i basvariabler b) beskriv basvariablerna med följande statistiska mått: medel­ värde, standardavvikelse och möjligen fördelningsform c) bestäm den punkt på brottgränsen där,(eller nära den punkt där) det är troligast att brott inträffar (punkten kallas vanligen designpunkt) d) linéarisera brottgränsen vid designpunkten och uppskatta konstruktionens tillförlitlighet, antingen som säkerhets- index B eller som en sannolikhet. Om man konstruerar för att nå en viss tillförlitlighet varierar man en parameter 24. (t ex en dimension) tills man når önskad tillförlitlighet. Ett exempel (hämtat ur Ciria Rep. 63) kan tjäna till att klar­ göra förfarandet. Exempel : Betrakta en dragen cylindrisk stång. Den funktion, som definierar brottgränsti11 ståndet kan tecknas: TT d^ . a. 4 d = stångens diameter ab stångens brotthållfasthet basvariabler P = lasten på stången Om endast d och a. antas vara variabler och P är en känd, konstant last beskriver ekvationen Z=0 en kurva i a,-d-planet. Denna kur­ va skiljer det säkra området från brottområdet (Z<0). Basvariablerna d och ab antas ha följande statistiska fördelning­ ar: d normal fördel ad med medelvärde 30 mm och standardavvikelse 3 mm 2 normal fördel ad med medelvärde 290 N/mm och standardav­ vikelse 25 N/mm2 I fig. Z = 0 11 visas en del av brottgränslinjen för P =100 kN, d.v.s 4 P _ 400. 4 °b " 1 d! “ U d2 Skalorna längs d- och o.- axlarna har valts så att en standardav­ vikelse av d (3mm) har samma längd som en standardavvikelse av standardavvikelse­ enhet /a. i.o Säkert om- Brottområde Z<0 råde Z>0 d tm/nj Figur 11. Brottgränslinje. Designpunkt. 25 Under dessa villkor är linjen från medelpunkten (30, 290) till designpunkten på brottgränslinjen normal mot denna och avståndet från medelpunkten har sitt minimum. Detta avstånd, mätt i stan­ dardavvikelseenheter, kallas säkerhets index ß. Ingenting hindrar att man har flera basvariabler eller en mer komplex funktion Z = 0, som beskriver brottgränsen. Funktionen kan omfatta flera bärande enheter och även omfatta flera brott­ mekanismer. Det är även möjligt att kompensera för osäkerheter i den matema­ tiska modellen genom att som en variabel införa kvoten xm mellan observerade och beräknade värden med dess medelvärde och standard­ avvikelse. Avståndet mätt i standardavvikelseenheter från m till Z = 0, d.v.s säkerhetsindex 3, kan vid vissa av nivå 2-zmetoderna ses som kvoten mellan medelvärdet och standardavvikelsen för Z. Se figur 12. Z< 0 Safety Figur 12. Säkerhetsindex 3 Under vissa förutsättningar, nämligen att Z är en linjär funktion av basvariablerna och att dessa är normal fördelade kan brottsan­ nolikheten som är förknippad med ett visst 3 lätt beräknas som $ (-3) där $ betecknar normal fördel ningen. Partialkoefficientmetoden_-_nivå_l_ Den metod, som torde bli den mest använda vid dimensionering en­ ligt kommande svenska normer är en nivå 1-metod, partial koeffi­ cientmetoden. Den torde bli rutinmetoden och de mer komplicerade metoderna lär användas främst för kalibrering samt i viss mån för sådana projekt där säkerhetsnivån är av kritisk betydelse eller där man vill optimera. Partialkoefficientmetoden har följande principiella uppbyggnad: Laster och materialegenskaper uttrycks genom så kallade karak­ teristiska värden. Dessa omformas till dimen­ sioneringsvärden genom att karakteristiska vär­ dena för lasterna multipliceras och för materialegenskaperna (främst hållfasthet) divideras med en p a r t i ä 1 k o ef­ ficient för last respektive hållfasthet. 26 Sedan kan bärförmågan R och lasteffekten S tecknas som funktion av dimensioneringsvärdena. Villkoret blir då S - R Karakteristiska värden brukar oftast avse en bestämd fraktil (t ex 5- respektive 95-percentilen) av hållfasthetens respektive lastens statistiska fördelning. Partialkoefficienternas uppbyggnad bestäms i normer och de kan ta hänsyn till olika osäkerheter och eventuellt även till kon­ sekvenser av brott. Som exempel visas här den i Statens planverks förslag (daterat 78-06-27) till Allmänna bestämmelser för bärande konstruktioner (AK 78) föreslagna uppbyggnaden av partialkoefficienter för materialegenskaper: "Partialkoefficient ym Genom ym tas hänsyn till - risken för att värdet på materialegenskapen avviker ogynnsamt från det karakteristiska värdet - osäkerheter i relationen mellan materialegenskaper i konstruk­ tionen och resultat erhållna vid materialprovning, dvs osäker­ heter i omvandlingsfaktorn eller omvandlingsrelationen enligt kap. 5 - osäkerheter hos storheter som beskriver mått och form i de fall dessa osäkerheter inte beaktas särskilt, se nedan - osäkerheter i beräkningsmodellen, såvitt den avser faktorer som är materialberoende - säkerhetsklass för aktuell konstruktionsdel Parti al koefficienter ym ges i konstruktionsbestämmelserna." Det är visserligen möjligt att välja partial koefficienter så att de svarar mot en bestämd brottsannolikhet eller ett bestämt värde på säkerhetsindex 8, men då måste de uttryckas som funktioner av basvariablerna och deras variationskoefficienter. För att kunna behålla enkelheten hos metoden och utnyttja fixa värden på partialkoefficienterna tvingas man därför acceptera att man för olika konstruktioner kan få olika tillförlitlighet. Bestäm­ ningen av lämpliga partialkoefficienter är därför viktig, så att man dels får en acceptabel tillförlitlighet för olika konstruk­ tioner, dels får ekonomiska konstruktioner. Väsentligt är bl a att partial koefficientmetoden inte leder till ändrade dimensio­ ner hos konstruktioner av vilka man har lång erfarenhet och kan betrakta som (sub-)optimala. Inom geotekniken är bestämningen av karakteristiska värden och även partialkoefficienter förknippade med speciella problem. Detta kommer att behandlas i avsnittet “Forskningsbehov". Sammanfattning Tre metoder finns för dimensionering och kontroll där man har en accepterad risk som bas: Nivå 3 Fullständig statistisk analys. Risken beräknas. Nivå 2 Förenklad statistisk analys. Ett riskkorrelerat säkerhets index ß används som kriterium. Nivå 1 Parti al koefficientmetoden. Risken beräknas inte. I stället söker man genom så kalla­ de karakteristiska värden och parti al koefficienter få en konstruktion som har en tolerabel risknivå. I praktiken får olika typer av konstruktioner olika risk. Samtliga metoder torde komma att användas inom geotekniken. Huvud sakligen blir det partialkoefficientmetoden, vilken kommer att bli rutinmetod. De övriga två kommer dels att användas i norm­ arbetet för bestämning av partial koefficienter, dels för projekt där optimering är väsentlig eller där man vill noggrant bestämma risken (nivå 3-metoden). RISKBEDÖMNING MED BAYESIANSK STATISTIK Inledning Som tidigare diskuterats, kommer normarbetet på det geotekniska området att kräva tillgång till statistiska analysmetoder. Dessa kommer givetvis också att användas vid analys av kvalificerade geotekniska problem. På grund av geoteknikens speciella förhållan den (litet provantal, empiriska beräkningsmetoder) kan s.k bayes­ iansk statistik ge vissa fördelar. I det följande kommer först begreppet sannolikhet och sedan bayesiansk statistik att behandlas. Användandet av statistiken på ett geotekniskt problem kommer slutligen att illustreras med ett exempel. Sannolikhet I rapportens inledande delar användes begreppet sannolikhet utan att närmare definieras. Detta var avsiktligt, eftersom tankegång­ arna där kunde följas med en intuitiv uppfattning om innebörden av sannolikhet. I det följande krävs dock att begreppet definie­ ras och diskuteras, eftersom det kan tolkas på olika sätt. De två definitioner av sannolikhet, som här kommer att diskuteras är den frekventistiska och den subjektiva. Det bör framhållas, att samma räkneregler för båda tolkningarna kan härledas ur samma axiom (Kolmogorovs axiomsystem). Kolmogorovs axiomsystem. Ett sannolikhetsmått P(*) är en funktion som åt händelser A, B etc i ett utfallsrum O tilldelar tal P(A), P(B) etc, kallade sannolikheten för A, B etc, så att följande axiom gäller: Axiom 1. 0 <_ P(*)< 1 Axiom 2. P(ß) « 1 Axiom 3. P(A U B) * P(A) + P(B) om A och B är disjunkta Ibland måste man ersätta axiom 3 med Axiom 3'. Om A, B, C,... är en uppräknelig följd av parvis disjunkta händelser, gäller att P(A U B(J C U ...)- - P(A) + P(B) + P(C) + ... Man brukar kalla ß och P(*) gemensamt för ett sannolikhetsrum (probability space). För att detta skall vara klart beskrivet har man också att ange för vilka händelser som P(*) är definierat. Antag att dessa händelser tillsammans kallas för -?7 dvs J~'år ett antal del­ mängder av ß . Då kan vi ge axiomsystemet en matematiskt sett något full­ ständigare beskrivning: Ett sannolikhetsmått P(*) är en funktion som åt var­ je händelse Ae ./"tilldelar ett tal P(A) osv. Det skall understrykas att de tre axiomen icke utsäger något i detalj om hur sannolikheterna skall väljas - det får, som redan sagts, avgöras från fall till fall. Axiomsystemet beskriver därför bara den allmänna strukturen hos en slumpmodell. ur Blom (1970) Den "klassiska", frekventistiska tolkningen av sannolikhet är de flesta bekanta med Antalet gynnsamma händelser " Totala antalet händelser 29 Korrekt definierat antalet elementarhändelser som utgör E ' ' ~ totala antalet elementarhändelser i utfallsrummet Œ- Det måste observeras, att definitionen talar om totala antalet elementarhändelser, inte om antalet händelser "i långa loppet". Man kan dock visa att om man upprepar ett försök n gånger och att om r är antalet händelser som E inträffade så gäller p[(— - P(E)) ^ e]->- 0 för n ■+■ <*> L eller i ord: sannolikheten att kvoten n skall skilja sig från den sökta sannolikheten med värdet e eller mer kan fås att gå mot noll om antalet försök är mycket stort. Problemet för geoteknikern är att man oftast inte är intresserad av denna sannolikhet som ju beskriver troliga utfallet av ett stort antal identiska försök. Även om alltså en frekventistisk tolkning är begreppsmässigt klar och tilltalande är det ofta så att den i praktiken inte är speciellt användbar, detta på grund av kravet på ett stort antal likadana prov. Man saknar oftast tillräcklig erfarenhet av t ex skred under jämförbara förhållan­ den för att därur kunna göra en "objektiv" (helt försöksbaserad) uppskattning av skredsannolikheten för dessa slänter. Oftast har man ju bara ett "försök", t ex en lerslänt och är intresserad av sannolikheten för att just denna lerslänt skall skrida. En möjlighet att komma förbi detta problem är att arbeta med sub­ jektiva sannolikheter. Ämnet är, åtminstone i statistiska fack­ kretsar, kontroversiellt, men användadet av denna typ av sanno­ likheter är accepterat och har stora fördelar. Denna subjektiva sannolikhet är dessutom den "sannolikhet" man använder i dagligt tal :"Sannolikheten att det skall snöa i morgon är 70%." Hur skall man då uppfatta en subjektiv sannolikhet? Ett sätt att tolka den är som mått på den tilltro man har till att en händelse skall inträffa, "strength-of-belief". En annan tolkning är den som ges av Tribus (1970): "an encoding of knowledge" sal 1 tså ett sätt att ge ett numeriskt värde på den totala kunskap vi har,som är relevant för händelser i fråga, eller mer lösligt uttryckt, vår erfarenhet. Man måste observera, att en subjektiv sannolikhet är något man åsätter en händelse, man kan givetvis inte mäta den. Vid åsättan- det måste man också följa de axiom (Kolmogorovs) som man har som bas för sitt räknesystem för sannolikheter. Givetvis kräver åsättandet av subjektiva sannolikheter mer än att man bara "tycker till" även om erfarna personer direkt kan ge ett relativt gott värde baserat på lång erfarenhet. Normalt krävs ett mera metodiskt förfarande och det finns flera alternativ. För en­ staka händelser används bl a • jämförelse med sannolikheten för händelser, som personen är kant med, ofta av typen sannolikhet för händelser i kortspel etc. Uttalandet "Det är troligare att jag kan säga vilket kort som ligger överst i en lek än att sponten rasar" betyder att P (sponten rasar) < 0,02. att ge odds för en händelse "Jag tycker att oddsen 15 till 1 att skjuvhållfastheten är större än 13 kPa är rätt" betyder 30 P (t > 13 kPa) = ——— - 0,94 15 + 1 att utnyttja s k ekvivalenta lotterier, där personen får väl­ ja mellan ett lotteri med givna sannolikheter och ett där händelsen ingår. Lotteri A Du vinner 100 kr med sannolikheten 0.1. Du vinner 0 kr med sannolikheten 0.9. Lotteri B Du vinner 100 kr om huset sätter sig mindre än 3 cm. Du vinner 0 kr om huset sätter sig mer. Genom att variera sannolikheterna i lotteri A kan man komma till det läge där personen inte föredrar det ena lotteriet före det andra utan de är likvärdiga. Då har man fått fram den subjektiva sannolikheten för den aktuella händelsen. När det gäller att få fram fördelnings- eller frekve.nsfunktioner brukar man använda en liknande metod. Man kan t ex ta fram det värde som det är lika troligt att det sanna värdet ligger över som under (50-percentilen) osv. Metodiken finns beskriven t ex av Baecher ( 1972). Ett exempel med geoteknisk anknytning redo­ visas av Folayan, Hoeg & Murarka (1970). Det måste observeras, att subjektiva sannolikheter inte utesluter användandet av prover. Det är endast ett sätt att tolka begreppet sannolikhet. Den väsentliga skillnaden mellan den frekventistiska och den subjektiva, icke-frekventistiska, uppfattningen är att man vid den icke-frekventistiska uppfattningen får åsätta sanno­ likheter på naturen. "Sannolikheten att det finns ett siltlager på denna plats är 80%" är ett uttalande som inte är acceptabelt vid den frekventistiska tolkningen ty enligt den uppfattningen måste man utgå från att det antingen finns ett siltlager (9=1) eller att det inte finns ett (P=0). Frekventistiskt anger man i stället sannolikheten att vid ett försök finna ett silt­ lager om det i verkligheten existerar "Sannolikheten att finna ett existerande siltlager med denna metod är 80%." Med hänsyn till den frekventistiska metodens inskränkningar torde den subjektiva tolkningen vara den som är mest lämplig inom geo­ tekniken, framförallt därför att den är praktiskt användbar, operationell (Winkler, 1972). Något som ytterligare talar för den subjektiva uppfattningen är att den kan kopplas med Baye's teorem, vilket kommer att beskrivas nedan. Då utnyttjar man möjligheten att utgå från en a priori- sannolikhet (a priori betyder här: före försöket) och sammanväga den med ett försöksutfall för att få en a posteriori-sannolikhet. De beskrivna metoderna för åsättande av subjektiva sannolikheter får då en mycket stor betydelse när det gäller att på ett strikt sätt tillvarata geoteknisk erfarenhet från liknande objekt och objekt i närheten. En gren av statistiken, som pä senare tid fått stor tillämpning bl a inom geotekniken är vad som lösligt kallas bayesiansk sta­ tistik. Den användes både för inferens och beslut och kan egent­ ligen användas oberoende av vilken tolkning man har av sannolik­ het. I praktiken har det dock blivit så att man med bayesiansk statistik avser statistik där man utnyttjar Bayes'teorem kombine­ rat med subjektiv sannolikhetstolkning. Nedan kommer att ges en kortfattad redogörelse för de viktigaste dragen, ytterligare in­ formation kan lämpligen hämtas ur Benjamin & Cornell (1970) eller Ang & Tang (1975). Betrakta n st ömsesidigt uteslutande händelser E], E2 ... En som tillsammans fyller upp hela utfall srummet, dvs endast en av hän­ delserna kan inträffa men någon av dem måste inträffa. Bayes teorem ger svar på frågan: Om händelsen A har inträffat, vad är då den betingade sannolik­ heten att händelsen Ei också inträffar? Svaret är: P(A I E-j ) P(Ei ) P(Ei|A) = .......... P (A) dvs sannolikheten att E. inträffar om A har inträffat är lika med den betingade sannolikheten att A inträffar om E-j har inträffat multi­ plicerad med sannolikheten att Ej inträffar och dividerad med sannolikheten att A inträffar. Nämnaren kan även uttryckas som P(A) = E P (A I Ej) P(Ej) j=l Man får då följande lydelse på Bayes1 teorem. P(A 1 Ej) P ( E -j ) 2 P(A I E.) P(Ej) j=l ' J Om händelsen A betecknar utfallet av ett försök inser man lätt att Bayes’teorem kan användas för att uppdatera en sannolikhet: P(E-) är sannolikheten att E- skall inträffa innan försöket ut­ förts, a priori sannolikheten för E. . P(A|E-) är sannolikheten att händelsen A skall inträffa om Ej har inträffat, likelihood. P(E-1A) är sannolikheten för E- när A har inträffat a posteriori- sannolikheten för E^. P(Ei A) 32 Nämnarens funktion är att normera P(E-|A) så att denna blir en sannolikhet som uppfyller axiomen. Kravet på händelserna kvarstår, de måste vara ömsesidigt uteslutande och uppfylla hela utfallsrummet. Exempel : Provbelastning av pålar. För pålarna i ett projekt gäller att de konstruerats för en last av 60 ton vilket under normala förhållanden är tillräckligt. Under mycket extrema förhållanden kan pålarna komma att belastas med 90 ton. Baserat på sin erfarenhet, grundundersökningar och slagningsproto- koll, åsätter geoteknikern en sannolikhet av 70% på händelsen att en godtycklig påle kan bära 90 ton. Erfarenhetsmässigt vet han också att av provbelastade liknande pålar, som inte kunnat bära 90 ton, 60% gick till brott vid en last mindre än 80 ton. Geoteknikern vill förbättra sin uppskattning av sannolikheten att en påle kan bära extremlasten och låter därför provbelasta en påle till 80 ton. Vad är den nya sannolikheten att pålen kan bära 90 ton? Inför följande beteckningar: E] = pålen kan bära 90 ton Eg = pålen kan inte bära 90 ton A = pålen kan bära 80 ton vid provbelastningen  = pålen kan inte bära 80 ton vid provbelastningen Ur den givna informationen fås följande sannolikheter 8(8!) = 0.70 P(E2) = 0.30 P(A|Ei) = 1.0 (om pålen kan bära 90 ton kan den bära 80!) P(Ä |E2) = 0.60 P(A |E2) = 0.40 (av provbelastade pålar som inte_burit 90 ton har 40% burit 80 ton. Ges av P(Ä E2) = 0.60) Tillämpa Bayes' teorem på försöksresultatet (pålen bär 80 ton = A): P(Ei|A) = P(A |E1 ) P^) P(A|e1) P(E1) + P(A|e2) P(E2) 1 1.0 . 0.70 + 0.40 . 0.30 Sannolikheten att pålen skall bära lasten 90 ton har alltså ökat från 0.70 till 0.85 efter det att provresultatet erhölls. Villkoret för nämnaren är uppfyllt, händelserna E^ och E2 är ömsesidigt uteslutande och E] + E2 = 1. Likelihood är som sagts sannolikheten att få ett viss experiment­ resultat om en given händelse antas ha inträffat. 33 Ibland är experimentmetoden man använder inte 100°/ rättvisande. Uppfattningen om metodens tillförlitlighet kan då bakas in i likelihood. Likelihood är ju också en sannolikhet och den kan subjektivt åsättas, t ex enligt metoder som tidigare angivits. Följande exempel, idén hämtad ur Benjamin & Cornell (1970) får illustrera: Man önskar vid en ombyggnad utnyttja befintliga grundplintar på berg och behöver uppskatta använd betongkvalité i plintarna. An­ svarig ingenjör studerar plintarnas utseende och utgående från sin erfarenhet och plintarnas tidigare bärförmåga åsätter han följande a priori-sannolikheter för olika betongkvalitéer: Betongklass A priori-sannolikhet K 150 0,.3 K 200 0..6 K 250 0,.1 1.0 För att göra uppskattningen säkrare tänker man borra ur cylind­ rar och provtrycka dem. Ingenjören anser sådana prov relativt tillförlitliga men inte helt avgörande. Han åsätter därför prov- ningsmetoden tal, som återspeglar dess tillförlitlighet i form av betingade sannolikheter: P(testresultat/verklig hål 1 fasthet) Testresultat Hållfasthet K 150 K 200 K 250 (stöder antagandet K 150) 0.7 0.2 0 (stöder antagandet K 200) 0.3 0.6 0.3 (stöder antagandet K 250) 0.0 0.2 0.7 1 .0 1.0 1.0 Ett prov borras ur och provas och resultatet (med hänsyn till håll fasthetsti11 växt etc) stöder antagandet K 150, dvs man har observerat z-j. De ay provresultatet betingade sannolikheterna blir då enligt Bayes' teorem P (K 150 |z, ) = -----—°.:.7 °-3_______ __ = °-21 0.7 ' 0.3 + 0.2 ' 0.6 + 0.1 0.33 0.635 P(K 200 |z, ) = °^2. ■' °'6 = 0.365 0.33 P(K 250 |z, ) = °_ULi = o 0.33 Provresultatet har alltså uteslutit K 250 som en möjlig hållfast­ het och skiftat a priori-sannolikheten mot K 150, det värde som stöds av provet. Sammanfattning: 34 Ovan har visats hur man med Bayes' teorem kan väga samman en a priori-sannolikhet för en händelse med ett provresultat till en a posteriori-sannolikhet. Denna är en betingad sannolikhet, näm­ ligen en sannolikhet betingad av provresultatet. (Egentligen är också a priori-sannolikheten betingad, nämligen av all information som använts vid åsättandet. Man ser därför ibland den skriven t ex som P(A 11) och motsvarande a posteriori-sannolik- het som P(ä|T,I) där T är provutfallet. I denna rapport görs för enkelhetens skull avsteg frän detta skrivsätt.) §§Yë§i ans k_s tati.sti k_ I det föregående visades tillämpningen av Bayes' teorem. I det praktiska arbetet har man behov av att arbeta med stokastiska variabler och sannolikheter. En stokastisk variabel är en funktion som överför en händelse i ett utfallsrum till reallinjen. Stokastisk variabel X ■j-- «J Reallinje x Figur 13. Stokastiska variabeln X Eftersom ett visst värde på en stokastisk variabel representerar en händelse, kan den stokastiska variabeln anta detta värde med en viss sannolikhet. Den regel, som beskriver sannolikheten att den stokastiska variabeln X skall vara mindre än ett givet värde kallas dess fördelningsfunktion F^(x). P(X < x) = Fx(x) X kallas en diskret stokastisk variabel om endast vissa diskreta värden på x har en sannolikhet större än 0. Om det finns ett san- nolikhetsmått förknippat med varje värde på x kallas X en konti­ nuerlig stokastisk variabel. För en diskret stokastisk variabel X kan dess fördelningsfunktion också beskrivas av dess sannolikhetsfunktion, vilken helt enkelt uttrycker P(X =x) för alla x. Se figur 14. För en kontinuerlig stokastisk variabel kan man istället för för­ delningsfunktionen ange frekvensfunktionen f (x) anger inte sannolikheten att X skall anta värdet x. Däremot X ' 35 anger fy(x) dx sannolikheten att X skall ligga i interyallet x till x+Adx. Px<“i> Figur 14a. Fördelnings- (överst) Figur 14b. Fördelnings- (överst) och sannolikhetsfunktion för en och frekvensfunktion för en diskret stokastisk variabel. kontinuerlig (rektangelfördelad) stokastisk variabel. Ofta använder man sig av ett förkortat skrivsätt för fördelnings­ funktionen etc. Man beskriver funktionen med karakteriserande matt, parametrar. Exempelvis kan en typ av fördelningsfunktion, normalfördelningen, anges med de två parametrarna medelvärde och standardavvikelse. Precis som för händelser kan Bayes'teorem tecknas för stokastiska variabler. Detta görs via fördelningsfunktionens parametrar. Baye's teorem säger att a posteriori-sannolikheten för en para­ meter 0 är en produkt av tre faktorer (A posteriori- \ sannolikhet för] 0 , givet test- utfallet zk / fnormal i serandej \konstant / /likelihood för /provutfallet z,, givet 0 fa priori- \ I sannolikheten] I för 0 För det diskreta fallet I P(Zkl 9 = 04 ) P (9 = 04 ) P(9= 9, K) =F J p(zk 10 = 0i ) P(9 = ty 1.2 Man brukar använda beteckningarna P" och P' för a posteriori- respektive a priori-sannolikheterna. Ofta brukar man i formlerna- inte heller sätta ut den stokastiska variabeln. 36 Ovanstående formel blir då ■" (e.) p(zkK> ?, pUk I»1> p'<8i) 1=1 A priori och a posteriori avser liksom tidigare i förhållande till när ytterli gare information (provresultat) blir inkluderat. En a posteriori-funktion kan bli en a priori-funktion om nya prov tas, nämligen a priori den nya informationen. Exempel (ur Ang & Tang, 1975). Pålarna för en hög byggnad var ursprungi igen konstruerade för en last av 250 ton, men hänsyn hade inte tagits till sällsynta extrema vindlaster som kan öka pållasterna upp till 300 ton. Man önskar uppskatta konstruktionens säkerhet med hänsyn tagen till extremlasterna. Konsulterande ingen­ jören uppskattar att sannolikheten p att pålarna inte bär lasten 300 ton varierar mellan 0.2 och 1.0. Utgående från sin erfarenhet åsätter han en sannolikhetsfunktion på p, se fig. 15a. (Eftersom inga försöksresultat finns är detta en a priori fördel ning.) P'( P = Pj) 0,40 Figur 15a. A priorifördelning för p Utgående från teoremet om totala sannolikheten fås den uppskatta­ de sannolikheten för pålbrott vid en last av 300 ton: p = E(p1 ) = 0.2 * 0.3 + 0.4 • 0.4 + 0.6 ■ 0.15 + 0.8 • 0.1 + + 1 • 0.05 = 0.44 Man provbelastar en påle och finner att brott uppträder för en last som understiger 300 ton. Med detta provresultat uppdaterar man sedan sannolikhetsfunktionen för p: 0.2-0.3 + 0.4-0.4 +0.6-0.15 + 0.8-0.1 + 1-0.05 P"(P 0.4) = 0.06 0.44 0.4 • 0.4 0.136 0.44 0.364 37 P"(p = 0.6) = °-.6- P.:l5- = 0.204 0.44 P"(p = 0.8) = -°-'8- —-M- = 0.182 0.44 P"(p = 1) = — ■' °-05 - = 0.114 0.44 Den uppdaterade a posteriori-sannolikhetsfunktionen för p visas i fig. 15b. p" ( p = Pi) 0,364 0,204 0,182 0,136 Figur 15b. A posteriorifördelning för p Den uppdaterade bayesianska uppskattade brottsannolikheten blir p" = E(p|zk ) = 0.2 • 0.136 + 0.4 ■ 0.364 + 0.6 • 0.204 + + 0.8 ' 0.182 + 1.0 • 0.114 = 0.55 Om ytterligare pålar provas och visar sig inte kunna bära 300 ton kan a posteriorifunktionen ovan uppdateras. I Fig. 15c visas sannolikhetsfunktionerna för 2 resp 4 sådana provresultat. p"(p = Pi) p"(p = Pi> 0,2 0,4 Q6 080.2 0,4 0.6 08 1,0 Figur 15c. A posteriorifördelningar för p. (Flera uppdateringar). I många fall kan parametern anta kontinuerliga värden. Låt 0 vara parameterns stokastiska variabel. För det kontinuerliga fallet lyder då Bayes'ekvation: 38 f"(e; p (Zk'l 9) f (6) CO f P(zk! 6) f1 (0) de f" (9) är a posteriori frekvensfunktionen för 0 f (9) är a priori frekvensfunktionen för 0 är ett försöksutfal1 P (z k I 0 ) är den påg betingade sannolikheten eller sannolikheten att få försöksutfallet zk om parametern antas ha värdet 0. P( z, 1 6) är alltså en funktion av 0 och kallas ofta li­ ke! rhoodfunktionen för e och betecknas L (e). Nämnaren är oberoende av 0 , den är en normaliserande konstant som behövs för att f"(0) skall bli en korrekt frekvensfunktion. Formeln kan alltså skrivas f"(e) = k L (e) f (e) där k = [ J L(e) f1 (@) df1 och oo L(e) = likelihoodfunktionen, sannolikheten att få försöksutfallet om man antar ett givet Som estimator av parametern använder man ofta väntevärdet av 0. Den uppdaterade estimatorn blir alltså oo 0" = E(01 zk) = / e f" (0) d0 CO Exempel (Från Ang & Tang, 1975): Samma pålar som i förra exemplet, men nu antas att sannolikheten p (att pålen inte kan bära lasten) är en kontinuerlig stokastisk variabel. Man antar i detta fall en rektangelfördelning på p, en s k diffus a priorifördelning: f'(p) = 1 0 ^ p ^ 1 Om man bara provar en påle, är likelihoodfunktionen lika med sannolikheten för händelsen zk=(pålen bär ej 300 ton), vilken ju är lika med p. A posterionfördel ningen blir då enligt ovan f"(p) = kp • 1.0 0 - p - 1 1 där k = C/ p dpi = 2 o f"(p) = 2 • p • 1.0 = 2p 0-p-l Bayesianska estimatet av p blir 1 p" = E(p|zk) = / p • 2p dp = 0.667 o Om man testar n stycken pålar, av vilka r går till brott för en last som är mindre än 300 ton blir likelihoodfunktionen just sannolikheten att få r brott vid n försök. Om brottsannolikheten för varje påle är p, och statistiskt oberoende antas mellan pålarna, blir 1 i kelihoodfunktionen 39 L(P) = (?) Pr (1 - p) n-r Med den antagna diffusa a priorifördelningen blir a posteriori- fördelningen av p f"(p) = k(") pr (i-P)n_r i 0 -------- n + 2 n för stora n Ofta är beräkningen av a posteriori-fördelningen förknippad med matematiska svårigheter, när det gäller att beräkna konstanten k =[ / L(0) f1 e dej-1 »co I bland går det att lösa den analytiskt. Detta är fallet om man använder så kallade konjugerade a priorifördelningar. När man gjort ett antagande om fördelningen hos den underliggande popu- lationen, t ex att den är normal fördel ad, är likelihoodfunktio- nen entydigt bestämd. Det finns då för vissa 1 ikelihoodfunktio- ner sk konjugerade fördelningar, vilka, om de kan accepteras som a priorifördelningar för 9, ger a posteriorifördelningar för 0 av samma familj. Om t ex den underliggande (datagenererande) processen är Bernoulli blir 1 ikelihoodfunktionen binomial. Om man då. väljer en beta-fördelning som a priorifördel- ning för Bernoulliprocessens parameter p, blir också a posteri orifördel ningen för denna parameter en beta­ fördelning. Betafördelningen är alltså en konjugerad fördelning till en Bernoul1 iprocess. Om man inte kan hitta (eller acceptera) en konjugerad fördelning kan beräkningarna ibland underlättas om man ersätter den kon­ tinuerliga fördelningen med en diskret (Winkler, 1972). I varje fall kan man alltid lösa problemet genom numerisk integ­ ration, t ex med datamaskin. 40 Bayes i ansk_stat i stik_ti11ämpad_på_geotekni sk_osäkerhet I geotekniken vill man vanligen göra uttalanden om en stokastisk process (ekvivalent med en population) eller fatta beslut om åtgärder, där beslutet är bero­ ende av processen. Exempelvis kan jordens skjuvhåll- fasthet i en slänt betraktas som en sådan process och beslutet kan gälla behovet av förstärkningsåtgärder. Naturens stokastiska egenskaper kan analyseras om naturen be­ traktas som en stokastisk process som genererar en följd X,, 1^-■■ av oberoende stokastiska variabler, som har samma fördelning fx(x). Dessa stokastiska variabler kan t ex vara jordens håll­ fasthet i olika punkter. Vi antar tills vidare att vi känner for­ men på den gemensamma fördelningen men inte dess parametrar 0, om vi 1 k a vi är osäkra. I likhet med det "ingenjörsmässiga" betraktelsesättet på sanno­ likheten för händelser, betraktar vi dessa parametrar också som stokastiska variabler. Detta är liktydigt med att vi uttrycker vår osäkerhet om parametrarna genom att säga att parametrarna själva följer en fördelningsfunktion. I den klassiska statistiken intar man en annan ståndpunkt: Parametrarna har ett konstant värde, men detta är okänt för oss. Man uttrycker där sin osäkerhet t ex i form av konfidensinterval1 som dock inte talar om osäkerheten i parametern utan i metoden att bestämma den. För att kunna utnyttja bayesstatistiken är det dock bättre att inta den subjektiva, mer operationella inställningen. Man kan då direkt utnyttja tidigare angivna metoder för att uppdatera parameterns fördelning. Ibland är det parametervärdet som är av intresse, man vill kanske arbeta med t ex sanna medelvärdet av skjuvhålIfastheten i jord­ volymen. I ett annat fall kan t ex det minsta skjuvhållfasthets­ värdet vara det bestämmande. Parameteruppdateringen sker på samma sätt som beskrivits tidigare, för det diskreta respektive det kontinuerliga fallet. Val av a priori-fördelning för parametern sker enligt samma prin­ ciper som tidigare diskuterats men man kan förutse större svårig­ heter eftersom det inte är lika lätt att åsätta en a priori- fördelning på t ex en varians som på t ex en händelse. Genom att använda det subjektiva betraktelsesättet kan man härleda en fördelning, som tar hänsyn till den statistiska osäker­ heten och bakar in den. Om man anser att parametrarna 0 för den stokastiska variabeln X själva är stokastiska variabler kan man utgående från en sammansatt fördelning (compound distribution) definiera en ny fördelning av X: ?x(x) = f fx(x|0) f0(0) de Detta är den bayesianska fördelningen av X till skillnad från modell fördel ningen av X, fx(X;0) (Benjamin & Cornell, 1970). Man kan tolka den som ett Vägt medelvärde av alla fördelningar fX(x16). som är tänkbara med olika värden på parametrarna 0 . Para- 41 metrarna 0 finns inte med i fördelningen f^(x), eftersom de integrerats ut. Den bayesianska fördelningen kallas ibland pre- diktionsfördelningen (Winkler, 1972, Zellner, 1971). Namnet kommer sig av att den kan användas för att göra förutsägelser ("predictions") om ännu inte observerade värden på den stokastiska variabeln. Beroende på om fördelningen av 0, fg(9) är en a priori- eller en a posteriorifördelning kan man tala om en a priori-fördelning f'x(x) eller en a posteriori-fördelning f"x(x). Vartefter man får mer data och uppdaterar fg(9), närmar man sig den sanna fördel­ ningen för X, eftersom fördelningen fn(e) koncentreras kring parameterns, sanna värde. I allmänhet har den bayesianska för­ delningen fx(x) en större spridning än den sanna fördelningen fx(x), eftersom den bayesianska omfattar såväl den inneboende probabilistiska osäkerheten som den statistiska. Den bayesianska fördelningen kan , som nämnts, uppdateras. Man kan dock inte uppdatera den direkt, utan man måste uppdatera parameterfördelningen fg(9) och först därefter beräkna en ny, uppdaterad bayesiansk a posteriorifördelning. Om man har försöksresul tat Z(t ex mätvärdena X-], X? ...,Xn) så får man följande uttryck för den uppdaterade fördelningen: f"x(x) = / fx(xl0) f0 (0) de = / fx(xi e)N L (e] z) f'Q(0) de Man måste för att kunna göra uppdateringen alltså känna såväl modell fördel ningen som parameterfördelningen. Man kan alltså delvis ta hänsyn till den statistiska osäkerheten genom att använda den bayesianska fördelningen för en stokastisk variabel, en fördelning som alltså innehåller den osäkerhet, som betingas av ett litet provantal. Men den statistiska osäkerheten omfattar ytterligare ett element Man är ju osäker även på vilken fördelning som är den rätta, modell osäkerheten. På senare tid har det framkommit metoder att ta hänsyn även till denna osäkerhet. Detta görs, genom att man arbetar med en bayesiansk modell, som är sammansatt av olika modeller. Principen är analog med den som användes för att ta hänsyn till parameterosäkerheten. Man inför (som ytterligare en parameter) sannolikheten att en viss modell, normal, log-normal etc, är den rätta. Man får sedan en fördelning, som är sammansatt av de bayesianska fördelningarna, viktade med sannolikheter att respektive för­ delning är den rätta. Dessa sannolikheter kan uppdateras om yt­ terligare information blir tillgänglig. För ytterligare detaljer hänvisas till 1 itteraturen, t ex Wood (1974). 42 För att man skall kunna göra en relevant beräkning av brottsanno­ likheten, måste man kunna ta med den professionella osäkerheten, dvs den osäkerhet som uppkommer genom att beräkningsmetoden inte är perfekt. Ett sätt att göra detta är att införa en stokastisk variabel X, som är kvoten mellan sant värde och beräknat värde och multi­ plicera sitt beräknade värde med denna stokastiska variabel. Om Z = g (R, S) är den bästa, bayesianska, uppskattning av brott­ sannolikheten vi kan göra med till buds stående beräkningsmetoder, så kan vi få en uppskattning av den sanna brottsannolikheten l-r ur uttrycket zT = X ' Z Eftersom vi inte känner den sanna variabeln X använder vi den bästa uppskattningen X. Vi kan ju givetvis behandla X som övriga stokastiska variabler, åsätta en fördelning (med parametrar som är stokastiska variabler) och uppdatera den osv. Som a priori- fördelning kan man lämpligen utgå från kvoten mellan uppmätta och beräknade värden från liknande fall. Det finns sedan kanske möjlighet att i det aktuella fallet göra mätningar på ett prov­ objekt etc och därigenom få data för en uppdatering av X. Upp­ dateringen kan ibland göras ur indirekta mätningar, man har t ex kanske observerat enbart att konstruktionen "överlevt" en viss belastning. Exempel från off-shore industrin på detta visas av Moses (1976). Det är troligt, att den professionella osäkerheten svarar för en stor del av den totala osäkerheten. En följd härav är, att det vid en ekonomisk analys kan visa sig mer lönsamt att installera olika typer av observationssystem, öka kontrollen etc än att öka provtagningen. Likaledes kan det vara mer lönsamt att över­ gå till mer förfinade beräkningsmetoder, som är förknippade med en lägre professionell osäkerhet. I vart fall har man genom riskanalys och beslutsteori möjlighet att optimera hela konstruk- tionsförfarandet. Sammanfattning_och exempel De tre osäkerheter under vilka man arbetar vid det geotekniska beslutsfattandet är: • probabilisti sk osäkerhet • statistisk osäkerhet • professionell osäkerhet I det föregående har visats hur man kan ta hänsyn till dessa osäkerheter: • Probabi1istisk osäkerhet beaktas genom att man arbetar med en stokastisk beskrivning av naturen, dvs arbetar med fördelnings­ funktioner för ingående fysikaliska parametrar. • Stokastisk osäkerhet beaktas genom att man inför osäkerhets- mått i sina fördelningsfunktioner genom att låta de statis­ tiska parametrarna ha en fördelning. Om man är osäker på om vilken fördelning, som är den rätta, kan man arbeta med en sammansatt fördelning, som är ett viktat medelvärde av de tänkbara fördelningarna. • Den professionella osäkerheten uttrycks bäst som en stokastisk variabel som är kvoten mellan samt och beräknat värde. Genom att man multiplicerar sitt beräknade värde med denna stokas- tiska variabel fås en bättre uppskattning av det verkliga värdet. Exempel: Probabilistisk beräkning av stagkrafter Nedan kommer att ges ett exempel på tillämpning av statistiska metoder på ett geotekniskt problem. Beräkningarna är förenklade speciellt vad gäller det numeriska arbetet eftersom endast metodiken skall illustreras. Exemplet avser en spont, som är förankrad på tre nivåer och dub­ bad i berg, se figur 16. FYLLNING Figur 16. Sektion genom spont. Lerans skjuvhållfasthet framgår av figur 17, där resultat från konprovningar redovisas. ■ T kPa kon Figur 17. Lerans skjuvhållfasthet. 44 I detta exempel betraktas endast lasten P2 kN/m, som verkar på det mellersta hammarbandet i schaktens slutstadium. P beräknas med den metod, som föreslagits av Stille (1976). Om endast skjuvhållfastheten anses stokastisk, dvs vi anser att vi känner övriga storheter helt eller att deras variation är så liten att resultatet inte nämnvärt påverkas, fås följande ut­ tryck för ?2- P2 = 149 - 2.4 cu (kN/m) När en lämplig fördelning för cu skall införas, måste den fysika­ liska brottmodellen beaktas. Om jorden anses bestå av ett stort antal små element, där vardera är perfekt elasto-plastiskt och har skjuvhållfastheten Ti, så in­ ses att vid brott längs en glidyta alla elementen samverkar. Det­ ta betyder att brottskjuvhål1 fastheten längs glidytan är xf = Ti , dvs medelvärdet av elementens skjuvhålIfasthet. Om man vidare antar, att de brottfigurer, som orsakas av konen vid laboratorie- provningen, är av samma typ, så är konskjuvhål 1 fastheten T| som i fortsättningen betecknas fkor|. Hammarbandslasten Pg blir alltså Den stokastiska process, som ger de olika värdena på modelle­ ras här med en normal-fördelning, detta med hänsyn till att den är summan av inverkan av ett antal små element. Vår kunskap om skjuvhållfasthetens medelvärde? a priori (före provtagningen) formuleras: "Det troligaste medelvärdet är 12 kPa och värden inom intervallet 9-15 kPa är dubbelt så troli­ ga som värden utanför detta intervall." Ur detta kan härledas ett väntevärde och en ungefärlig varians för fkon, nämligen E(?) = 12 kPa V(t) = 9 Ur litteraturen kan fås en uppskattning av variansen för T^n- Uppskattningen att en variationskoefficient för skjuvhållfast­ heten mellan 30 och 50% svarar för ca 60% av rapporterade vär­ den (Harr 1977) och ett troligaste värde på variationskoeffi- cienten av 40% ger följande ungefärliga värden på väntevärde och varians för variansen hos t, :kon E (a 2) = 23 v T ' V (a 2) = 39 För att förenkla beräkningarna väljs den konjungerade a priori- funktionen för parametrarna till den antagna normalfördelningen. Då blir a priori fördel ningen för medelvärdet (se Vicens m fl, 1975) en Student-t fördelning: 2 f1 (x) = f^ (x i ÿ, , v') _ O där y, s , n' och v' är ekvivalenta provdata. (Så är t ex n' =2 för våra åsatta erfarenhetsvärden som alltså motsvarar två prov). A priorifunktionen för x redovisas på figur 18a och motsvarande frekvensfunktion för Pg i figur 18b. Figur 18a. A priorifördelning för x f'(pj Figur 18b. A priorifördelning för P2- När provdata blir tillgängliga kan fördelningen för x uppdate­ ras. Genom att den konjugerade fördelningen används blir a poste­ riori fördel ningen av samma form som a priori fördel ningen. f" (Ï) = fs (Ï I ÿ". ÿ-» V") där y", s", n" och v" är parametrar som omfattar såväl a priori- som provinformation. När a priorifördelningen uppdateras med följande provdata n = 23 (provantal) y = 17.3 kPa (provens medelvärde) s = 3.18 kPa (provens standardavvikelse) fås de uppdaterade fördelningar för x resp P„ som visas i fig. 19a och 19b. 46 Figur 19a. A_posterioriför- Figur 19b. A posteriorifördel - delning för x. ning för P2, A posteriorifördelningen för x är vår bästa uppskattning som vi kan göra med hänsyn till probabilistisk och statistisk osäkerhet. Som synes har den ökade information som erhållits ur provet givit dels en förändring av väntevärdet, dels väsentligt minskat sprid­ ningen. För P2 återstår en osäkerhet, nämligen den professionella. Kvoten mellan uppmätta och beräknade värden på staglaster för ett antal sponter har redovisats av Stille (1976) och återges i fig. 20- Frequency,-/. a) PROPOSED METHOD m = 0.87 Qm /Qi Figur 20, Kvot mellan mätta och heräknade staglaster, (Stille 1976) Denna kvot införs i beräkningarna som en diskret stokastisk variabel X med vilken P2 multipliceras Multiplikationen har gjorts numeriskt genom att P2 diskretiseras i ett (litet) antal steg. Varje sådant steg har sedan multiplicerats med X och resultaten har sammanförts till den i histogramform redovisade fördelningen i fig. 21 , 47 Figur 21. Histogram över beräknad staglast P„ med hänsyn tagen till den professionella osäkerheten. c Som med alla histogram är utseendet avhängigt av vald cellindel­ ning men det framgår emellertid tydligt vilken stor inverkan den professionella osäkerheten har, jämför fig. 19b och fig. 21! Fig. 21 representerar vår bästa uppskattning av staglasten P2. Hänsyn har tagits till alla tre osäkerheterna, probabilistisk, statistisk och professionell. Ur denna uppskattning av P2 kan sedan sannolikheten att P2 skall överstiga ett visst värde lätt beräknas. Så är t ex sannolikheten att värdet 120 kN/m skall överstigas 0.15 , dvs 15%. Givetvis kan osäkerheten minskas om X (= Q /Q ) uppdateras med mätdata från t ex en provpanel på den uppm^ttS sponten. Med hän­ syn till den inverkan den professionella osäkerheten har kan det­ ta kanske vara mer ekonomiskt än att göra ytterligare provtag­ ning och förbättra uppskattningen av f. 48 FORSKNINGSBEHOV Bakgrund I det föregående har påvisats behovet av nya beslutskriterier som kan ersätta det nuvarande systemet med en säkerhetsfaktor. Risk, dvs brottsannolikhet, eller förlustrisk har föreslagits som ett lämpligt sådant kriterium. Vidare har visats vilka tänkbara me­ toder som finns för att utföra en riskberäkning eller för att göra en motsvarande säkerhetskontroll. För svensk geoteknik är dessa metoder av stort intresse, speciellt eftersom kommande normer för bärande konstruktioner kommer att vara baserade på riskbegreppet. Väsentligt är att observera att jord betraktas på samma sätt som övriga material. Detta innebär praktiskt att nuvarande tänkesätt inom geotekniken med säkerhets­ faktor, tillåtna påkänningar etc kommer att ersättas med den så kallade partial koefficientmetoden eller alternativt av en sta­ tistisk analys. Man blir alltså tvungen att ananma ett nytt prin­ cipiellt tänkesätt. Det torde tvivelsutan vara så, att den allt överskuggande metoden för praktiskt bruk blir partialkoefficientmetoden. För speciella ändamål torde dock den statistiska analysen bli använd, t ex vid dyra objekt, objekt där skadekonsekvenser blir stora och typob­ jekt där ett stort antal skall byggas. Dessutom behöver man de statistiska metoderna för kalibrering av partialkoefficientmetoden. Både partialkoefficientmetoden och statistiska metoder är relativt väl utvecklade för de byggnadsdelar, som inte består av jord. För den geotekniska delen krävs ytterligare forskning, vilken huvudsakligen är betingad av jordmaterialets inhomogenitet och variationer. Av skälen ovan bör forskningen koncentreras på de behov, som ett införande av partialkoefficientmetoden medför, men detta medför även indirekt ett behov av utveckling av sta­ tistiska metoder (för kalibreringsändamål). I det innevarande projektet har framtagits de teoretiska metoder som behövs för en riskberäkning. Den kommande forskningen bär därför inriktas på att omsätta dessa teorier till praktisk an­ vändbarhet. Följande forskningsområden bör primärt behandlas: • Bestämning av partial koefficienter och karakteristiskt värde • Riskbaserade regler för användning av observationssystem och utförande av provbelastning • Bestämning av professionella osäkerheter Ytterligare ett område, som inte är av forskningskaraktär, men som bör ingå är • Upplysning om säkerhet och riskbedömning §§stämning_av_partialkoefflçienter_och_karakteri stiskt_värde_ Partialkoefficientmetoden arbetar med dels ett system av partial- koefficienter, dels med s k karakteristiska storheter som skall multipliceras med dessa koefficienter. Kontroll av säkerhet skall enligt normer göras för olika gränstillstånd, t ex brott- och bruksgränsti11 stånden. Den forskning, som krävs för geotekniken, gäller främst jordmate- rialets egenskaper omsatta till partial koefficienter och karakte­ ristiska värden. Det krävs dels ett lämpligt system av partial koefficienter, dels en metod att bestämma dessas storlek. Vad gäller systemet, bör detta i princip vara uppbyggt på samma sätt som för övriga mate­ rial och denna del av arbetet bör därför ske i samråd med Statens planverk. Inom geotekniken torde det dock finnas speciella problem. Det gäller främst de fall där man lämpligen ersätter en brottstadie- beräkning med en bruksstadieberäkning och vice versa och alltså måste införa någon form av ekvivalent partialkoefficient. Även i övrigt måste det system för uppbyggnad av partialkoeffi - cienterna som föreslagits i utkast till kommande normer troligen modifieras för geotekniska problem. Så medför t ex osäkerheten i materialprovning, osäkerheten i beräkningsmodellen och osäkerheten i bestämning av karakteristiskt värde att man kan tvingas arbeta med ett system med fler värden på varje partial koefficient. Dessa värden blir då beroende av undersökningsmetod, beräkningsmetod och undersökningens omfatt­ ning. Av praktiska skäl måste ett sådant system göras så enkelt som möjligt samtidigt som både osäkra och överstarka konstruk­ tioner undviks. En väsentlig del av forskningen bör alltså gälla denna fråga. Vissa riktlinjer för bestämning av partial koefficienternas stor­ lek finns angivna i Ciria Rep. 63 (1977). Dessa kan användas som en bas vid framtagning av en lämplig metodik. Denna metodik bör sedan prövas på ett antal olika problem. De partial koefficienter som då tas fram bör sedan tillämpas på några typiska konstruk­ tioner och resultaten jämföras med vad som fås med dagens meto­ dik, särskilt i sådana fall där man vet att nuvarande konstruk­ tioner är helt acceptabla. För jämförelse bör också kontroll göras mot optimerade konstruk­ tioner. Ett annat stort problem med införande av partial koefficientmeto­ den är bestämmandet av de karakteristiska storheterna för jord­ materialet, hållfasthet, moduler osv. Svensk jord är ju oftast mycket heterogen och det finns ingen möjlighet att använda lik­ artade definitioner av de karakteristiska storheterna, som an­ vänds för andra byggnadsmaterial, dvs någon fraktil, t ex 5- per- centilen. Ett sådant förfarande skulle leda till orimliga insatser vad gäller grundundersökningarna för ett objekt. Bestämning av karakteristiskt värde är i princip ett särfall av undersöknings- optimering, där det gäller att med minsta insats bestämma stor­ het med en given tillförlitlighet. 50 Forskningen bör inriktas på flera frågeställningar; Vilket värde bör användas som karakteristiskt värde? I vissa fall kanske medelvärdet är lämpligt, medan det kan vara helt felaktigt i andra. Hur stor omfattning behöver en undersökning ha för att det karak­ teristiska värdet skall vara tillförlitligt bestämt? Följande basproblem måste först studeras för bestämning av par­ tialkoefficienter och karakteristiska värden: o Vilken statistisk fördelning följer jordens egenskaper och hur skall man beakta rymdvariationer? Frågan är av stor betydelse när det gäller utnyttjandet av närbelägna undersökningar, bedömning av differentialsättningar osv. Problemet finns principiellt behandlat i litteraturen, se t ex Vanmarcke (1977), Baecher (1972) och David (1977). o Hur effektiva är olika undersökningsmetoder? En metod för bestämning av effektiviteten hos olika metoder har angivits av Ingles (1977). Frågan är av mycket stor vikt. Den kommer delvis att undersökas vid KTH i BFR-projektet "Laboratorieprovningar contra insitubestämningar. Giltighets- analys" (Stille, Fredriksson) och material från detta projekt bör kunna utnyttjas, liksom material från andra projekt bl a vid SGI. o Hur kan man ta hänsyn till erfarenhetsvärden och regionala data? Det finns ofta en mycket stor erfarenhet regionalt om jordens egenskaper i området. Denna bör tas tillvara, men en för par- tialkoefficientmetoden lämplig metodik saknas. o Hur tillförlitligt kan man bestämma förekomsten av svaghets­ zoner och andra diskontinuiteter, t ex siltskikt? Denna fråga avses bl a undersökas vid KTH i BFR-projektet "Gästforskare: Statistiska metoder inom geotekniken" Ri§kbaserade_regler_for_anyändning_av_observatignssystem_och ÿlfiriDde.ây.prgybeîâstning^ Observationssystem, t ex skredvarningssystem, kan utnyttjas på två sätt vid en geoteknisk riskberäkning. Man kan kontinuerligt observera och ur observationerna uppdatera analysen genom den professionella osäkerheten. Ibland räcker det med att man obser­ verat att konstruktionen "överlevt11 en belastning för att en upp­ datering skall vara möjlig (Moses, 1976). Ett annat viktigt om­ råde gäller minskning av förlustrisken, genom att man får en förvarning. När det gäller partial koefficientmetoden skulle det­ ta motsvara att man kan välja en lägre säkerhetsklass. Två problem är väsentliga att utreda: • Hur tillförlitligt är systemet? Frågan är ekvivalent med frågan om olika undersökningsmetoders effektivitet. Det gäller dels att förutse brottmekanismen, dels att bedöma sannolikheten att systemet observerar denna mekanism. • Hur mycket minskas konsekvenserna? Detta är inte bara en geoteknisk fråga utan också en socio- politisk. Ett viktigt område för forskningen gäller hur provbelastningar (av pålar, dragstag etc) skall utföras ur statistisk synpunkt. I Förslag till Allmänna bestämmelser för bärande konstruktioner (Statens planverk 1979-01-24) föreskrivs bl a "Karakteristisk bärförmåga vid provning av konstruktionsdelar definieras som nedre 5-procentfraktilen bestämd på 75% konfidensnivå" och be­ träffande formändringar "Vid dimensionering genom provning ut­ värderas resultaten så att kraven skall uppfyllas av 70% av konstruktionerna och bedömning härav med stickprov skall ske på 75% konfidensnivå." Precis som för bestämningen av karakteristiskt värde måste dessa bestämmelser modifieras för geotekniskt bruk, där ju provningar­ na är mycket kostsamma och varje objekt oftast unikt till skill­ nad från t ex byggnadselement. Bestämning_av_den_professionella osäkerheten Den professionella osäkerheten, dvs osäkerheten i beräkningsmo­ dellen torde ofta vara av avgörande betydelse. Dess storlek måste utredas för några typiska problem, eftersom den återspeg­ las i partial koefficienten. Bestämningen kan göras på två sätt, dels utgående från objekt där mätning skett (eller brott inträf­ fat) och jämförelse med beräknade värden, dels genom att man ut­ går från en subjektivt åsatt sannolikhet. Man har givetvis i båda fallen möjlighet att uppdatera genom användandet av Bayes'teorem. Hur man principiellt går tillväga för att åsätta subjektiva sannolikheter har beskrivits i rapporten. Denna metodik bör om­ sättas i praktiskt användbar form och kalibreras. Det har näm­ ligen visat sig (Baecher, 1972) att så åsatta sannolikheter blir alltför försiktiga, man får inte ut all information. Det kan dess­ utom bli aktuellt att väga samman olika experters uppskattningar t ex för att ange professionell osäkerhet och till detta ändamål behöver teknik utprovas. (Man kan t ex använda den metodik som föreslagits av Morris, 1977.) Ett intressant tillämpningsområde är de fall då beräkningsmeto­ den inte direkt lämpar sig för en probabilistisk analys (t ex FEM) utan ger ett deterministiskt värde. Genom att införa beräk- ningsosäkerheten som en stokastisk variabel kan man ändock få en uppskattning av sannolikheten att en deformation skall överskri­ das etc.(Stille, Olsson, Fredriksson 1979). yPPlysning_om_säkerhet_och_riskbedömning_ Eftersom införandet av riskbaserade metoder inom geotekniken innebär ett nytänkande krävs en kontinuerlig upplysning och ut­ bildning i dessa frågor för praktiskt arbetande geotekniker. Detta medför att forskning inom området bör planeras så att re­ sultat, i synnerhet sådana med praktisk anknytning, kontinuerligt publiceras genom skrifter, föredrag etc. Sammanfattning_av_fgrskningsbehovet_ Av det ovanstående framgår, att forskningsbehovet egentligen gäl­ ler ett antal frågeställningar som är principiellt likartade. 52 Huvud-frågeställningarna är: "Hur skall man utforma undersökningen (inklusive observations- system och provbelastningar) så att man når önskad tillförlit- 1ighet?" "Vilka krav måste ställas på analysmetod och beräkningar för att resultatet skall ha tillräcklig tillförlitlighet?" Det teoretiska underlaget för att lösa dessa frågor finns och forskningen bör därför inriktas på att utforma metodik för det praktiska arbetet. 53 LITTERATUR Ang, H-S.A. & Tang, W.H, 1975, Probability concepts in engineering planning and design. (John Wiley & Sons, Ing.) New York. Baecher, G.G, 1972, Site exploration: A probabilistic approach. Thesis. MIT. Bayes, T, 1763, An essay towards solving a problem in the doctrine of chance. Philosophical Transactions of the Royal Society. 53. pp. 370-418. Benjamin, J.R. & Cornell, C.A, 1970. Probability, statistics and decision for civil engineers. (McGraw-Hill Book Company.) New York. Blom, G, 1970, Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämp­ ningen (Studentlitteratur), p. 2/9, Lund. Ciria, Rep. 63, July 1977, Rationalisation of safety and service­ ability factors in structural codes. (Construction industry re­ search and information association.) London. David, M, 1977, Geostatistical ore reserve estimation. (Elsevier Scientific Publishing Company.) New York. Dialog 2-76, Second international workshop on definition, classi­ fication and evolution of code formats. Mexico City 3-5 January, 1976. (Danmarks Ingeniörakademi) Lyngby. Folayan, J.I, Hoeg, K & Benjamin, J.R, 1970, Decision theory applied to settlement predictions. (ASCE), Journal of the Soil Mechanics and Foundation Div., Vol. 96, No. SM 1, pp. 1127-1141. Holmquist, C-E, 1978, En ren olycka - en bok om risker och risk­ bedömning. (Bokförlaget Dialog), p. 78-79, Lund. Hynes, M.E. & Vanmarcke, E.H, 1975, Subjective reliability assess­ ment in geotechnical engineering: 1-95 Embankment Case Study, Rapport MIT CE R 75-42. Boston. Ingles, 0.G, 1977, The rationality of materials appraisal. Probability theory and reliability analysis in geotechnical en­ gineering (RPI), Troy. Meyerhof, G.G, 1970, Safety factors in soil mechanics. (The Na­ tional Research Council of Canada.), Canadian Geotechnical Journal, 7, No. 4, Nov. 1970. Morris, P.A, 1977, Combining expert judgment: a bayesian approach. Management Science, Vol. 23, No. 7, pp. 679-693. Moses, F, 1976, Note on incorporating bayesian information in a reliability model. (Danmarks Ingenjörakademi.) Dialog 2.76, pp. 20-23. Lyngby. Olsson, L & Stille, H, 1978. Risk och säkerhet i geotekniken. (SVR) Väg- och vattenbyggaren 3.78. Stockholm Stille, H, 1976. Behaviour of anchored sheet pile walls. (Inst, för Jord- och bergmekanik, KTH). Stockholm. Stille, H, 1979, Opublicerat material. Stille, H, Olsson, L & Fredriksson, A, 1979, Design of an anchor­ ed sheet pile wall with reliability analysis. (8. Nord. Geotekni- kermöte). Proceedings.Helsingfors. Tribus, M, 1970, Rational descriptions, decisions and designs. (Pergamon Press), New York. Vicens, G.J, Rodriquez-Iturbe, I & Schaake Jr, J.C, 1975, A bayesian framework for the use of regional information in hydro­ logy. (American Geophysical Union.) Water Resources Research, Vol. 11, No. 3, pp. 405-414. Winkler, R.L, 1972, An introduction to bayesian inference and decision. (Holt, Rinehart and Winston, Inc.) New York. Wood, E.F, 1974, A bayesian approach to analyzing uncertainty among stochastic models. (Inst för Appl. System Analysis), Report RR-74-16. Schloss Laxenburg. Zellner, A, 1971, An introduction to bayesian inference in econo­ metrics. (John Wiley & Sons, Inc). New York. Åkerlund, S, 1974, Statistiska metoder för beräkning av skaderisk (Inst för byggnadsteknik, LTH), Rapport 57, Lund. Denna rapport hänför sig till forskningsanslag 760942-4 från Statens råd för byggnadsforskning till Institutionen för jord- och bergmekanik, Tekniska högskolan, Stockholm R126:1979 ISBN 91-540-3124-9 Statens råd för byggnadsforskning, Stockholm Art.nr: 6700026 Abonnemangsgrupp: Ingår ej i abonnemang Distribution: Svensk Byggtjänst Box 7853 103 99 Stockholm Cirkapris: 20 kr exkl moms