Rotationer, spinorer och spinn
Hur man kan visualisera spinn
Examensarbete för kandidatexamen i matematik vid Göteborgs universitet
Kandidatarbete inom civilingenjörsutbildningen vid Chalmers
Lars Wickström
Liqin Xu
Patrik Agné
Simon Jonsson
Institutionen för Matematiska vetenskaper
CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA
GÖTEBORGS UNIVERSITET
Göteborg, Sverige 2019

Rotationer, spinorer och spinn
Hur man kan visualisera spinn
Examensarbete för kandidatexamen i matematik vid Göteborgs universitet
Liqin Xu Patrik Agné
Kandidatarbete i matematik inom civilingenjörsprogrammet Teknisk fysik vid Chal-
mers
Lars Wickström
Kandidatarbete i matematik inom civilingenjörsprogrammet Kemiteknik med fysik
vid Chalmers
Simon Jonsson
Handledare: Andreas Rosén
Examinator: Maria Roginskaya Ulla Dinger
Institutionen för Matematiska vetenskaper
CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA
GÖTEBORGS UNIVERSITET
Göteborg, Sverige 2019

Populärvetenskaplig presentation
I detta arbete ska vi diskutera begreppet spinn, vad som inom matematik kallas Z2-minnet hos
rotationer. Det visar sig för en del system, bland annat inom kvantmekaniken, att när det har
genomgått en full 360◦ rotation har det ännu inte återställts till sitt grundläge, utan är nu i
motsatt konfiguration, och det är först när systemet fått rotera ytterligare 360◦, till sammanlagt
720◦, som systemet återställts. Spinn är inte bara ett fenomen som dyker upp inom matematiken,
utan är ett naturligt fenomen och har en plats i världen vi befinner oss i.
”Bälttricket” kan hjälpa oss få insikt i detta fenomen. Det visar sig att om man fäster ena änden
av ett bälte i ett bordsben och håller den andra änden i sin hand och roterar änden man håller i
ett varv kommer man märka att detta vridna bälte inte går att få ”ovridet” genom att flytta runt
bältet; det enda sätt det kan återgå till att bli ovridet är att rotera bältet ett helt varv till.
Ett annat sätt att betrakta fenomenet är att utgå från att rotation alltid är kring en axel, och
försöka göra en avbildning av rotationer som ett typ av rum där vardera punkt utgör en viss rota-
tion. Låt vardera axel vara en linje där samtliga linjer har en punkt de alla går igenom och låt hur
långt ut på varje linje man är i förhållande till denna punkt utgöra den vinkel man roterat, detta
kommer utgöra ett klot med ”radie” 180◦. Men då sammanfaller systemen, dvs 180◦ rotation runt
en axel, eller −180◦ runt samma axel motsvarar samma rotation.
Detta fenomen uppkommer som sagt bland annat i kvantmekaniken. För att kunna modellera
dem väl behöver man ett nytt sätt att föreställa sig vad som sker. Det behövs ett nytt typ av ob-
jekt med egenskapen att de, precis som kvantmekaniska system, inte återställts efter 360◦ rotation
utan istället 720◦. De matematiska objekt som har denna egenskap kallas ”spinorer” och upptäcktes
av Elie Cartan 1913, ett bra tag innan behovet inom kvantmekaniken uppkom.
Ett problem med spinn och spinorer är att det är svårt att faktiskt visualisera hur det ser ut. I
detta arbete har vi därför skapat en datoranimation för att visualisera fenomenen.
Vi har bland annat utvecklat datoranimationer där en användare kan rotera runt ett vanligt ko-
ordinatsystem, och jämföra den med lägen inom ett visst klot. Dessa lägen i klotet relaterar vi
till kvaternioner, vilka är en samling av skalärer och ”bivektorer”. Bivektorer är en speciell typ av
vektorer men som istället för att motsvara linjer är de mer som plan.
Det finns även ett program som istället låter dig manipulera en punkt i klotet, där nu koordinat-
systemet istället kommer få rotera efter hur punkten befinner sig. Man kommer se att när man
dragit runt koordinataxlarna ett helt varv kommer inte punkten i klotet ha återkommit, utan två
varv krävs. Ett tredje program, kanske mer exotiskt än de tidigare, låter användaren se hur kva-
ternionen roterar spinorer, där man kan se att det kommer krävas just två varv för att systemet
skall återställas. Bland annat används kvaternionerna i mekatronik och stelkroppsmekanik just för
att de beskriver roterande system så enkelt och så troget till verkligheten.
I vårt projekt beskriver vi hur man bygger upp en Cliffordalgebra, en algebra som består av olika
typer av ”multivektorer”, i vilka bivektorerna är en del i av. De används inte enbart i kvantmekaniken
utan man kan bygga upp dem för att göra uträkningar i speciell relativitetsteori. Även en del klassisk
mekanik blir förenklad med Cliffordalgebran.
Sammanfattning
Ett viktigt begrepp inom kvantmekaniken är spinn. Vissa kvantmekaniska system har egen-
skapen att vid en full rotation har systemet inte återställts utan befinner sig istället i motsatt
konfiguration relativt startläget. Detta är vad man menar med spinn. Spinn är dock känt för
att vara svårt att visualisera. I detta arbete har vi skapat en datoranimation för att visa hur
spinn uppkommer och beter sig. Vi har använt programspråket MATLAB för att göra detta.
För att kunna förstå denna datoranimation måste man dock först ha grundläggande förståelse
för spinn. I detta arbete har vi därför gjort en genomgång av den matematiska teorin bakom
spinn. Vi börjar med att förklara begreppen yttre algebra och Cliffordalgebra. Sedan introdu-
cerar vi kvaternioner och förklarar deras koppling till spinn. Vi går därefter igenom begreppen
spinorer och spinorrum som är nödvändiga för att beskriva spinn i fysiken. Vi avslutar arbetet
med att förklara hur koden är uppbyggd och hur den är kopplad till spinn.
Abstract
A central concept in quantum mechanics is spin. Certain quantum systems have the prop-
erty that, at a full rotation, the system has not been reset, but is in the opposite configuration
relative to the starting position. It is previously known that spin is hard to visualize. In
this paper we have for this reason created a computer animation to show how spin arises and
how it behaves. We have used the programming language MATLAB to do this. To be able to
understand this animation it is necessary to have a basic understanding of spin. A central part
of this paper will therefore consist of a review of the mathematical theory behind spin. We
start by explaning the mathematical concepts of exterior algebra and Clifford algebra. Then
we introduce quaternions and explain their connections to spin. Furthermore we explain the
mathematical concepts of spinors and spinor space to describe spin. Finally we end the paper
with explaining how the code is written and how it relates to spin.
Innehåll
1 Vad vi kommer att göra 1
1.1 Vad handlar egentligen spinn om? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Struktur och förkunskap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Metod och material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Yttre algebra och Cliffordalgebra 2
2.1 Cliffordprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Geometrisk tolkning av multivektorer i Cliffordalgebran för R3 . . . . . . . . . . . 4
3 Rotationer i R3 5
3.1 Kvaternioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 Kontinuerliga rotationer och spinn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2.1 Parametrisering av S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2.2 S3 enkelt sammanhängande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2.3 Fundamentalgruppen för SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4 Spinorer 11
4.1 Grupprepresentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.2 Dimensionsanalys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.3 Matrisrepresentationer av Cliffordalgebran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.4 Matriser för Cliffordalgebran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.4.1 Komplexa matriser som reella matriser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.4.2 Representation av kvaternioner som komplexa matriser . . . . . . . . . . . 13
4.4.3 Koppling mellan representationerna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5 Kodningen bakom VR, BR och SR 17
Litteraturförteckning 20
A Visualisering av yttre algebran 21
Figurer 21
B Kompletterande Teori 23
B.1 Basbyten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
B.2 Homomorfa matrisrepresentationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
B.3 Rotationsmatris för godtycklig axel och vinkel i VR . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
B.4 En rotation i R3 är alltid kring en axel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
C KOD 26
C.1 VR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
C.2 BR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
C.3 SR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Förord
Bidragsrapport, Lars:
Lars har till stor del skrivit all den kod som presenteras i rapporten, och skrev därför även texten
som beskrev koden. Han har även skrivit den delen av introduktionen till Spinorer som beskrev
kvantdynamiken hos partiklar med spinn, och även arbetat med den populärvetenskapliga rappor-
ten. Vidare har Lars hjälpt till med bevisföring samt vart med i diskussioner om konceptuella frågor.
Bidragsrapport, Simon:
Simon har bidragit till teoridelen om yttre algebra och Cliifordalgebra. Han har även till stora
delar själv skrivit teoridelen om kvaternioner och deras koppling till rotationer. Simon har även
skrivit stora delar av spinoravsnitten, om dimensionerna, och även analysen utav de två represen-
tationerna av H fram till beviset för kompletta matrisalgebror.
Bidragsrapport, Patrik:
Patrik har skrivit stora delar av sektionen om yttre algebra och Cliffordalgebra och bidragit till
ritning av figurerna. Han har skrivit sammanfattning/abstract och delar av den populärvetenskap-
liga presentationen. Han har också skrivit delarna om basbyten, homomorfa matrisrepresentationer
och tagit fram rotationsmatrisen för godtycklig axel och vinkel i VR. Han har även bidragit till att
planera arbetet och organiseringen av arbetet.
Bidragsrapport, Liqin:
Liqin har skrivit delar av teoridelen om yttre algebra och Cliffordalgebra och ritat de flesta figu-
rerna. Hon har även bidragit till delarna om dimensionerna, komplexa matriser och kopplingen
mellan våra representationer av Cliffordalgebran. Hon har även skött dagboken.
En loggbok har förts över de enskilda medverkandes prestationer.
1 Vad vi kommer att göra
Syftet med detta arbete är att skapa ett interaktivt datorprogram där man kan se relationer mellan
rotationer av vektorer och spinorer, men även hur rotationer i sig påverkar vektorerna respektive
spinorerna. Vidare är syftet också att kunna visualisera fenomenet spinn och att matematiskt
kunna presentera varför rotationer har det interna minne vi kallar spinn.
Detta projekt kommer att vara tvådelat. Första delen kommer handla om rotationer i 3 dimensio-
ner. Vi kommer här undersöka de topologiska egenskaperna hos mängden av rotationer för R3 och
även påvisa det så kallade Z2-minnet som finns hos rotationsgruppen SO(3). Detta minne är vad
man menar med spinn. Vi kommer även skapa en datoranimation för att visualisera spinn.
Andra delen av projektet kommer att behandla spinorer. Spinorer är objekt som samexisterar
med ett tillhörande vektorrum. Spinorer tillämpas inom kvantmekaniken och är därför viktiga att
lära sig mer om. Vi kommer även att göra en datoranimation för att visa hur vektorrummet roterar
tillsammans med spinorrummet.
1.1 Vad handlar egentligen spinn om?
Spinn som fenomen existerar för vektorrum med dimension högre än 2. Det roterar gradvis till två
rotationer med två topologiskt urskiljbara homotopklasser, en till 2pi och en till 4pi. Dessa två olika
klasser ger spinortransformationer av motsatt tecken. Som vi nämnde tidigare är bälttricket ett
berömt exempel för att illustrera den övergripande spinnteorin. Ena änden av ett bälte är fastsatt
och den andra änden roterar fritt. Bältet vrids när den fria änden roterar ett varv, för att återgå
till att ej längre vara vridet måste den fria änden rotera två varv runt samma axel med moturs
orientering.
1.2 Struktur och förkunskap
Vi kommer att lära oss förstå spinn genom geometrisk algebra. Först går vi igenom yttre algebra och
Cliffordalgebra. Genom Cliffordalgebran kommer vi sedan att definiera kvaternioner. Kvaternioner
är objekt som används för att rotera i 3 dimensioner. Sedan kommer vi att hitta en homomorfi
mellan de kvaternioner som ger upphov till rotationer och rotationsgruppen SO(3).
Vi kommer sedan att undersöka spinorer genom matrisrepresentationer av Cliffordalgebran i R3. Vi
kommer även att undersöka rotationer av spinorer och även visa att de är objekt som är oberoende
av representationen från Cliffordalgebran.
För att få en lättläst och (förhoppningsvis) njutbar läsning av detta arbete behöver man grund-
läggande kunskaper i linjär algebra och abstrakt algebra. Att ha grundläggande förståelse för
kvantmekanik är nyttigt men inte nödvändigt.
1.3 Metod och material
Som vi sett är syftet med detta arbete dels att genomföra en teoretisk genomgång av begreppet
spinn och spinorer, dels att göra en datoranimation där vi visar hur spinn uppkommer. För att
kunna ge en teoretisk genomgång av begreppet spinn måste man ha en god förståelse för spinn. Vi
har därför läst igenom och diskuterat litteraturen kring spinn och spinorer, och skapat en datorani-
mation för att kunna visualisera spinn. Vidare har vi fått stor hjälp från handledare Andreas Rosén
för att förstå teorin. För att skapa datoranimationerna har vi använt programspråket MATLAB.
1
2 Yttre algebra och Cliffordalgebra
Vi inleder detta arbete med att diskutera yttre algebra. För att kunna göra detta börja vi med att
definiera ett vektorrum, V, med någon kropp, K. I detta arbete kommer vi att utgå från att alla
vektorrum är euklidiska. Yttre algebran (∧V,+,∧, 1) till V är det 2n dimensionella vektorrummet
∧V := ∧0V ⊕∧1V ⊕∧2V...⊕∧nV . Ett element i detta rum skrivs då: v = v0+v1+v2+...+vn ∈ ∧V
och vi säger att v är en multivektor av grad n, där vi ∈ ∧iV . Speciellt är ∧0V rummet av skalärer,
∧1V rummet av vektorer, ∧2V rummet av bivektorer och ∧3V rummet av trivektorer.
Nu definierar vi yttreprodukten.
Definition Yttreprodukt (referens: Andreas Rosén (handledare), skriftlig kommunikation, 14/5
2019) Låt {e1, ..., en} utgöra en bas för vektorrummet V och låt vj ∈ V vara vektorer sådana att
vj =
∑
ai,jei. Vi beräknar då yttreprodukten av dessa vektorer som
v1 ∧ v2 ∧ ... ∧ vn =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
e1 a1,1 ... a1,n
e2 a2,1 . . . a2,n
...
...
. . .
...
en an,1 ... an,n
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
:=
n∑
i=1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a1,1 . . . ai,n
...
. . .
...
ai,1 . . . an,n
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
e1 ∧ ... ∧ en. (1)
Vi har att följande regler för yttreprodukten:
1.v ∧ u = −u ∧ v (antikommutativitet); (2)
2.(v ∧ u) ∧ w = v ∧ (u ∧ w) (associativitet). (3)
2.1 Cliffordprodukt
Följande sats lägger grunden till det som vi nedan kallar Cliffordprodukten.
Sats: Lagranges identitet1 Låt V vara ett skalärproduktsrum. Vektorerna v1 och v2 uppfyller då
att
|〈v1, v2〉|
2 + |v1 ∧ v2|
2 = |v1|
2|v2|
2. (4)
Där 〈a, b〉 är skalärprodukten mellan två vektorer a och b, och |vi| anger längden på vektorn vi.
Intuitionen bakom denna sats hittas i Cauchy-Schwarz och Hadamards olikheter.
Vi kommer ihåg att om V är ett skalärproduktsrum och vektorerna u, v ∈ V vet vi från Cauchy-
Schwarz olikhet att
|〈v1, v2〉| ≤ |v1||v2|. (5)
Hadamards olikhet säger istället att
|v1 ∧ v2| ≤ |v1||v2|. (6)
Vi får likhet i Hadamards olikhet om och endast om 〈v1, v2〉 = 0, om vektorerna är ortogonala.
1För bevis av denna sats, se (1)
2
Vi får likhet i Cauchy-Schwarz olikhet om och endast om 〈v1, v2〉 = |v1||v2|, om vektorerna är
parallella. Det finns alltså ett inverst förhållande mellan skalärprodukten och yttreprodukten.
I euklidiska rum definierar vi skalärprodukten som det unika talet 0 ≤ θ ≤ pi sådant att
〈v1, v2〉 = |v1||v2| cos(θ), (7)
ekv. (4) kan då skrivas
|v1|
2|v2|
2 cos2(θ) + |v1 ∧ v2|
2 = |v1|
2|v2|
2. (8)
Det följer då att
|v1 ∧ v2|
2 = |v1|
2|v2|
2 sin2(θ), 0 ≤ θ ≤ pi. (9)
Dessa produkter kan vi sätta ihop genom operationen
v1 M v2 = 〈v1, v2〉+ v1 ∧ v2 ∈ ∧
0V ⊕ ∧2V. (10)
Detta är vad vi menar med Cliffordprodukten av vektorerna v1 och v2. I fortsättningen kommer
vi, på de ställen där det inte finns risk att missförstånd uppstår, skriva v1 M v2 =: v1v2.
Definition Cliffordprodukt (1) Cliffordprodukten är den unika bilinjära produkt på yttre alge-
bran, ∧V . För en parvis ortogonal mängd {ai}n1 vektorer i V sammanfaller cliffordprodukten med
yttre produkten. Vidare uppfyller även cliffordprodukten nedanstående punkter
• a2 = |a|2,∀a ∈ V
• aiaj = −ajai, för i 6= j
• (a1 M a2) M a3 = a1 M (a2 M a3)
(11)
Nu följer definitionen av Cliffordalgebra.
Definition Cliffordalgebra Med ∆V menar vi Cliffordalgebran (∧V,+,M) definierad av Clifford-
produkten på rummet av multivektorer i V.
Något som kan verka onödigt nu, men som kommer bli relevant senare i arbetet när vi kommer till
kvaternioner, är uppdelningen i udda och jämna multivektorer. Vi definierar de jämna och udda
multivektorerna som
∧ev V := ∧0V ⊕ ∧2V ⊕ ∧4V ⊕ ..., ∧odV := ∧1V ⊕ ∧3V ⊕ ∧5V ⊕ ..., (12)
så ∧V = ∧evV ⊕ ∧odV .
Låt ∆evV:=∧evV, ∆odV:=∧odV och
∆V = ∆odV ⊕∆evV. (13)
Vi ser särskilt att om u, v ∈ ∆evV så följer det att u M v ∈ ∆evV , och alltså är sluten. Medan
∆odV inte är sluten under Cliffordprodukt.
3
2.2 Geometrisk tolkning av multivektorer i Cliffordalgebran för R3
Vi ska nu närmare studera strukturen hos Cliffordalgebran för R3.2 Låt{e1, e2, e3} utgöra en ON-
bas för V = R3. Vi kan se basvektorerna som de traditionella {x, y, z} respektive. Vi kallar dessa
vektorer för grad 1 objekt och i Cliffordalgebra uttrycker vi dem ∆1R3.
En skalär representerar en punkt och kallas för grad 0 objekt. I Cliffordalgebra blir de ∆0R3.
Från basvektorerna ska vi nu bilda de så kallade bivektorerna {e1e2, e2e3, e3e1} genom Clifford-
produkten. Bivektorerna ligger i respektive plan i ett 3D rum. e1e2 i xy-planet, e2e3 i yz-planet
och e3e1 i zx-planet. Vi ritar dem som parallellogram med moturs orientering (se 4, 5 och 6 i
Appendix). Vi kallar dessa grad 2 objekt och beskriver dem som ∆2R3 på Cliffordalgebraiskt vis.
Nu återstår bara att skapa det sista ”grundelementet” e1e2e3. Vi kallar detta objekt trivektorn. I
Cliffordalgebra uttrycker vi den som e123 ∈ ∆3R3.
Denna bildar vi genom att ta en av bivektorerna, säg e1e2, och ”förlänger” den i e3s riktning. På
samma sätt tar vi bivektorn e2e3 och förlänger i e1 riktning, samt tar bivektorn e3e1 och förlänger
den i e2 riktning. Vi bildar på så sätt en så kallad parallellepiped med positiv orientering. (se 7 i
Appendix).
Vi sammanfattar ovan 4 typer av objekt (en skalär med grad-0, tre vektorer med grad-1, tre
bivektorer med grad-2 och en trivektor med grad-3) som 8 grundelement i ett vektorrum
{1, e1, e2, e3, e1e2, e2e3, e3e1, e1e2e3}. Detta illustrerar vi i figur 1.
Grad-3: e123
Grad-2: e12, e23, e31
Grad-1: e1, e2, e2
Grad-0: 1
Figur 1: Cliffordalgebrans struktur i R3
2Det här beskrivningen bygger på (4)
4
3 Rotationer i R3
I detta avsnitt begränsar vi oss till att V = R3. Vi kommer här titta på rotationer av vektorer i V
med hjälp av både rotationsmatriser men även med hjälp av kvaternionerna, som kan definieras från
den jämna Cliffordalgebran. Vi hittar en homomorfi mellan kvaternionerna och rotationsmatriser,
sedan går vi vidare och visar Z2-minnet hos rotationer. Gruppen av rotationsmatriser skrivs som
SO(3) := {T : V → V ;T>T = I, detT = 1}. Där > är transponatet till matrisen.
3.1 Kvaternioner
Vi skall nu använda oss utav Cliffordalgebran för att definiera kvaternionerna. Kvaternionerna kan
ses som en utvidgning av det komplexa talplanet C. I det komplexa talplanet kan man enkelt rotera
komplexa tal, z ∈ C, geonom multiplikation av en fas, eiθ, sådan att
z → z′ = eiθz = zeiθ = ei
θ
2 zei
θ
2 .
Vi vill nu, på liknande sätt, använda kvaternioner för att rotera vektorer i R3. Kvaternionerna,
som vi nedan hänvisar till som H, är fyrdimensionella additiva objekt med följande egenskaper för
sin specifika produkt
i2 = j2 = k2 = ijk = −1. (14)
Vi kan konstruera samma egenskaper med hjälp av den jämna Cliffordalgebran, ∆evV , genom att
låta
−e2e3 = i,
e1e3 = j,
−e1e2 = k,
så vi får, med Cliffordprodukt, samma egenskaper som kvaternionerna. Vi representarar H som
H = (∆evV,+,M). Vi kan även se att H är en associativ divisionsalgebra, alltså att varje icke-noll
kvaternion är inverterbar. För q = a+ bi+ cj + dk, där q¯ = a− bi− cj − dk betecknar konjugatet
i H har vi att q¯q = a2 + b2 + c2 + d2 = |q|2. qs invers är då q−1 = q¯/|q|2.
Vi vill hitta ett sätt att rotera vektorer i R3 i ett godtyckligt plan [j] med hjälp av H.
Betrakta först en godtycklig rotation T ∈ SO(3) och en vinkel ϕ. Från B.4 följer att det alltid finns
en egenvektor till T med egenvärde 1. Välj en ON-bas {ei}3i=1 sådan att T (ei) = ei. Vi får då att
matrisen för T i basen {ei} är
T =


1 0 0
0 cosϕ − sinϕ
0 sinϕ cosϕ

 . (15)
För en rotationsmatris gäller
T = (T1 T2 T3) = (Te1 Te2 Te3). (16)
Så varje kolumn i T svarar mot hur respektive basvektor har roterat.
Vi hittar nu en kvaternion q så att vi får samma rotation för respektive basvektorer,
qe1q
−1 = e1,
qe2q
−1 = cosϕe2 + sinϕe3,
qe3q
−1 = − sinϕe2 + cosϕ.
Låt q = exp(−ϕj/2) = cos(ϕ/2)− j sin(ϕ/2). Där j ∈ ∆2V och |j| = 1. För e1 får vi då
e1 = qe1q
−1
=
[
cos(ϕ/2)− j sin(ϕ/2)
]
e1
[
cos(ϕ/2) + j sin(ϕ/2)
]
= cos2 ϕe1 − cos
ϕ
2
sin
ϕ
2
(je1 − e1j)− sin
2 ϕ
2
je1j = e1.
5
Detta gäller vid fallet att je1 = e1j, samt ekvivalent −je1j = e1, vilket enligt definitionen för
Cliffordprodukten (11) ger att j = ±e23. Vi undersöker nu om detta även gäller för e2 och e3. Om
detta gäller har vi hittat en kvaternion för den givna matrisen.
qe2q
−1 = cosϕe2 + sinϕe3
=
[
cos
ϕ
2
− j sin
ϕ
2
]
e2
[
cos
ϕ
2
+ j sin
ϕ
2
]
= cos2
ϕ
2
e2 + cos
ϕ
2
sin
ϕ
2
(e2j − je2)− sin
2 ϕ
2
je2j
=
[
cos2
ϕ
2
− sin2
ϕ
2
]
e2 + cos
ϕ
2
sin
ϕ
2
(2e2j)
= cosϕe2 + sinϕe2j.
Här har vi använt de trigonometriska identitetetrna
cos2 ϕ− sin2 ϕ = cos 2ϕ, 2 cosϕ sinϕ = sin 2ϕ.
Vidare får vi för e3,
− sinϕe2 + cosϕe3 = qe3q
−1
=
[
cos
ϕ
2
− j sin
ϕ
2
]
e3
[
cos
ϕ
2
+ j sin
ϕ
2
]
= cos2
ϕ
2
e3 + cos
ϕ
2
sin
ϕ
2
(e3j − je3)− sin
2 ϕ
2
je3j
=
[
cos2
ϕ
2
− sin2
ϕ
2
]
e3 + cos
ϕ
2
sin
ϕ
2
(2e3j)
= cosϕe3 + sinϕe3j.
Vi ser här nu att e3j = −e2 samt att e2j = e3, vilket ger att j = e23. Vi har alltså nu hittat
en representation för matriser i SO(3) som kvaternioner. För att vi skall få en homomorfi krävs
det på grund av konvention att q = exp(−ϕj/2) (1). Om vi valt det omvända, q = exp(ϕj/2) hade
vi fått j = e32. Orienteringen på denna bivektor hade då varit motsatt riktningen av rotationen,
därför väljer vi q = exp(−ϕj/2).
Sats (Rotationer i R3). Låt V vara ett tredimensionellt högerorienterat euklidiskt rum med orien-
tering J . En rotation av v ∈ V med en vinkel φ moturs i planet [j] beskrivs genom
v → qvq−1.
Där q = exp( b2 ) ∈ spin(V ) := {q ∈ ∆
evV ; |q|2 = 1} och b = −φj, j ∈ ∆2V ; |j|2 = 1.
Vi kan observera här att den grupp av kvaternioner som ger upphov till rotationer, q ∈ spin(V )
är isomorf med enhetssfären i fyra dimensioner, S3. Detta ses tydligast genom att för
q = a+ bi+ cj + dk ∈ spin(V ) gäller att |q|2 = q¯q = a2 + b2 + c2 + d2 = 1 Uttrycken spin(V ) och
S3 kommer nedan användas synonymt. Vi kallar ett q ∈ spin(V ) för en rotor.
Vi undersöker nu strukturen hos dessa rotationer. Antag att vi har två olika kvaternioner, q1 och
q2, som båda ger samma rotation.
q1vq
−1
1 = q2vq
−1
2 . (17)
Genom att multiplicera från vänster med q−12 och från höger med q1 ges
q−12 q1v = vq
−1
2 q1. (18)
Alltså kommuterar v med q−12 q1.
6
Vi vet att skalärer är kommutativa och att addition är en kommutativ operation. Det vi behöver
undersöka nu är om rena kvaterioner, bivektorer, kommuterar med vektorer.
Vi vet att Cliffordprodukten är antikommutativ för vektorer enligt ekv. (11).
eiejk =
{
−ejkei om i = j eller i = k
ejkei om i = j = k eller k 6= i 6= j
(19)
Vad vi kan se är att om vektorn ei är en del av bivektorn, t.ex e1e31, så gör den ett ojämnt antal
”hopp” och resulterar därför i antikommutativitet, och vice versa om ei inte ligger i bivektorn. Men
vi kan hitta q−12 och q1 så att vi får en bivektordel som inte kommuterar måste bivektordelen vara
0. Det enda som återstår är då en skalär. Då spin(V ) är sluten under Cliffordprodukten så måste
q−12 q1 ∈ spin(V ) och därmed
q−12 q1 = ±1 −→ q1 = ±q2. (20)
Vi har alltså för en given rotation T finns det exakt två kvaternioner ±q ∈ spin(V ) som sva-
rar mot rotationen. Dessa två är antipodala kvaternioner på S3. Vi kan nu, med samma metod
som ovan, få fram rotationsmatrisen T för ett godtckligt q = exp(−θj/2), där
j = ae32 + be13 + ce21, a2 + b2 + c2 = 1 ges av
[
cos2(θ/2)+sin2(θ/2)(a2−b2−c2) 2ab sin2(θ/2)−c sin(θ) 2ac sin2(θ/2)+b sin(θ)
2ab sin2(θ/2)+c sin(θ) cos2(θ/2)+sin2(θ/2)(−a2+b2−c2) 2b sin2(θ/2)−a sin(θ)
2ac sin2(θ/2)−b sin(θ) 2bc sin2(θ/2)+a sin(θ) cos2(θ/2)+sin2(θ/2)(−a2−b2+c2)
]
. (21)
Härledning för denna finns i appendix B.3.
Vi vill nu hitta en invers så att vi, för en given rotationsmatris, kan få fram rotationsaxel och
vinkel. Vi kan givietvis få fram den givna kvaternionen från rotationsmatrisen genom att jämföra
med ekv. (21). Men detta kräver mycket arbete. Istället kan vi definiera Cliffordspåret TrC(R) (1)
som
TrC(R) :=
∑
i
ei M R(ei). (22)
Vi får då
TrC(R) = e1 M (R11e1 +R21e2 +R31e3)+
e2 M (R12e1 +R22e2 +R32e3)+
e3 M (R13e1 +R23e2 +R33e3) =
Tr(R) + e12(R21 −R12) + e13(R31 −R13) + e23(R32 −R23).
(23)
Där Tr(R) representerar det vanliga spåret hos matrisen, Tr(A) :=
∑
n ann. Alltså sumeringen av
diagonalelementen.
Anta att vi nu vet rotationsaxeln. Låt {e˜i} vara en ON-bas för V, där j = e˜2 ∧ e˜3 är bivektorn
parallel med planet för rotationen. Rotationsmatrisen i basen {e′i} kommer då att bli
R =


1 0 0
0 cosφ − sinφ
0 sinφ cosφ

 . (24)
Cliffordspåret kommer nu, med ekv. (23) att bli
TrC(R) = 1 + 2(cosφ+ j sinφ). (25)
Cliffordspåret är invariant till val av bas enligt följande lemma.
7
Lemma. För en linjär avbildning T har vi att Cliffordspåret är invariant till val av bas. Alltså för
två baser {ei} och {e˜i} Har vi att
TrC(Tei) = TrC(Te˜i).
Där indexet då representerar avbildningen i de två baserna.
Bevis. Låt {e˜i} vara en ON-bas till V där e˜i =
∑
i aj,iej där ej är basvektorer i standardbasen.
Basbytesmatrisen A är ortogonal. Vidare gäller att
〈e˜i, e˜k〉 = 〈
∑
j
aj,iej ,
∑
p
ap,kep〉
=
∑
j
aj,i
∑
p
ap,k〈ej , ep〉 =
∑
j
aj,iaj,k = δik.
(26)
Cliffordspåret i basen e˜j blir nu
TrC(T ) =
∑
i
∑
j
aj,iej M T (
∑
k
ak,iek)
=
∑
i
∑
j
aj,iej M
∑
k
ak,iT (ek)
=
∑
i
∑
j
∑
k
aj,iak,iej M T (ek).
(27)
Då summation är kommutativ spelar det ingen roll vilken summa vi tar först. Vidare, då A är
ortogonal, är även AT . Vi får då
TrC(T ) =
∑
j
∑
k
∑
i
aj,iak,iej M T (ek)
=
∑
j
∑
k
δjkej M T (ek)
=
∑
j
ej M T (ej) = TrC(T ).
(28)
Vi kan nu, genom att termjämföra ekv. (23) och (25), få fram φ och j som
φ = arccos
(
Tr(R)− 1
2
)
,
j =
1
sin(φ)
[
e12(R21 −R12) + e13(R31 −R13) + e23(R32 −R23)
]
.
(29)
8
3.2 Kontinuerliga rotationer och spinn
Än så länge har vi att för varje rotation finns det exakt 2 punkter på S3 som motsvarar en rotation.
Vi skall nu undersöka vad som händer med ett system när vi roterar det kontinuerligt.
3.2.1 Parametrisering av S3
Då S3 är en tredimensionell mångfald inbäddad i 4D är det är svårt att visualisera den på ett bra
sätt. Det som vi gör här är att vi lyfter alla punkter på S3 till ett klot i M2 V . Betrakta funktionen
p : ∆2V → S3,
p : b→ q.
(30)
Där b ∈ ∆2V . Vi skriver det som b = φj, där φ = |b| mod 4pi och j = b|b| . Vidare så har p formen
p(b) = exp(b/2) = cos(φ/2) + j sin(φ/2).
Randen, där |b| = 2pi + 4pik, k = 0, 1, 2, .... Alla punkter är identifierade med samma kvaternion
q = −1. Vi ser här att för |b| = 4pik är p(b) = 1. Vidare för |b| = pi+ 2pik så har vi att p(b) = b. Vi
har att p en bijektiv avbildning för |b| < 2pi på grund av injektiviteten hos exponentialfunktionen.
3.2.2 S3 enkelt sammanhängande
För en mångfald som är enkelt sammanhängande betyder det att alla slutna kurvor är homotopa,
vidare nollhomotopa.
Vi kommer här att bevisa att S3 är enkelt sammanhängande. Betrakta en sluten, kontinuerlig
kurva på S3 som inte går genom −1,
γ : [0, 1]→ S3,
γ(0) = γ(1) = qˆ,
(31)
där qˆ är en fix punkt. Vi lyfter γ till bivektorklotet ∆2V genom ekv. (30). Vi har nu en kurva,
p−1(γ(t)) i ∆2V . Vi vill hitta en homotopi mellan denna kurva och dess startpunkt, qˆ. Låt
[0, 1]× [0, 1]→ ∆22piV : (s, t)→ Γ(s, t),
Γ(s, t) = p−1(γ(t)) + s(p−1(qˆ)− p−1(γ(t)))
(32)
vara en yta genom ∆2V . Vi ser att Γ(0, t) = p−1(γ(t)), medan Γ(1, t) = p−1(qˆ). Alltså, Γ kan
kontinuerligt deformeras från p−1(γ(t)) till p−1(qˆ). För fallet när kurvan går genom sydpolen, −1,
kan vi låta den undvika sydpolen innan vi lyfter den med p genom att t.ex låta kurvan gå i en liten
halvcirkel runt sydpolen.
Alla slutna kurvor på S3 är därmed homotopa. Fundamentalgruppen är den grupp av skilda
ekvivalensklasser för en given mängd. I detta fallet de slutna kurvor som ej är homotopa. Fun-
damentalgruppen för S3 är då pi1(S3) = {1}.
3.2.3 Fundamentalgruppen för SO(3)
Vi vill nu undersöka slutna rotationskurvor i SO(3) för att kunna påvisa Z2-minnet.
Anta på samma sätt som i ekv. (31) en kontinuerlig kurva genom SO(3),
T : t ∈ [0, 1]→ SO(3),
T (0) = T (1) = I.
(33)
På samma sätt som vi lyfte en kurva på S3 till ∆2V vill vi nu lyfta T (t) till S3. Vi har en homomorfi
från kvaternioner på S3 till matriser i SO(3)
pˆ : S3 → SO(3),
T → q.
(34)
9
Formen för denna homomorfi kan t.ex ges från den allmäna rotationsmatrisen i ekv. (21). Skillnaden
mellan lyftet i ekv. (34) och lyftet i ekv. (30) är att för varje T ∈ SO(3) finns ±q ∈ S3. Vi har
alltså surjektivitet men inte injektivitet. Vi kan dock få en typ av lokal injektivitet genom att bara
betrakta en av dessa kvaternioner. Då de två kvaternionerna, som motsvarar samma T ∈ SO(3),
är antipodala kommer deras vägar aldrig korsas om vi gör en liten förflyttning av T . Vi får alltså
en lokal isomorfi från S3 → SO(3) när vi betraktar kontinuerliga rotationer och bara betraktar ett
q ∈ S3. Vi låter nu pˆ−1 vara inversen. Vi har då att
pˆ−1 ◦ T (t) : SO(3)→ S3,
pˆ ◦ T (0) = 1.
(35)
Så kurvan på S3 börjar på 1 och kommer nu att röra sig över sfären. När t närmar sig 1 finns
det nu två olika punkter den kan sluta på. Då pˆ−1 ◦ T (I) = ±1 så kommer kurvan att sluta på
antingen 1 eller -1. Det finns alltså två skilda vägar som inte tillhör samma ekvivalensklass. Den
ena, som är sluten på S3 och därmed motsvarar nollhomotop, är samma system som vi började
med. Den kurva som går från nordpol till sydpol motsvarar inte längre samma system, även om
det ser likadant ut. Denna kurva är homotop med en kurva som motsvarar rotation av 2pi radianer
runt en valfri axel, vilket vi kan se genom lyftet p i ekv. (30). Den kurva som är sluten är vidare
homotop med en kurva som går ner till −1 och sedan upp på andra sidan av S3. Alltså en rotation
av 4pi radianer runt en given axel. Det följer från dessa två skilda kurvor att fundamentalgruppen
för rotationsgruppen i tre dimensioner är
pi1(SO(3)) = {1, −1} := Z2. (36)
Detta avslutar nu avsnittet om rotationer i R3. Vi har visat hur vi väldigt enkelt kan rotera vektorer
med hjälp av kvaternioner. Men vi kan inte längre använda SO(3) för att beskriva rotationer av
objekt som har detta Z2-minne. Vi kommer nu att flytta fokus från vektorer till spinorer.
10
4 Spinorer
Z2-minnet återkommer, som vi nämnt, till exempel inom kvantmekaniken. En elektron vars spinn-
tillstånd har roterat 2pi radianer är inte längre i sitt ursprungliga grundtillstånd utan har istället
hamnat i motsatt tillstånd.
Vad vi menar med tillstånd och rotation här är ett kvantmekaniskt tillstånd, och en rotation här
är en rotation i tillståndsrummet (dock är denna relaterad till en ”fysikalisk rotation”, som beter
sig mer normalt, med en period på 2pi): |ψ〉 = ψ+ |+〉+ ψ− |−〉, där ψ+, ψ− är komplexa tal, och
|+〉 , |−〉 är tillstånden ”spinn upp” respektive ”spinn ned”, ett kvantmekaniskt tillstånd motsvarar
en sannolikhet i den mening att exempelvis om man mäter ett system i tillstånd |ψ〉 i ”spinn
upp/ned” riktningen är 〈+|ψ〉 sannolikheten att man får ett mätvärde i ”spinn upp”, där +ψ är
en seskvilinjär skalärprodukt mellan det kvantmekaniska tillståndsrummet (beskrivs med |〉, en
”cket”) som är ett Hilbertrum, och dess duala rum (beskrivs med 〈|, en ”bra”, tillsammans utgör
de ”bracket” notationen).
I kvantmekaniken finns ”operatorer”, objekt som kan ändra ett tillstånd, och om en operator A är
hermitesk är 〈a|A|a〉 ett väntevärde som motsvarar en observabel som man kan mäta. Tidsutveck-
lingen hos ett kvantmekaniskt system är beroende av dess hamiltonian, H, som alltid är hermitesk
och om hamiltonianen är tidsoberoende fås evolutionen som en operator exp(−iHt/~) (specifikt är
tidsutvecklingen hos ett system dess tillstånd vid specifika tidspunkter, och blir exp(−iHt/~) |t0〉,
där |t0〉 är tillståndet i tid |t0〉, för det tillstånd som intresserar oss). Det fall som intresserar oss är
när en elektron befinner sig i ett externt statiskt (tidsoberoende) magnetfält, och hamiltonianen
kan då skrivas som H = ωSz, där ω = |e|B/(mec).
Tidsevolutionen ges då av exp(−iωSz/~) |ψ〉 = exp(−iωtSz/~)(ψ+ |+〉+ψ− |−〉) = ψ+e(−iω/~)Sz |+〉
+ψ−e(−iωt/~)Sz |−〉 = ψ+e−iωt/2 |+〉+ψ−eiωt/2 |−〉. Detta är eftersom |+〉 , |−〉 är spinntillstånd i
z-led, och är därmed egentillstånd (motsvarar egenvektorer) till Sz operatorn. Den har egenvärden
±~/2 (exp(A) för operatorn A betraktas i stort på samma sätt som om A vore en matris, i detta
fall kan operatorn Sz till och med beskrivas med en matris. Med andra ord eftersom |+〉 , |−〉 är
egentillstånd till Sz med egenvärden ±~/2 är de även egentillstånd till exp(Sz) med egenvärden
e±~/2). Om man betraktar tidsutvecklingen för |ψ〉 ser man i exponentialen ±iωt/2. Division med
2 innebär att vi får en period T = 4pi/ω, vilket är en annan precession än den som skulle vara om
man mäter på egenvärdet 〈ψ|Sz|ψ〉, det vill säga om man mäter väntevärdet på spinn i z-led, som
har period T = 2pi/ω. Det kommer senare i texten uppdagas för läsaren att tillståndet vi bemärkte
med |ψ〉 i inledningen är en spinor, vars natur kommer gås igenom i texten.
Så med ”motsatt tillstånd” här menas inte övergång i stil med ”spinn upp” → ”spinn ned” utan
istället |ψ〉 → − |ψ〉, eller ”spinn upp” → ”minus spinn upp”. Denna övergång är dock mätbar, med
exempelvis neutroninterferometri.
Om läsaren vill fördjupa sig i ämnet rekommenderas varmt (3).
Z2-minnet hos elektroner medför att SO(3) inte kan beskriva en elektrons spinn. Vad som krävs
är en representation av spin(V ), ρ, sådan att ρ(−1) = −I. Vi kommer i detta avsnitt gå in på just
detta. Vi definierar en representation ρ från den jämna Cliffordalgebran till algebran av matriser
för ett tillhörande spinorrum. Spinorrummet är alltså ett rum som existerar med ett tillhörande
vektorrum. Vi kommer senare visa att spinorrummet är oberoende av hur vi representerar Cliffor-
dalgebran. De olika representationerna är relaterade via basbyte.
4.1 Grupprepresentation
Vi kommer nu att börja titta på spinorummet. Vi definierar först en grupprepresentation av spin(V )
som en slät grupphomomorfi från spin(V ) till matriser för ett linjärt rum
11
ρ : spin(V )→ L(S),
ρ(−q) = −ρ(q).
(37)
Vi får en injektiv representation så att för varje matris i bilden av ρ finns det exakt en rotor i
spin(V). På samma sätt som bivektorer kan användas för att rotera vektorer kan de även användas
för rotation av spinorer. För en representation med egenskapen att ρ(−q) = −ρ(q) kallar vi S för
ett spinorrum. Spinorerna är då de objekt som matriserna i L(S) opererar på.
Vi kommer att ta fram matrisrepresentationer av Cliffordalgebran då spin(V ) ⊂ H ⊂ ∆V och så
kommer vi, genom våra representationer av ∆V , även att få en grupprepresentation för spin(V ).
4.2 Dimensionsanalys
Vi kommer återigen att begränsa oss till att V = R3. Vi har då att dimR(∆V ) = 8. Vi kommer här
att ta fram representationer till tvådimensionella komplexa matriser. Algebran för dessa matriser
betecknas L(C2). Vi vill hitta en isomorfi mellan Cliffordalgebran och matriserna för spinorrumet.
För att kunna täcka hela matrisalgebran behöver vi att dimensionerna är samma, i detta fallet
är både definitionsmängd och värdemängd 8 dimensionellt. Skillnaden är dock att vi går från en
reell algebra till en komplex. Genom att låta trivektorn e123 := J har vi att J2 = −1. Vidare kan
vi skriva en multivektor i Cliffordalgebran som w = w0 + w1, där w0 ∈ ∆evV och w1 ∈ ∆odV .
Vi låter nu w1 = Jw2, där w2 ∈ ∆evV . Det vi ser nu som att ∆V är isomorft med de komplexa
kvaternionerna Hc. Vi skriver en komplex kvaternion som qc = q1 + Jq2, där q1 och q2 båda är
reella kvaternioner enligt representationen vi gjorde i avsnitt 3.1. Vi har nu en komplex algebra
Hc sådan att dimR(Hc) = 8 = dimR(L(C2)). Vi kan nu hitta en isomorfi mellan de komplexa
kvaternionerna och matriser i L(C2).
4.3 Matrisrepresentationer av Cliffordalgebran
Här kommer vi att ta fram matrisrepresentationer av Cliffordalgebran och visa att de olika re-
presentationerna inte påverkar strukturen hos spinorrummet utan förser oss endast med ett annat
perspektiv av det.
4.4 Matriser för Cliffordalgebran
I detta avsnitt kommer vi att visa hur vi kan representera underalgebror hos Cliffordalgebran med
matriser. En algebrahomomorfi är en homomorfi ρ : ∆V → L(S), sådan att för w ∈ ∆V ,
ρ(w)2 = ρ(w2) = ρ(〈w〉2) = 〈w〉2I.
4.4.1 Komplexa matriser som reella matriser
Vi vill först hitta ett sätt att beskriva komplexa matriser som reella matriser.
Vi tittar först på det endimensionella fallet för C
ϕ1 : L(C) −→ L(R2) = ∆R2 =⇒ ϕ1(a+ bi) :=
[
a b
−b a
]
, a, b ∈ R2. (38)
Det går lätt att visa att ϕ1 är en injektiv homomorfi, det är dock ingen isomorfi då den ej är
surjektiv.
Vi går nu vidare genom att utvidga ϕ1 till komplexa 2 x 2-matriser. Vi får för zi = ai + ibi,
12
ϕ2 : L(C2)→ L(R4),
[
z1 z2
z3 z4
]
=
[
a1 + ib1 a2 + ib2
a3 + ib3 a4 + ib4
]
→
[
ϕ1(a1 + ib1) ϕ1(a2 + ib2)
ϕ1(a3 + ib3) ϕ1(a4 + ib4)
]
=




a1 b1 a2 b2
−b1 a1 −b2 a2
a3 b3 a4 b4
−b3 a3 −b4 a4



 .
(39)
Funktionen ϕ2 : L(C2)→ L(R4) är en injektiv homomorfi.
Vi kan även hitta en isomorfi för vektorerna som dessa matriser verkar på sådan att
% : C2 → R4,
[
z
w
]
=
[
a1 + ib1
a2 + ib2
]
→




a1
b1
a2
b2



 ∈ R
4.
4.4.2 Representation av kvaternioner som komplexa matriser
Vi ska nu ta fram de två representationer för kvaternionerna vi kommer att använda i detta arbete.
Vi vill hitta en isomorfi ρ : Hc → L(C2), där är Hc enligt ovan isomorft med ∆R3.
Vi kommer först att betrakta representationer av reella kvaternioner H, så att för q = a+ bi+ cj+
dk ∈ H, där a, b, c, d ∈ R. q kan skrivas som q = a+ bi+ cj + dij = (a+ bi) + (c+ di)j = z+wj.
Vi kan nu använda oss utav ϕ1 för att ta fram en liknande homomorfi för kvaternionerna. Från
(2), får vi en representation
ρ1 : H→ L(C2),
ρ1(z + wj) :=
[
z w
−w¯ z¯
]
.
(40)
Där är w¯, z¯ respektiv komplex konjugation av w och z.
Från (1) får vi nu ytterligare en representation för H,
ρ2 : H→ L(C2),
ρ2(q = a+ bi+ cj + dk) =
[
a− ci d− bi
−d− bi a+ ci
]
.
(41)
För att nu få en isomorfi behöver vi att dessa representationer kan utvidgas till de komplexa
kvaternionerna q = a+ bi+ cj + dk, där a, b, c, d ∈ ∆0V ⊕∆3V alltså är tal med den komplexa
struktur J som ansattes i 4.2. Låt nu ρ : H → L(C)2 vara en homomorfi. Vi komplexifierar
avbildningen ρ till ρ˜ : Hc → L(C2) sådan att för den komplexa strukturen J har vi att ρ˜(J) = iI,
där i ∈ C. En kvaternion Hc 3 q = q1 + Jq2 representeras nu genom ρ˜(q) = ρ(q1) + iρ(q2). Det
följer av de homomorfa egenskaperna hos ρ att detta är en giltlig komplexifiering. Det följer från
appendix B.2 att ρ1 och ρ2 är homomorfier. Vi utvidgar nu dessa till att även representera de
komplexa kvaternionerna. Vi har nu två surjektiva homomorfier från ∆V till L(C2). Vad som är
kvar att visa är injektivitet.
Lemma (Injektivitet hos representationer). En representation ρ : H → L(C2) som är en homo-
morfi är också injektiv.
13
Bevis. Låt ρ : Hc → L(C2) vara en homomorfi som ovan. För att ρ skall vara injektiv gäller att
ρ(q) = 0 om och endast om q = 0. Då representationen q = a+ bi+ cj + dk är linjär följer att,
ρ(q) = ρ(a+ bi+ cj + dk) = aρ(1) + bρ(i) + cρ(j) + dρ(k) = 0.
Vi multiplicerar nu från vänster med konjugatet ρ(q¯),
ρ(q¯)ρ(q) = ρ(q¯q)
= ρ(a2 + b2 + c2 + d2)
= (a2 + b2 + c2 + d2)ρ(1) = ρ(q¯)0 = 0.
Detta gäller endast om a2 + b2 + c2 + d2 = 0 ⇔ a = b = c = d = 0. Vi ser nu att om ρ är en
homomorfi gäller för ρ(q1) = ρ(q2)⇔ ρ(q1 − q2) = 0⇔ q1 = q2, vilket visar injektivitet.
Vi har nu alltså två isomorfier som båda representerar Cliffordalgebran till V .
4.4.3 Koppling mellan representationerna
Vi ska här visa relationerna mellan två representationer av Cliffordalgebran. Vi kommer hitta en
automorfi mellan representationerna som relaterar dessa via basbyte.
Vi har våra två representationer av kvaternionerna.
ρ1 : Hc →L(C),
ρ2 : Hc →L(C),
ρ1(a+ bi+ cj + dk) =
[
a+ bi c+ di
−c+ di a− bi
]
,
ρ2(a+ bi+ cj + dk) =
[
a− ci d− bi
−d− bi a+ ci
]
.
(42)
Vi undersöker nu relationerna mellan dessa. Båda två avbildar 1 på I och −1 på −I. L(C2) är
därmed fortfarande operatorer till ett tillhörande spinorrum. Vi vill nu hitta en koppling mellan
dessa två representationer. Vi kan definiera en automorfi φ : L(C)→ L(C) sådan att
φ(ρ1(q)) = ρ2(q). (43)
För ρ1(q) = M ∈ L(C2) har vi då att φ(M) = ρ2 ◦ ρ−11 (M) = ρ2 ◦ ρ
−1
1 (ρ1(q)) = ρ2(q), vilket
är vad vi letar efter. Denna automorfi är väldefinierad då inversen existerar. Låt oss nu observera
strukturen hos dessa två representationer,
ρ1(1) = I = ρ2(1),
ρ1(−1) = −I = ρ2(−1),
ρ1(i) =
[
i 0
0 −i
]
= ρ2(−j),
ρ1(j) =
[
0 1
−1 0
]
= ρ2(k),
ρ1(k) =
[
0 i
i 0
]
= ρ2(−i).
(44)
Så vi har att för q ∈ H,
±1→ ±1,
i→ −j,
j → k,
k → −i.
(45)
14
Vi försöker nu hitta ett qs = a + bi + cj + dk, så q → qsqq−1s som ger samma struktur som ekv.
(45) ovan.
qsi = −jqs ⇔ ai− b− ck + dj = −aj + bk + c− di, (46)
detta ger c = −b, d = −a.
qsj = −kqs ⇔ aj + bk + b+ ai = −ak − bj − bi− a, (47)
detta ger a = −b. Vi har därmed qs = a − ai + aj − ak normerar vi detta får vi a = 1/2. ρ1 och
ρ2 är därmed relaterade med en rotation i H. Vi har alltså
ρ1(qsqq
−1
s ) = ρ1(qs)ρ1(q)ρ1(q
−1
s ) = ρ2(q). (48)
Matrisen ρ1(qs) ser ut som
ρ1(qs) = T =
1
2
[
1− i 1− i
−1− i 1 + i
]
. (49)
Vi har nu en automorfi φ sådan att
φ(ρ1(q)) = Tρ1(q)T
−1 = ρ2(q). (50)
Vi ser här att dessa två representationer är relaterade via ett basbyte enligt appendix B.1. Det
visar sig faktiskt att alla representaioner för L(C2) är relaterade via ett basbyte. Detta summeras
i satsen nedan.
Sats (Automorfier i L(S) då dimC(S) = 2). Algebran för matriser till ett vektorrum S av komplex
dimension 2 är komplett, i den meningen att för varje automorfi φ : L(S)→ L(S), ∃ T ∈ L(S) så
att φ(X) = TXT−1, ∀X ∈ L(S). T är unik upp till multiplikation med skalär.
Bevis. (1) Detta bevis är tvådelat. Låt först, v =
[
v1
v2
]
, X = v
[
1 0
]
=
[
v1 0
v2 0
]
och E =
[
0 0
1 1
]
.
Eftersom E inte är inverterbar är inte heller φ(E) det, med andra ord kolumnerna i φ(E) är
linjärt beroende. Låt nu {ei} vara en ON-bas för S så att e1 är parallell med kolumnerna i (φ(E)),
vidare låt e2 =
[
x1
x2
]
.
Vi ser att
XE = 0⇒ φ(XE) = φ(X)φ(E) = 0,
då är kolumnerna i φ(E) ‖ e1. Detta är ekvivalent med att φ(X)e1 = 0.
Vi har nu att
φ(X) = φ(X)I =
=φ(X)(e1e
>
1 + e2e
>
2 ) = φ(X)e2e
>
2 .
Låter vi nu
Av := φ(X)e2.
Får vi genom multiplikation från vänster av e>2 ,
φ(X) = Av
[
x1 x2
]
.
Med liknande argumentation kan vi visa att för en matris U =
[
1
0
]
u> =
[
0 0
u1 u2
]
.
φ(U) =
[
y1
y2
]
u>B,
15
där u =
[
u1
u2
]
.
Vidare gäller att
φ(vu>) = φ(v
[
1 0
]
[
1
0
]
u>)
= φ(X)φ(U) = Av
[
x1 x2
]
[
y1
y2
]
u>B
= λAvu>B,
där λ =
[
x1 x2
]
[
y1
y2
]
. Låt nu T := λA. Vi har då ∀u, v ∈ S : φ(vu>) = Avu>B.
Låt oss nu titta närmare på
φ(v1u
>
1 v2u
>
2 ) = φ(v1〈u1, v2〉u
>
2 ) = 〈u1, v2〉φ(v1u
>
2 )
= 〈u1, v2〉Tv1u
>
2 B.
(51)
Samtidigt har vi att
φ(v1u
>
1 v2u
>
2 ) = φ(v1u
>
1 )φ(v2u
>
2 ) = Tv1u
>
1 BTv2u
>
2 B.
Vi ser nu att
〈u1, v2〉Tv1u
>
2 B = Av1u
>
1 BTv2u
>
2 B.
Vi flyttar in 〈u1, v2〉,
Tv1u
>
1 v2u
>
2 B = Tv1u
>
1 BTv2u
>
2 B.
Här kan vi deducera att BT = I ⇔ B = T−1 alltså för matriser på formen vu>,
φ(vu>) = Tvu>T−1.
För godtyckliga matriser kan vi skriva dessa som en linjärkombination utav matriser på formen
vu>. Vi kan sedan använda linjäriteten hos automorfin och får då att
φ(X) = TXT−1 ∀X ∈ L(S).
Att de är unika ses lättast genom
T1XT
−1
1 = T2XT
−1
2 ⇔ T
−1
2 T1X = XT
−1
2 T1.
Med X godtycklig har vi att T−12 T1 kommuterar med samtliga matriser. Eftersom de 2x2 kom-
plexvärda matriserna är isomorfa med Hc innebär det att det finns en motsvarande komplexvärd
kvaternion qT−12 T1 som kommuterar med samtliga komplexvärda kvaternioner. De enda kvaterni-
oner som kommuterar med samtliga är skalära tal (eftersom att i j och k ej kommuterar). Detta
medför att qT−12 T1 = β, där är β ett komplext tal. Om vi nu återgår isomorft till matriserna fås
T−12 T1 = βI, alltså T1 = βT2.
Vad vi kommit fram till här är att spinorrummet är ett geometriskt rum inbäddat i Cliffordalge-
bran. Vi kan hitta olika representationer för det med dessa olika förser en bara med olika perspektiv
på spinorerna.
Detta avslutar nu teoridelen. Vi har visat hur vi kan rotera vektorer i R3 med hjälp av kvaternioner.
Vidare har vi även visat Z2-minnet hos SO(3) och argumenterat för att vi behöver en representa-
tion för att beskriva objekt som har detta minne. Spinorerna har då detta Z2-minne som inte kan
observeras genom vanliga vektorer. Vi har tagit fram representationer för operatorer på spinorerna.
I vårt interaktiva program har vi tagit fram visualiseringar av vektorummet och spinorrummet
och kommer att kunna demonstrera detta fenomen tydligt.
16
5 Kodningen bakom VR, BR och SR
Under projektet har vi producerat tre program, VR, BR och SR (står för Vektorrymd, Bivektor-
rymd samt Spinorrymd). VR och BR är visualiseringar av de parametriseringar mellan bivektor-
rymden och vektorrymden
BR→ L(V R), b→ T, Tv = eb/2ve−b/2.
(se även (30) samt avsnittet om kvaternioner och rotationer i R3 3.1. ) De är skapade i pedagogiskt
syfte. Användaren skall kunna visuellt få demonstrerat för sig att SO(3) har ett Z2-minne i den
meningen att när ett vektorsystem roterat ett helt varv kommer inte en punkt i bivektorrymden
som kontinuerligt följt detta system ha återställts. Bivektorn befinner sig då istället på randen,
|b| = 2pi. Alla b som uppfyller detta motsvarar, enligt ekv. (30), samma kvaternion −1, b→ eb/2.
SR visualiserar representationen mellan bivektorrymden och spinorrymden
BR→ L(SR), b→ T˜ , T˜ψ = ρ(eb/2)ψ.
Där ψ är en spinor. Man kan se i programmet som visualiserar spinorer att efter att en punkt
i bivektorrymden förflyttats till sin rand kommer spinorer inte ha återställts, utan har istället
hamnat i motsatt konfiguration: ψ → −ψ.
BR och SR behöver programmet quaternion.m för att fungera. SR behöver även platonic_solid.m.
I samtliga program finns en Bivektor-Spinor- samt Vektorrymd uppvisade som grafiska element.
Bivektorrymden består av ett klot med radie 2pi, där motsvarar punkterna de enhetskvaternio-
ner som finns i S3, och relateras till de rena bivektorerna med q = exp(b/2). Det finns däri ett
litet rött klot som representerar en punkt i bivektorklotet. Den sitter till en början i origo men
när programmet används kommer den att börja flytta runt. Tre ”skuggbilder”, mer transparenta
punkter projicerade på de tre axlarna kommer att synas för att ge bättre insikt i vart i klotet
punkten befinner sig. Eftersom denna avbildning har ett modulus på 4pi är den röda punkten i
programmet inställd på att då den börjar hamna utanför 4pi så ska den flyttas innanför klotet
men speglas så att den behåller den sista flyttningen som användaren gjorde på systemet (dvs.
b → −(4pi − |b|) · b/(|b|). Det finns även ett sfäriskt skal inritad i området |b| = pi som motsvarar
ekvatorn för kvaternionerna i S3, för att användarna skall få bättre koll på vilka kvaternioner som
motsvarar den givna rotationen. Spinorrymden är väldigt lik Bivektorrymde i den mening att den
har en sfär och ekvator men det finns istället fyra punkter, en för varje spinor som hade utgört en
bas i fyra dimensioner. Dessa är utritade som platonska kroppar. Istället för skuggbilder är krop-
parna projicerade ned på z = −10 och x = 10 -planen för att ge en tydligare bild av deras lägen.
Vektorrymden består av tre vektorer som representerar en bas i R3, som efter grafiken uppdateras
kommer att börja rotera.
I samtliga program finns även interaktionsobjekt, objekt som en användare kan interagera med
för att göra ändringar i grafiken. Dessa utgörs av planytor, tre olika plan som motsvarar projek-
tioner/skärningar av x− y, z − x och y − z-planen.
I programmet VR är dessa interaktionsplan projektioner av vektorrymden, där samtliga vektorer
finns projicerade. Om interaktionspunkten kommer tillräckligt nära någon vektor kommer vektorn
rotera så den pekar på interaktionspunkten. Samtliga vektorer kommer då att förflyttas och hela
systemet ändras, vilket även kommer att flytta punkten i Bivektorrymden. Denna kommer att läg-
ga sig i den punkt som motsvarar den axel och det vinkelutslag som hade roterat vektorrymden in i
dess befintliga läge i en rotation. Detta läge fås genom användning av Cliffordspåret (29). Eftersom
Bivektorrymden är 2-1 finns det egentligen fler sätt att göra dessa. Men om vi sätter kriterierna
att flyttningarna ska vara kontinuerliga och att b = (0, 0, 0) motsvarar vektorns grundsystem finns
bara ett sätt.
17
I BR är interaktionsplanen skärningsplan av Bivektorrymden genom origo, parallellt med x −
y, z − x.y − z planen. De objekt man kan interagera med i dessa är röda punkter, som motsvarar
klotpunkten i Bivektorrymden. Om interaktionspunkten kommer tillräckligt nära någon av planens
klotpunkter kommer klotpunkten att ”dras” till denna punkt, vilket kommer att ändra punkten i
Bivektorrymden. Detta kommer sedan uppdatera grafiken i VR på så sätt att systemet roterar in
till motsvarande läge.
BR och VR visar Z2-minnet i den mening att när vektorsystemet roterat ett fullt varv och åter-
ställts till samma läge kommer inte klotpunkten att infinna sig i grundposition, utan det är först
efter två varv som klotpunkten återställs. Om man till exempel enbart roterar i z-axeln (x− y pla-
net) kommer klotpunkten att befinna sig i (0, 0, 2pi)/(0, 0,−2pi) (dessa motsvarar samma punkt),
medan vektorsystemet då är i grundläget.
SR har samma interaktionsmoment som BR. Skillnaden är att spinorer, istället för vektorer, kom-
mer förflyttas. Det som kommer visa sig här är att spinorerna inte befinner sig i grundläge då
klotpunkten rört sig 2pi från sin grundposition, istället kommer samtliga spinorer att finnas i de
antipodala lägena till sitt grundläge (representationer av operatorer till spinorrymden har egen-
skapen att ρ(−1) = −I).
18
BR, ∆2R3
S3
bortsett från −1
SO(3) SR, L(C2)
Bijektiv,
Injektiv
Surjektiv,
lokalt injektiv
Figur 2: Avbildning mellan olika vektorrum
19
Litteraturförteckning
[1] Rose´n, Andreas Geometric Multivector Analysis. Birkhäuser, Cham (forthcoming) 2019.
[2] Tapp, Kristopher. Matrix Groups for Undergraduates. AMERICAN MATHEMATICAL SOCI-
ETY 2005.
[3] Sakurai, Jun John.Modern Quantum Mechanics,2nd Edition. Addison-Wesley Publishing Com-
pany 1994.
[4] Mathoma.
Geometric Algebra in 3D - Fundamentals. Hämtad 2019-02-17 från https:
//www.youtube.com/watch?v=ElLl6gzNbFE&list=PLpzmRsG7u_gqaTo_vEseQ7U8KFvtiJY4K&
index=9 Publicerades 27 december 2016.
20
A Visualisering av yttre algebran
Figurer
1 Cliffordalgebrans struktur i R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Avbildning mellan olika vektorrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Visualisering av yttreprodukten av vektorer u och v . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4 e1e2 i xy-plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5 e2e3 i yz-plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6 e3e1 i zx-plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7 Yttreprodukten av tre linjärt oberoende vektorer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8 Basbytesdiagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
u
v
Figur 3: Visualisering av yttreprodukten av vektorer u och v
e1
e2
Figur 4: e1e2 i xy-plan
e2
e3
Figur 5: e2e3 i yz-plan
e3
e1
Figur 6: e3e1 i zx-plan
21
e1
e2
e3
Figur 7: Yttreprodukten av tre linjärt oberoende vektorer.
22
B Kompletterande Teori
B.1 Basbyten
I linjär algebra lär vi oss att till en linjär avbildning av ett vektorrum V g : V → V finns en
matris A sådan att g(v) = AvE , för en vektor v ∈ V , där A = (g(e1) g(e2) ... g(en)) och vE är
koordinaterna i basen E = (e1 e2 ... en). Om vi nu låter F = (f1 f2 ... fn) vara en annan bas
för V , sådan att FvF = vE , gäller att g(v) = AF vF , där AF = (g(f1) g(f2) ... g(fn)). Vidare
följer att vi kan skriva AF som
AF = F
−1AF
Detta förtydligas i nedanstående diagram.
vE AEvE
vF AF vF
AE = g(en)
AF = F
−1
AF
F
−1 F
Figur 8: Basbytesdiagram
23
B.2 Homomorfa matrisrepresentationer
Vi visar nedan att de representationer för kvaternionera som vi valde i 4.4.2 faktiskt är homomorfier.
Bevis. Låt φ : H→ L(C2),
Genom φ(a+bi+cj+dk)=
[
a+ bi c+ di
−c+ di a− bi
]
, där a,b,c,d ∈ R.
För att visa att detta är en homomorfi måste vi visa att den bevarar multiplikation och addition.
För att visa att den bevarar addition, låt
φ((a+ bi+ cj + dk) + (e+ fi+ gj + hk)) =
φ((a+ e) + (b+ f)i+ (c+ g)j + (d+ h)k)=
[
(a+ e) + (b+ f)i (c+ g) + (d+ h)i
−(c+ g) + (d+ h)i (a+ e)− (b+ f)i
]
=
=
[
a+ bi c+ di
−c+ di a− bi
]
+
[
e+ fi g + hi
−g + hi e− fi
]
=φ(a+ bi+ cj + dk) + φ(e+ fi+ gj + hk).
Vilket visar att den bevarar addition. För att visa att den bevarar multiplikation låt
φ((a+ bi+ cj + dk)(e+ fi+ gj + hk)) =
φ((ae− bf − cg + dh) + (af + be+ ch− dg)i+ (ag − bh+ ce+ df)j + (ah+ bg − cf + de)k) =


(ae− bf − cg + dh) + (af + be+ ch− dg)i (ag − bh+ ce+ df) + (ah+ bg − cf + de)i
−(ag − bh+ ce+ df) + (ah+ bg − cf + de)i (ae− bf − cg + dh)− (af + be+ ch− dg)i


=
[
a+ bi c+ di
−c+ di a− bi
] [
e+ fi g + hi
−g + hi e− fi
]
= φ(a+ bi+ cj + dk)φ(e+ fi+ gj + hk).
Vilket visar att den bevarar multiplikation. Alltså är φ en homomorfi.
Med samma argument som ovan kan man även se att
ψ : H→ L(C2) är en homomorfi, där
ψ(a+ bi+ cj + dk) =
[
a− ci d− bi
−d− bi a+ ci
]
.
B.3 Rotationsmatris för godtycklig axel och vinkel i VR
Från linjär algebra lär vi oss att en rotation bestäms av vart den tar basvektorerna. Om vi vill
lära oss hur rotationsmatrisen för en godtycklig axel och godtycklig vinkel räcker det alltså att vi
kollar på basvektorerna. Detta kan vi göra med hjälp av kvaternioner. Vi har att
R = (Re1 Re2 Re3), där R är vår rotationsmatris och
Re1 = qe1q
−1,
Re2 = qe2q
−1,
Re3 = qe3q
−1.
Där q = exp(−jφ2 ), j = ae32 + be13 + ce21, a, b, c ∈ R och a
2 + b2 + c2 = 1. Om vi räknar på detta
får vi att
qe3q−1 = (cos(θ/2)− j sin(θ/2))e3(cos(θ/2) + j sin(θ/2)) =
24
=( cos(θ/2)e3 + (ae23 sin(θ/2)− be13 sin(θ/2) + ce12 sin(θ/2))e3(cos(θ/2) + j sin(θ/2)) =
=( cos(θ/2)e3+a sin(θ/2)e2−b sin(θ/2)e1+c sin(θ/2)e123)(cos(θ/2)−a sin(θ/2)e23+b sin(θ/2)e13−
c sin(θ/2)e12) =
= cos2(θ/2)e3+a cos(θ/2) sin(θ/2)e2−b cos(θ/2) sin(θ/2)e1−c cos(θ/2) sin(θ/2)e312+a cos(θ/2) sin(θ/2)e2−
a2 sin2(θ/2)e3+ab sin
2(θ/2)e213+ac sin
2(θ/2)e1−b cos(θ/2) sin(θ/2)e1+ab sin
2(θ/2)e123−b2 sin
2(θ/2)e3+
bc sin2(θ/2)e2 + c cos(θ/2) sin(θ/2)e123 + ac sin
2(θ/2)e1 + bc sin
2(θ/2)e2 + c2 sin
2(θ/2)e3 =
= cos2(θ/2)e3 + sin
2(θ/2)(−a2 − b2 + c2)e3 + 2a cos(θ/2) sin(θ/2)e2 − 2b cos(θ/2) sin(θ/2)e1 +
2bc sin2(θ/2)e2 + 2ac sin
2(θ/2)e1 =
=(2ac sin2(θ/2)−b sin(θ))e1+(2bc sin
2(θ/2)+a sin(θ))e2+(cos2(θ/2)−a2 sin
2(θ/2)−b2 sin2(θ/2)+
c2 sin2(θ/2))e3.
Om man gör motsvarande beräkningar för e1 och e2 får man att
qe1q−1 = (cos2(θ/2) + a2 sin
2(θ/2)− b2 sin2(θ/2)− c2 sin2(θ/2))e1 + (2ab sin
2(θ/2)− c sin(θ))e2 +
(2ac sin2(θ/2) + b sin(θ))e3,
qe2q−1 = (2ab sin
2(θ/2) + c sin(θ))e1 + (cos2(θ/2)− a2 sin
2(θ/2) + b2 sin2(θ/2)− c2 sin2(θ/2))e2 +
(2b sin2(θ/2)− a sin(θ))e3.
Vi får då att
R =
[
cos2(θ/2)+sin2(θ/2)(a2−b2−c2) 2ab sin2(θ/2)−c sin(θ) 2ac sin2(θ/2)+b sin(θ)
2ab sin2(θ/2)+c sin(θ) cos2(θ/2)+sin2(θ/2)(−a2+b2−c2) 2b sin2(θ/2)−a sin(θ)
2ac sin2(θ/2)−b sin(θ) 2bc sin2(θ/2)+a sin(θ) cos2(θ/2)+sin2(θ/2)(−a2−b2+c2)
]
B.4 En rotation i R3 är alltid kring en axel
Bevis. Detta påstående innebär att för en allmän rotation kring origo finns alltid en linje (rotations-
axel) som inte har förflyttat sig med avseende på grundläget. Detta är bevisat om man kan visa att
samtliga element R ∈ SO(3) har en egenvektor v för vilken Rv = v. Detta är identiskt med att på-
stå att samtliga matriser i SO(3) har ett egenvärde λ = 1, eller att det(R−I) = 0. För att visa detta
använder vi att eftersom R> = R−1 gäller R−I = R−RR> = R·(I−R>) = R·(I−R)> vi har även
för rotationsmatriser att det(R) = 1, samt att för godtyckliga A,B är det(AB) = det(A) · det(B)
och det(A>) = det(A). Med dessa beräknas
det(R− I) = det(R · (I −R)>) = det(R) · det(I −R) = det((−1) · (R− I)) = (−1)3 · det(R− I) =
−det(R− I).
Eftersom det(R− I) = −det(R− I) måste det(R− I) = 0.
25
C KOD
C.1 VR
1 c l f ; c l e a r a l l ;
2 %int rodukt i on
3 %{
4 %Detta program ’ar skapat i samband med e t t kandidatpro jekt ,
5 %och ’ar menat at t vara en de l i e t t paket av t r e
6 %(VR,BR och SR, d’ar VR s t å r f’or vektorrymden ,
7 % BR f’or bivektorrymden och SR f’or spinorrymden ) .
8
9 %f’or a t t kunna k’ora BR och SR kr’avs quatern ion .m
10 %SR kr’aver ’aven p l a t on i c_so l i d .m
11
12 %Vardera program s k a l l gå a t t anv’anda utan t i l l g ång t i l l de andra , och
gå r
13 %att anv’anda utan djupare kunskap i matematiken om bara f’or n’oj e s s k u l l
.
14
15 %Denna in l edn ing ’ar sk r i v en f’or a t t ge i n s i k t i vad de o l i k a
16 %programmen g’or , vad de ’ar t i l l f’or , hur man anv’ander dem , och hur de ’a
r
17 %uppbyggda .
18 %Den ’ar sk r i v en f’or a t t f’or s’oka s å l ångt det gå r e nh e t l i g t
19 %beskr iva samt l i ga t r e program samtid igt , s å
20 %att det i n t e f i n n s behov av at t l’asa in l edn ingen i någon av de andra .
21
22 %Mer s p e c i f i k a d e t a l j e r r e l a t e r ad e t i l l v a r j e kods uppbyggnad ; vad de
o l i k a
23 %momenten g’or och va r f’or de s k r i v s på det s’at t de g’or s s k a l l s k r i v a s n’a
ra
24 %t i l l h ’orande kodstycke .
25
26 %Kunskaper kr ing programmering tenderar a t t var i e ra , s å jag har
27 %f’or e d r a g i t a t t ta upp " f’or många d e t a l j e r " ’an f’or f å i texten , s å
koden
28 %sk a l l vara enke l a t t f’or s t å ’aven utan t i d i g a r e kunskaper .
29 %Jag ’ar s j’al v i n t e mycket av en kodare , och genom att be sk r iva s å
30 %mycket av l og i k en som m’oj l i g t ’ar det f’orhoppn ingsv i s t enk la r e f’or en
mer
31 %van at t g’ora f’or’andr ingar denne tycker beh’ovs .
32
33
34 %BR och VR ’ar en v i s u e l l demonstrat ion av hur kvatern ionerna
35 %dubbelt t’acker gruppen SO(3) , som be sk r i v e r r o t a t i o n e r i 3D.
36 %SR ’ar en v i s u a l i s e r i n g av sp inore r , som har egenskapen at t de i n t e
37 %å t e r s t’a l l t s e f t e r 360 graders , utan 720 grader s r o t a t i on
38 %( s p e c i f i k t ’ar a t t f’or en spinor−r ep r e s en t a t i on p ’ar p(−1)=−I )
39
40 %Programmens s t ruk tu r e r ’ar på många s’at t l i k a ;
41 %Den f’or s t a koden i va r j e program har jag s a t t ut parametrar som ’ar
d i t s a t t a
42 %så at t anv’andaren s k a l l kunna j u s t e r a e f t e r datorprestanda och
pe r s on l i g a p r e f e r e n s e r
43 %sedan de matematiska/ l o g i s k a objekten ,
26
44 %D’ar e f t e r i n s t a n t i e r a s d i v e r s e geometr i ska ob jekt s a t t i s i na
45 %" g r u n d t i l l s t ånd " .
46
47 %I vardera program f i nn s t r e plan ned på v i l k a e t t rum p r o j i c e r a s
48 %( I BR och SR p r o j i c e r a s "Bivektorrymden " , i VR p r o j i c e r a s "
Vektorrymden ") .
49 %Dessutom kommer i vardera plan en punkt i n s t a n t i e r a s
50 %( en bl å s t j’arna ( ’∗ ’ ) ) som i samt l i ga t e x t e r kommer k a l l a s "
in t e rakt i onspunkten " ,
51 %f’or a t t s’ar s k i l j a den f r ån punkten i BR, som kommer k a l l a s "
klotpunkten " .
52 %Planen kommer k a l l a s " i n t e r ak t i on sp l an en " . Planen kommer o f t a
be sk r i va s
53 %som att de " t i l l h ’or " det rum som p r o j i c e r a d e s ned på det
54 %( exempelv i s h’ar i VR kan texten "vektorrummets plan " f’orekomma) .
55 %Bland de ob jekt som f i nn s v i s u e l l t r ep r e s en t e rade i planen f i n n s
56 %komponenter som kan i n t e r a g e r a med in te rakt i onspunkte r ,
57 %v i l k a kommer k a l l a s ’ i n t e r ak t i on s ob j ek t ’ .
58 %inte rakt i onspunkten gå r a t t f l y t t a , och
59 %genom att komma t i l l r ’ac k l i g t n’ara e t t i n t e r a k t i o n s ob j e k t
60 %kommer det a t t f l y t t a s i g s å den hamnar s å n’ara
61 %inte rakt i onspunkten den kan .
62 %in t e r ak t i on sp l an en ’ar a l l t i d x−y , z−x , och y−z plan .
63 %Det ’ar v’ar t a t t anm’arka at t jag va l t a t t k a l l a e t t plan z−x .
64
65 %I samt l iga program f i nn s e t t "vektorrum" och e t t "bivektorrum"
66 %vektorrummets v i s u e l l a komponenter ’ar t r e stycken vektorer ,
67 %som s k a l l r ep r e s en t e r a e t t koordinatystem
68 %(x−axel , y−axe l och en z−axe l ) och i en bredare bem’ark e l s e , vek to re r i
69 %tr e dimens ioner .
70
71 %Bivektorrummet ’ar e t t k l o t med rad i e 2∗ pi
72 %som ’ar en v i s u e l l r e p r e s en t a t i on av enhetskvatern iornerna , v i l k a utg’or
73 %en t r ed imen s i on e l l s f’ar inb’addad i f y ra dimensioner , och
74 %om b=[b1 b2 b3 ] ’ar en punkt i B(0 ,2∗ pi ) kan den r e l a t e r a s t i l l en
s p e c i f i k
75 %kvatern ion v ia b−>exp ( ( b1∗ i+b2∗ j+b3∗k ) /2)
76 %Klote t s f r’amsta komponent ’ar en punkt ( ka l l ad klotpunkt , kommer ib land
i kod understryka
77 %att den ’ar r’od , f’or a t t s’ar s k i l j a den f r ån inte rakt ionspunkten , och n’a
r jag d i s ku t e r a r
78 %den som en kvatern ion e l l e r vektor kommer jag k a l l a den b)
79 %bo l l en har f’or ’ov r i g t e t t modulus på 4∗ pi ( exp ((4∗ pi ∗ j ) /2)=1) , s å n’ar
b kommer "’over " 4∗ pi
80 %kommer den f’or f l y t t a s t i l l e t t motsvarande l’age på andra s idan k l o t e t .
81 %f’or a t t ge en b’at t r e b i l d av var i k l o t e t punkten be f i nne r s i g har
82 %" skuggb i l d e r s a t t s ut , v i l k a b e sk r i v e r b ’ s l p r o j e k t i o n e r på B’ s ax l a r .
83
84 %I VR ’ar det vektorrummet som ’ar p r o j i c e r a t på i n t e r ak t i on sp l an en .
85 %vektorrummets i n t e r a k t i o n s ob j e k t ’ar de o l i k a vektore rnas p i l s p e t s a r ;
86 %n’ar in t e rakt i onspunkten kommer n’ara p i l s p e t s e n kommer dess vektor
87 %ro t e r a s in mot interakt ionspunkten ,
88 %va r e f t e r he la koordninatsystemet kommer ro t e r a e f t e r samma axe l och
89 %med samma v i nk e l u t s l a g .
90 %Varje system av koord ina tax l a r (x ’ , y ’ , z ’ ) , motsvarar en
r o t a t i on sma t r i s :
27
91 %[ x ’ y ’ z ’ ] ( e f te r som x ’ y ’ z ’ ’ar ortonormerade , v i har
92 %R[ e1 e2 e3 ]=[R( e1 ) R( e2 ) R( e3 ) ]=[x ’ y ’ z ’ ]
93 %I f r ån denna r o t a t i on sma t r i s kan man f å ut en b ivekto r
94 %genom att betrakta matr i sens " c l i f f o r d t r a c e " , v i l k e t v i kan
95 %r e l a t e r a t i l l en s p e c i f i k axe l och en s p e c i f i k v inke l , v i l k e t
96 %då ’ar en b−vektor som motsvarar k lotpunktens nya l’age i bivektorrymden
.
97
98 %Det som t yd l i g t m’arks ’ar a t t ’aven då ro ta t i on s sy s t emet r o t e r a t 360
grader
99 %kommer i n t e b−vektorn ha å t e rg å t t t i l l [ 0 0 0 ] , utan det ’ar f’or s t
e f t e r
100 %två r o t a t i o n e r som systemet har å t e r s t’a l l t s h e l t .
101
102
103 %I BR ’ar det bivektorrummet som ’ar p r o j i c e r a t på in t e rak t i on sp l anen ,
och
104 %in t e r a k t i o n s ob j e k t e t ’ar klotpunkten . Då in te rakt i onspunkten kommer n’a
ra
105 %klotpunkten f l y t t a s klotpunkten t i l l i n t e rak t i on spunktens l’age .
106 %I var j e i n t e r a k t i o n sp l an f i n n s ’aven en c i r k e l ut r i tad , som motsvarar
107 %randen av BR.
108 %klotpunkten motsvarar (’ar ) en bivektor , v i l k e t v i kan r e l a t e r a t i l l en
enhets−
109 %kvatern ion q=exp (b/2) , d’ar v i nu kan ro t e r a koord inatsystemet
110 %med qvq^−1. Mer d e t a l j r i k f’or k l a r i n g f i n n s i p ro j ek t rappor t en .
111 %I koden i s i g anv’ands e t t b e f i n t l i g t program som fanns i quatern ion .m,
112 %som jag e j vet hur den ’ar uppbyggd .
113
114 %I SR har v i ’aven spinorrummet , v i l k e t l i k t BR ’ar e t t k l o t av rad i e 2∗
pi ,
115 %var i det l i g g e r f y ra stycken punkter ( å t e r i g e n ’ s t j’arnor ’ , (∗ ) )
116 %som motsvarar sp i no r e r .
117 %Spinore r b e sk r i v s o f t a som vekto re r i C^2 , d’ar det f i n n s en
118 %kvat e rn i on r ep r e s en ta t i on p(q )=[z w;−w’ z ’ ] , som ’ verkar ’ på
119 %sp inore rna . I SR gå r v i ’over t i l l R^4 , oh e f te r som p bevarar l’angder
120 %kommer " enhe t s sp ino r e r " be f inna s i g i s f’aren , s å v i r e p r e s en t e r a r
121 %sp inore rna i någon mening som om de vore " kvate rn ione r " .
122 %I SR ’ar det å t e r i g e n BR som p r o j i c e r a s på in t e rak t i on sp l anen , med
123 %samma in t e r ak t i on s sy s t em som i BR, och n’ar b o l l e n s r’or e l s e r e s u l t e r a r
124 %i f’or’andr ingar av kvatern ionens l’age genom det p(q ) som beskrevs ovan .
125 %hur kvatern ionen r o t e r a r vektorrummet ’ar ocks å med
126
127 %f’or a t t hj’alpa v i s u a l i s e r i n g e n av sp ino r e rna s l’agen f i n n s ’aven
128 %pro j ek t i on sp l an som be sk r i v e r dess l’agen i xy och zx planen , s a t t a i
129 %deras k lot , på niv å erna z=−10 r e sp ek t i v e x=10,
130 %Det gå r ’aven at t s l å på " skuggb i ld e r " som fungerar på samma s’at t som
131 %k l o t e t s skuggor , men detta r e s u l t e r a r i 16 punkter i k l o t e t , s å det ’ar
132 %I grundl’aget s a t t t i l l 0 , men kan s’at t a s på med en "shadeon"−konstant
133
134
135 %samt l iga i n t e r a k t i o n e r mellan program och anv’andare
136 %hanteras inom en whi le loop , som a l l t i d ’ar s a t t t i l l ’ true ’ .
137 %inte rak t i onspunkte rna ’ar " impoint"−ob jekt ( e l l e r i 2019 : drawpoint ) .
138 %Som i n s t a n t i e r a s med p lanet det b e f i nne r s i g i .
139 %Dessa k a l l a s på i loopen med en " get "
28
140 %(F’or den ovane : get / g e t t e r s och s e t / s e t t e r s ’ar
141 %i programmering typ i ska funkt i one r a t t ge k l a s s e r . En " get " l å t e r
142 %anv’andaren l’asa av v a r i a b l e r /h’amta in fo rmat ion som e t t ob jekt har
143 %( i detta f a l l har v i en impoint , vars v a r i ab e l v i p lockar ’ar " Pos i t i on
"
144 %Den kan i n s t a n t i e r a s v ia h . impoint ( ) ; , och po s i t i on en f å s då
145 %via h . g e tPo s i t i on . ) )
146 %inte rak t i on spunktens l’age sparas , och en s e r i e i f−s a t s e r k o l l a r om
147 %den nuvarande punkten ’ar n’ara nå got i n t e r a k t i o n s ob j e k t .
148 %po in td i s t anc e garante ra r a t t de i n t e r ak t i on spunk t e r som in t e v id r’or s
149 %e j kan i n t e r a g e r a med s i t t p lans i n t e r ak t i on s ob j e k t , v i l k e t hade g j o r t
150 %koden svå rnav igerad .
151
152 %Det f i n n s en de l k r i t e r i e r u t sa t t a f’or a t t se t i l l a t t s å f å "on’odiga "
153 %loopar g’or s som m’oj l i g t f’or a t t snabba upp programmetn som i nul’aget
154 %’ar r’at t l ångsamma .
155 %Om inte rakt i onspunkten kommer n’ara e t t objekt , ber’aknar programmet
v i l k a ope ra t i one r
156 %som s k a l l u t f’ora s .
157 %d’ar e f t e r har va r j e programs whi l e loop en s e r i e set−f unk t i one r ( en "
s e t "/ s e t t e r
158 %l å t e r anv’andaren ans’at ta e t t nytt v’arde i e t t objekt ,
159 % exempelv i s : s e t (u , ’ XData ’ , b (1 ) , ’YData ’ , b (2 ) , ’ ZData ’ , b (3 ) ) s’at t e r ut
160 %klotpunkten i dess nya l’age i BR. ) v i l k a uppdaterar a l l a g r a f i s k a
ob jekt .
161 %}
162
163 %beskr ivn ing av konstanter som kan vara v’ar t a t t modi f i e ra ,
164 %om tex kod gå r l ångsamt
165 %{
166
167 %1. ’ pauselength ’ bes t’ammer , i sekunder , den t i d det s k a l l ta mellan
va r j e
168 %i t e r a t i o n av at t l’asa av vektorpunktens l’age och po s i t i o n e r a
vektorsystemet och
169 %klotpunkten e f t e r det .
170
171 %2. ’ d i s t ’ b e s k r i v e r f r ån v i l k e t avst ånd inte rakt i onspunkten s k a l l ha
172 %f r ån p i l s p e t s a r n a t i l l s de b’or j a r f l y t t a på s i g
173
174 %3. Po in td i s tance uts’at t e r e t t krav
175 %som begr’ansar an t a l e t p r o c e s s e r som g’or s i whi l e loopen , genom att
176 %kon t r o l l e r a v i l k e t avst ånd den nuvarande in te rakt i onspunkten har
177 %r e l a t i v t den t i d i g a r e i t e r a t i on spunk t en
178 %dvs om man s’at t e r po in td i s t anc e 0 .01 må s t e in t e rakt i onspunkten ha f’o
r f l y t t a t s
179 %0.01 enheter f r ån det l’age den var sedan sena s t e gra f ikuppdate r ing ,
innan
180 %programmet k on t r o l l e r a r huruvida klotpunkten s k a l l f l y t t a s r e l a t i v t
181 %inte rak t i on spunktens nuvarande l’age .
182
183 %Den g’or ’aven s å at t in t e rak t i onspunkte rna
184 %in t e på verkar systemet om in t e anv’andaren r’or vid dem . Om man
185 %s’at t e r po in td i s t anc e t i l l n o l l f i n n s det ingen f’or s’akr ing t i l l detta .
186
187 %( Jag t r o r detta ’ar pga at t impoint , som gene r e ra r
29
i n te rakt ionspunkte rna ,
188 %verkar f l y t t a s i g s j’alv , om ’an v’al d i g t l i t e , i s i n egen uppdater ing .
189 %( jag ’ar os’aker på dessa d e t a l j e r , kan ju ocks å tex vara r e l a t e r a t t i l l
190 %gra f i k e n s uppdater ingar ) . )
191
192 %sta r t v e c bes t’ammer in t e rak t i on spunktens s t a r t l’age då programmet k’or s .
193
194 %}
195
196 pause length =0.05;
197 d i s t =0.4 ;
198 s t a r t v e c =[0 0 ] ;
199 po in td i s t anc e =0.05;
200
201 %x , y , z ’ar namnen på axlarna hos vektorsystemet
202 %p , p2 sparar datan hos impoint i while−loopen
203 %d i s t kvadreras f’or a t t f’or enk la matematiken i programmet
204 %j2 , i , theta2 anv’ands f’or a t t k o l l a k r i t e r i e r om v i l k en s ida
205 %ekvatorn klotpunkten s k a l l be f inna s i g i bivektorrymden
206
207
208 x = [ 1 ; 0 ; 0 ] ;
209 y = [ 0 ; 1 ; 0 ] ;
210 z = [ 0 ; 0 ; 1 ] ;
211 p=s t a r t v e c ;
212 p2=s t a r t v e c ;
213 d i s t=d i s t ^2;
214
215 j 2 =[0 0 0 ] ;
216 i =0;
217 theta2=0;
218
219 %k l o t e t som be sk r i v e r de enhe t skvate rn ione r som verkar
220 %på vektorrummet ,
221 %{
222 %en punkt inom k l o t e t (b) r e l a t e r a s t i l l en " ren kvatern ion "
223 %b=[b1 b2 b3]−>b1∗ i+b2∗ j+b3∗k som r e l a t e r a s t i l l en
224 %enhetskvate rn ion q v ia q=exp (b/2) .
225 %}
226
227 f i g u r e (1 )
228
229 s e t ( gcf , ’ Po s i t i on ’ , [ 100 , 100 , 1000 , 500 ] )
230
231 subplot ( 1 , 2 , 1 ) ;
232
233 [m n o]= sphere ; %t o t a l sphere bdry => q=−1
234 s u r f (2∗ pi ∗m,2∗ pi ∗n ,2∗ pi ∗o , ’ f a c e c o l o r ’ , ’ b lue ’ , ’ f a c ea lpha ’ , . 2 , ’ EdgeAlpha
’ , 0 ) ;
235 hold on
236 s u r f ( p i ∗m, pi ∗n , p i ∗o , ’ f a c e c o l o r ’ , ’ green ’ , ’ f a c ea lpha ’ , . 4 , ’ EdgeAlpha ’ , 0 ) ;
237 hold on
238 phi=l i n s p a c e (0 ,2∗ pi ) ;
239
240 x l ab e l ( ’ x ’ )
241 y l ab e l ( ’ y ’ )
30
242 z l a b e l ( ’ z ’ )
243 p lo t (2∗ pi ∗ cos ( phi ) ,2∗ pi ∗ s i n ( phi ) , ’ b lack ’ ) % c i r c l e f o r v i s u a l i s a t i o n
244
245 p lo t3 ([−10 1 0 ] , [ 0 0 ] , [ 0 0 ] , ’ b lack ’ , [ 0 0] , [−10 10 ] , [ 0 0 ] , ’ b lack ’ , [ 0
0 ] , [ 0 0 ] , [−10 10 ] , ’ b lack ’ )
246
247 %{
248 %b rep r e s en t e r a t inom k l o t e t som en punkt , bem’arkt som en s t j’arna ( ’∗ ’ )
,
249 %samt t r e " skuggb i l d e r " , p r o j e k t i on e r av b på x , y och z axlarna ,
250 %i en svagare gr å skala , f’or a t t f å b’at t r e ’ov e r s i k t i var i det
251 %tr ed imen s i on e l l a rummet b be f i nne r s i g
252 %( v i s u a l i s e r i n g e n av bo l l e n s l’age s t å r s i s t i koden , s å a t t om
punkterna
253 %’over lappar , kommer den f a k t i s k a bo l l e n s l’age vara den som syns )
254 %}
255
256 uxyz=su r f ( [ 0 . 3 5 ∗m;0 . 3 5∗m;0 . 3 5∗m] , [ 0 . 3 5 ∗ n ; 0 . 3 5∗ n ; 0 . 3 5∗ n ] , [ 0 . 3 5 ∗ o ; 0 . 3 5∗ o
; 0 . 3 5∗ o ] , ’ f a c e c o l o r ’ , ’ red ’ , ’ f a c ea lpha ’ , 0 . 2 5 , ’ EdgeAlpha ’ , 0 ) ;
257
258 u=su r f ( 0 . 35∗m,0 . 3 5∗n , 0 . 3 5∗ o , ’ f a c e c o l o r ’ , ’ red ’ , ’ f a c ea lpha ’ ,1 , ’ EdgeAlpha
’ , 0 ) ;
259
260 g r id on
261 ax i s ([−7 7 −7 7 −7 7 ] )
262 ax i s equal
263
264 t i t l e ( ’ Bivektorrummet BR’ , ’ FontSize ’ , 14)
265
266 subplot ( 1 , 2 , 2 ) ;
267
268 %tr e vekto re r v i s u a l i s e r a s som motsvarar koord inate r f’or e t t
t r e d imen s i o n e l l t
269 %vektorrum , i n t e r a k t i v t kan r o t e r a s av anv’andaren .
270 %’aven e t t mindre vektorsystem , som v i s a r grundpos i t ionen .
271 %{
272 %dess r o t a t i o n e r kommer r e l a t e r a s t i l l den b ivek to r b=−phi ∗ j , som genom
att
273 %verka på grundsystemet ( v ia exp (b/2)v ( exp(−b/2) s k u l l e ha r o t e r a t
systemet t i l l des s nul’age .
274 %}
275 vecx=quiver3 ( [ 0 −0 .5 ] , [ 0 −0 .5 ] , [ 0 −1 .2 ] , [ x (1 ) 0 . 5 ] , [ x (2 ) 0 ] , [ x (3 ) 0 ] , ’ b
’ , ’ Autosca le ’ , ’ o f f ’ ) ; hold on ; %generate a r o t a t e ab l e x−y−z
coord inate system
276 vecy=quiver3 ( [ 0 −0 .5 ] , [ 0 −0 .5 ] , [ 0 −1 .2 ] , [ y (1 ) 0 ] , [ y (2 ) 0 . 5 ] , [ y (3 ) 0 ] , ’ r
’ , ’ Autosca le ’ , ’ o f f ’ ) ;
277 vecz=quiver3 ( [ 0 −0 .5 ] , [ 0 −0 .5 ] , [ 0 −1 .2 ] , [ z (1 ) 0 ] , [ z (2 ) 0 ] , [ z (3 ) 0 . 5 ] , ’ g
’ , ’ Autosca le ’ , ’ o f f ’ ) ;
278
279 xlim ([−1.2 1 . 2 ] )
280 ylim ([−1.2 1 . 2 ] )
281 z l im ([−1.2 1 . 2 ] )
282 t i t l e ( ’ Vektorrummet VR’ , ’ FontSize ’ ,14) ;
283
284 pbaspect ( [ 1 1 1 ] ) ;
285
31
286
287
288 f i g u r e (2 ) ;
289
290 s e t ( gcf , ’ Po s i t i on ’ , [ 100 , 100 , 600 , 200 ] )
291
292 vx=quiver ( [−2.5 0 2 . 5 ] , [ 0 0 0 ] , [ x (1 ) , x (3 ) , x (2 ) ] , [ x (2 ) , x (1 ) , x (3 ) ] , ’ b ’ , ’
AutoScale ’ , ’ o f f ’ ) ; hold on ;% , ’ b ’ ) ; hold on
293 vy=quiver ( [−2.5 0 2 . 5 ] , [ 0 0 0 ] , [ y (1 ) , y (3 ) , y (2 ) ] , [ y (2 ) , y (1 ) , y (3 ) ] , ’ r ’ , ’
AutoScale ’ , ’ o f f ’ ) ;
294 vz=quiver ( [−2.5 0 2 . 5 ] , [ 0 0 0 ] , [ z (1 ) , z (3 ) , z (2 ) ] , [ z (2 ) , z (1 ) , z (3 ) ] , ’ g ’ , ’
AutoScale ’ , ’ o f f ’ ) ;
295
296 ax i s ([−5 5 −1.5 1 . 5 ] ) ;
297 pbaspect ( [ 1 0 3 1 ] ) ;
298
299
300 txtxy = ’x−y plan ’ ;
301 txtzx = ’ z−x plan ’ ;
302 txtyz = ’y−z plan ’ ;
303 t ex t (−3 ,−1.1 , txtxy , ’ FontSize ’ ,12) ;
304 t ex t (−0.5 ,−1.1 , txtzx , ’ FontSize ’ ,12) ;
305 t ex t (2 ,−1.1 , txtyz , ’ FontSize ’ ,12) ;
306 t i t l e ( ’ i n t e r a k t i v a ytor ’ , ’ FontSize ’ , 12) ;
307
308 h=impoint ( gca , s t a r t v e c ) ;
309 whi le ( t rue )
310 pause ( pause length )
311 %p sparar nya i n t e r a k t i o n s l’aget
312 p=h . g e tPo s i t i on ;
313 %om vi i n t e r’or t o s s e t t l i t e t avst ånd s k a l l i ngent ing ske
314 i f ( po in td i s tance<=norm(p−p2 ) )
315 i f (0.1<=norm(p)&&0.1<=norm(p+[2.5 0 ] )&&0.1<=norm(p− [2 .5 0 ] ) )
316 %ko l l a r om v i hamnat n’ara en s p e c i f i k vektor
317 i f ( ( p (1 )−x (1 ) +2.5)^2+(p (2 )−x (2 ) )^2<=d i s t&&0.1<=x (1)^2+x (2) ^2)
318
319 %vi anv’ander det nya l’aget samt vektorn f’or a t t
320 %bi lda en ro ta t i on smat r i s , som v i anv’ander f’or a t t r o t e r a
samt l i ga
321 %objekt
322 p (1)=p (1) +2.5 ;
323
324 q=[x (1 ) x (2 ) ] ;
325
326 p=p/norm(p) ;
327 q=q/norm(q ) ;
328
329 %al f a , beta best’ammer ro t a t i on smat r i s en
330 a l f a=p (1) ∗q (1 )+p (2) ∗q (2 ) ;
331 beta=p (1) ∗q (2 )−p (2) ∗q (1 ) ;
332
333
334 x1=a l f a ∗x (1 )+beta ∗x (2 ) ;
335 x2=a l f a ∗x (2 )−beta ∗x (1 ) ;
336 x (1 )=x1 ; x (2 )=x2 ;
337
32
338
339 y1=a l f a ∗y (1 )+beta ∗y (2 ) ;
340 y2=a l f a ∗y (2 )−beta ∗y (1 ) ;
341 y (1 )=y1 ; y (2 )=y2 ;
342
343 z1=a l f a ∗z (1 )+beta ∗z (2 ) ;
344 z2=a l f a ∗z (2 )−beta ∗z (1 ) ;
345 z (1 )=z1 ; z (2 )=z2 ;
346
347 e l s e i f ( ( p (1 )−y (1 ) +2.5)^2+(p (2 )−y (2 ) )^2<=d i s t&&0.1<=y (1)^2+y (2) ^2)
348
349 p (1)=p (1) +2.5 ;
350
351 q=[y (1 ) y (2 ) ] ;
352
353 p=p/norm(p) ;
354 q=q/norm(q ) ;
355
356
357 a l f a=p (1) ∗q (1 )+p (2) ∗q (2 ) ;
358 beta=p (1) ∗q (2 )−p (2) ∗q (1 ) ;
359
360 x1=a l f a ∗x (1 )+beta ∗x (2 ) ;
361 x2=a l f a ∗x (2 )−beta ∗x (1 ) ;
362 x (1 )=x1 ; x (2 )=x2 ;
363 y1=a l f a ∗y (1 )+beta ∗y (2 ) ;
364 y2=a l f a ∗y (2 )−beta ∗y (1 ) ;
365 y (1 )=y1 ; y (2 )=y2 ;
366
367 z1=a l f a ∗z (1 )+beta ∗z (2 ) ;
368 z2=a l f a ∗z (2 )−beta ∗z (1 ) ;
369 z (1 )=z1 ; z (2 )=z2 ;
370 %x=x/norm(x ) ; y=y/norm(y ) ; z=z/norm( z ) ;
371
372 e l s e i f ( ( p (1 )−z (1 ) +2.5)^2+(p (2)−z (2 ) )^2<=d i s t&&0.1<=z (1)^2+z (2) ^2)
373
374 p (1)=p (1) +2.5 ;
375 q=[z (1 ) z (2 ) ] ;
376
377 p=p/norm(p) ;
378 q=q/norm(q ) ;
379
380
381 a l f a=p (1) ∗q (1 )+p (2) ∗q (2 ) ;
382 beta=p (1) ∗q (2 )−p (2) ∗q (1 ) ;
383
384 x1=a l f a ∗x (1 )+beta ∗x (2 ) ;
385 x2=a l f a ∗x (2 )−beta ∗x (1 ) ;
386 x (1 )=x1 ; x (2 )=x2 ;
387
388 y1=a l f a ∗y (1 )+beta ∗y (2 ) ;
389 y2=a l f a ∗y (2 )−beta ∗y (1 ) ;
390 y (1 )=y1 ; y (2 )=y2 ;
391
392 z1=a l f a ∗z (1 )+beta ∗z (2 ) ;
393 z2=a l f a ∗z (2 )−beta ∗z (1 ) ;
33
394 z (1 )=z1 ; z (2 )=z2 ;
395
396
397 %x=x/norm(x ) ; y=y/norm(y ) ; z=z/norm( z ) ;
398
399 e l s e i f ( ( p (1 )−x (3 ) )^2+(p (2)−x (1 ) )^2<=d i s t&&0.1<=x (3)^2+x (1) ^2)
400 q=[x (3 ) x (1 ) ] ;
401 p=p/norm(p) ;
402 q=q/norm(q ) ;
403
404
405 a l f a=p (1) ∗q (1 )+p (2) ∗q (2 ) ;
406 beta=p (1) ∗q (2 )−p (2) ∗q (1 ) ;
407
408 x1=a l f a ∗x (3 )+beta ∗x (1 ) ;
409 x2=a l f a ∗x (1 )−beta ∗x (3 ) ;
410 x (3 )=x1 ; x (1 )=x2 ;
411
412 y1=a l f a ∗y (3 )+beta ∗y (1 ) ;
413 y2=a l f a ∗y (1 )−beta ∗y (3 ) ;
414 y (3 )=y1 ; y (1 )=y2 ;
415
416 z1=a l f a ∗z (3 )+beta ∗z (1 ) ;
417 z2=a l f a ∗z (1 )−beta ∗z (3 ) ;
418 z (3 )=z1 ; z (1 )=z2 ;
419
420 e l s e i f ( ( p (1 )−y (3 ) )^2+(p (2)−y (1 ) )^2<=d i s t&&0.1<=y (3)^2+y (1) ^2)
421 q=[y (3 ) y (1 ) ] ;
422 p=p/norm(p) ;
423 q=q/norm(q ) ;
424
425
426 a l f a=p (1) ∗q (1 )+p (2) ∗q (2 ) ;
427 beta=p (1) ∗q (2 )−p (2) ∗q (1 ) ;
428
429 x1=a l f a ∗x (3 )+beta ∗x (1 ) ;
430 x2=a l f a ∗x (1 )−beta ∗x (3 ) ;
431 x (3 )=x1 ; x (1 )=x2 ;
432
433 y1=a l f a ∗y (3 )+beta ∗y (1 ) ;
434 y2=a l f a ∗y (1 )−beta ∗y (3 ) ;
435 y (3 )=y1 ; y (1 )=y2 ;
436
437
438 z1=a l f a ∗z (3 )+beta ∗z (1 ) ;
439 z2=a l f a ∗z (1 )−beta ∗z (3 ) ;
440 z (3 )=z1 ; z (1 )=z2 ;
441
442 e l s e i f ( ( p (1 )−z (3 ) )^2+(p (2)−z (1 ) )^2<=d i s t&&0.1<=z (3)^2+z (1 ) ^2)
443
444 q=[z (3 ) z (1 ) ] ;
445 p=p/norm(p) ;
446 q=q/norm(q ) ;
447
448
449 a l f a=p (1) ∗q (1 )+p (2) ∗q (2 ) ;
34
450 beta=p (1) ∗q (2 )−p (2) ∗q (1 ) ;
451
452 x1=a l f a ∗x (3 )+beta ∗x (1 ) ;
453 x2=a l f a ∗x (1 )−beta ∗x (3 ) ;
454 x (3 )=x1 ; x (1 )=x2 ;
455
456 y1=a l f a ∗y (3 )+beta ∗y (1 ) ;
457 y2=a l f a ∗y (1 )−beta ∗y (3 ) ;
458 y (3 )=y1 ; y (1 )=y2 ;
459
460 z1=a l f a ∗z (3 )+beta ∗z (1 ) ;
461 z2=a l f a ∗z (1 )−beta ∗z (3 ) ;
462 z (3 )=z1 ; z (1 )=z2 ;
463
464 e l s e i f ( ( p (1 )−x (2 ) −2.5)^2+(p (2)−x (3 ) )^2<=d i s t&&0.1<=x (2)^2+x (3) ^2)
465 p (1)=p (1) −2.5;
466 q=[x (2 ) x (3 ) ] ;
467 p=p/norm(p) ;
468 q=q/norm(q ) ;
469
470
471 a l f a=p (1) ∗q (1 )+p (2) ∗q (2 ) ;
472 beta=p (1) ∗q (2 )−p (2) ∗q (1 ) ;
473
474 x1=a l f a ∗x (2 )+beta ∗x (3 ) ;
475 x2=a l f a ∗x (3 )−beta ∗x (2 ) ;
476 x (2 )=x1 ; x (3 )=x2 ;
477
478 y1=a l f a ∗y (2 )+beta ∗y (3 ) ;
479 y2=a l f a ∗y (3 )−beta ∗y (2 ) ;
480 y (2 )=y1 ; y (3 )=y2 ;
481
482 z1=a l f a ∗z (2 )+beta ∗z (3 ) ;
483 z2=a l f a ∗z (3 )−beta ∗z (2 ) ;
484 z (2 )=z1 ; z (3 )=z2 ;
485
486 e l s e i f ( ( p (1 )−y (2 ) −2.5)^2+(p (2)−y (3 ) )^2<=d i s t&&0.1<=y (2)^2+y (3) ^2)
487 p (1)=p (1) −2.5;
488 q=[y (2 ) y (3 ) ] ;
489 p=p/norm(p) ;
490 q=q/norm(q ) ;
491
492
493 a l f a=p (1) ∗q (1 )+p (2) ∗q (2 ) ;
494 beta=p (1) ∗q (2 )−p (2) ∗q (1 ) ;
495
496 x1=a l f a ∗x (2 )+beta ∗x (3 ) ;
497 x2=a l f a ∗x (3 )−beta ∗x (2 ) ;
498 x (2 )=x1 ; x (3 )=x2 ;
499
500 y1=a l f a ∗y (2 )+beta ∗y (3 ) ;
501 y2=a l f a ∗y (3 )−beta ∗y (2 ) ;
502 y (2 )=y1 ; y (3 )=y2 ;
503
504 z1=a l f a ∗z (2 )+beta ∗z (3 ) ;
505 z2=a l f a ∗z (3 )−beta ∗z (2 ) ;
35
506 z (2 )=z1 ; z (3 )=z2 ;
507
508 e l s e i f ( ( p (1 )−z (2 ) −2.5)^2+(p (2)−z (3 ) )^2<=d i s t&&0.1<=z (2)^2+z (3) ^2)
509 p (1)=p (1) −2.5;
510 q=[z (2 ) z (3 ) ] ;
511 p=p/norm(p) ;
512 q=q/norm(q ) ;
513
514
515 a l f a=p (1) ∗q (1 )+p (2) ∗q (2 ) ;
516 beta=p (1) ∗q (2 )−p (2) ∗q (1 ) ;
517
518 z1=a l f a ∗z (2 )+beta ∗z (3 ) ;
519 z2=a l f a ∗z (3 )−beta ∗z (2 ) ;
520 z (2 )=z1 ; z (3 )=z2 ;
521
522
523 y1=a l f a ∗y (2 )+beta ∗y (3 ) ;
524 y2=a l f a ∗y (3 )−beta ∗y (2 ) ;
525 y (2 )=y1 ; y (3 )=y2 ;
526
527 x1=a l f a ∗x (2 )+beta ∗x (3 ) ;
528 x2=a l f a ∗x (3 )−beta ∗x (2 ) ;
529 x (2 )=x1 ; x (3 )=x2 ;
530 end
531
532 %{
533 %b−bo l l e n s l’age f å s ut v ia C l i f f o r d Tracet , d’ar
534 %CT(R)=2∗( cos ( theta /2)+j ∗ s i n ( theta /2) )+1
535 %R ’ar en ro ta t i on smat r i s , som kan f å s ut av at t g i v e t en
536 %kon f i gu ra t i on {x ’ , y ’ , z ’ } ’ar R=[x ’ y ’ z ’ ]
537 %i f s a t s e rna ’ar t i l l f’or a t t l’osa problemet at t co s inus i n t e ’ar
538 %su r j e k t i v på [ 0 , 2 p i ] .
539 %det man kan ko l l a ’ar a t t e f te r som s i n ( theta /2) byter tecken i områ
det
540 %theta=k∗ pi kommer den j−vektor som tas ut d’ar byta tecken i detta
område
541 %och v i bryr os s enbart om området vid " ekvatorn " abs (b)=pi
542 %( at t man f å r t e c k e n s k i f t v id 2 p i ’ar inga problem , e f te r som v i ’andå
543 %har en " sp eg l i n g " i detta område . 0an ’ar ocks å ok , d’ar har v i ocks
å
544 %tecken’andr ingar .
545 %så n’ar v i f l y t t a r mellan s i d o r av ekvatorn ta r v i i +1, och
546 %om i ’ar j’amn e l l e r udda best’ammer v i l k e t belopp v i s k a l l v’al j a f’or
547 %theta .
548 %}
549 j =[y (3 )−z (2 ) z (1 )−x (3 ) x (2 )−y (1 ) ] ;
550
551 theta=r e a l ( acos ( ( x (1 )+y (2)+z (3)−1)/2) ) ;
552
553 i f ( not ( j (1 )==0&&j (2 )==0&&j (3 )==0))
554 j=j /norm( j ) ;
555 i f ( abs ( theta2−pi )<=0.5&&not ( s i gn ( j (1 ) )==s ign ( j 2 (1 ) ) )&&not ( abs ( j
(2 )^2+j (3 ) ^2−1)<=0.2) )
556 i=mod( i +1 ,2) ;
557 e l s e i f ( abs ( theta2−pi )<=0.5&&not ( s i gn ( j (2 ) )==s ign ( j2 (2 ) ) )&&not (
36
abs ( j (1 )^2+j (3 ) ^2−1)<=0.2) )
558 i=mod( i +1 ,2) ;
559 e l s e i f ( abs ( theta2−pi )<=0.5&&not ( s i gn ( j (3 ) )==s ign ( j2 (3 ) ) )&&not (
abs ( j (1 )^2+j (2 ) ^2−1)<=0.2) )
560 i=mod( i +1 ,2) ;
561 end
562
563 e l s e
564 j=j2 ;
565 end
566
567
568 i f ( i==0)
569 b=theta ∗ j ;
570 theta2=theta ;
571
572 e l s e
573 b=−(2∗pi−theta ) ∗ j ;
574 theta2=2∗pi−theta ;
575 end
576 %se t funkt ionerna uppdaterar g r a f i k en
577 s e t ( vx , ’ udata ’ , [ x (1 ) , x (3 ) , x (2 ) ] , ’ vdata ’ , [ x (2 ) , x (1 ) , x (3 ) ] ) ;
578 s e t ( vy , ’ udata ’ , [ y (1 ) , y (3 ) , y (2 ) ] , ’ vdata ’ , [ y (2 ) , y (1 ) , y (3 ) ] ) ;
579 s e t ( vz , ’ udata ’ , [ z (1 ) , z (3 ) , z (2 ) ] , ’ vdata ’ , [ z (2 ) , z (1 ) , z (3 ) ] ) ;
580 s e t ( vecx , ’ udata ’ , [ x (1 ) 0 . 5 ] , ’ vdata ’ , [ x (2 ) 0 ] , ’ wdata ’ , [ x (3 ) 0 ] ) ;
581 s e t ( vecy , ’ udata ’ , [ y (1 ) 0 ] , ’ vdata ’ , [ y (2 ) 0 . 5 ] , ’ wdata ’ , [ y (3 ) 0 ] ) ;
582 s e t ( vecz , ’ udata ’ , [ z (1 ) 0 ] , ’ vdata ’ , [ z (2 ) 0 ] , ’ wdata ’ , [ z (3 ) 0 . 5 ] ) ;
583 s e t ( uxyz , ’XData ’ , [ b (1 ) +0.35∗m;0 . 3 5∗m;0 . 3 5∗m] , ’YData ’ , [ 0 . 3 5 ∗ n ; b
(2 ) +0.35∗n ; 0 . 3 5∗ n ] , ’ ZData ’ , [ 0 . 3 5 ∗ o ; 0 . 3 5∗ o ; b (3 ) +0.35∗o ] )
584
585 s e t (u , ’XData ’ ,b (1 )+m∗0 .35 , ’YData ’ ,b (2 )+n ∗0 .35 , ’ ZData ’ ,b (3 )+o
∗0 . 35 )
586 j 2=j ;
587 theta2=theta ;
588
589 end
590 end
591 p2=p ;
592 end
C.2 BR
1 %{
2 %Detta program ’ar skapat i samband med e t t kandidatpro jekt ,
3 %och ’ar menat at t vara en de l i e t t paket av t r e
4 %(VR,BR och SR( detta program ) , d’ar VR s t å r f’or vektorrymden ,
5 % BR f’or bivektorrymden och SR f’or spinorrymden ) .
6
7 %F’or BR och SR kr’avs a t t man har quatern ion .m f’or a t t programmen s k a l l
8 %kunna k’ora . SR kr’aver ’aven at t p l a t on i c_so l i d .m f i nn s .
9
10 %Vardera program s k a l l gå a t t anv’anda utan t i l l g ång t i l l de andra , och
gå r
11 %att anv’anda utan djupare kunskap i matematiken om bara f’or n’oj e s s k u l l
.
12
37
13 %Denna in l edn ing ’ar sk r i v en f’or a t t ge i n s i k t i vad de o l i k a
14 %programmen g’or , vad de ’ar t i l l f’or , hur man anv’ander dem , och hur de ’a
r
15 %uppbyggda .
16 %Den ’ar sk r i v en f’or a t t f’or s’oka s å l ångt det gå r e nh e t l i g t
17 %beskr iva samt l i ga t r e program samtid igt , s å
18 %att det i n t e f i n n s behov av at t l’asa in l edn ingen i någon av de andra .
19
20 %Mer s p e c i f i k a d e t a l j e r r e l a t e r ad e t i l l v a r j e kods uppbyggnad ; vad de
o l i k a
21 %momenten g’or och va r f’or de s k r i v s på det s’at t de g’or s s k a l l s k r i v a s n’a
ra
22 %t i l l h ’orande kodstycke .
23
24 %Kunskaper kr ing programmering tenderar a t t var i e ra , s å jag har
25 %f’or e d r a g i t a t t ta upp " f’or många d e t a l j e r " ’an f’or f å i texten , s å
koden
26 %sk a l l vara enke l a t t f’or s t å ’aven utan t i d i g a r e kunskaper .
27 %Jag ’ar s j’al v i n t e mycket av en kodare , och genom att be sk r iva s å
28 %mycket av l og i k en som m’oj l i g t ’ar det f’orhoppn ingsv i s t enk la r e f’or en
mer
29 %van at t g’ora f’or’andr ingar denne tycker beh’ovs .
30
31
32 %BR och VR ’ar en v i s u e l l demonstrat ion av hur kvatern ionerna
33 %dubbelt t’acker gruppen SO(3) , som be sk r i v e r r o t a t i o n e r i 3D.
34 %SR ’ar en v i s u a l i s e r i n g av sp inore r , som har egenskapen at t de i n t e
35 %å t e r s t’a l l t s e f t e r 360 graders , utan 720 grader s r o t a t i on
36 %s p e c i e l l t ’ar v’al a t t f’or en spinor−r ep r e s en t a t i on p ’ar p(−1)=−I
37
38 %Programmens s t ruk tu r e r ’ar på många s’at t l i k a ;
39 %Den f’or s t a koden i va r j e program har jag s a t t ut parametrar som ’ar
d i t s a t t a
40 %så at t anv’andaren s k a l l kunna j u s t e r a e f t e r datorprestanda och
pe r s on l i g a p r e f e r e n s e r
41 %sedan de matematiska/ l o g i s k a objekten ,
42 %D’ar e f t e r i n s t a n t i e r a s d i v e r s e geometr i ska ob jekt s a t t i s i na
43 %" g r u n d t i l l s t ånd " .
44
45 %I vardera program f i nn s t r e plan ned på v i l k a e t t rum p r o j i c e r a s
46 %( I BR och SR p r o j i c e r a s "Bivektorrymden " , i VR p r o j i c e r a s "
Vektorrymden ") .
47 %Dessutom kommer i vardera plan en punkt i n s t a n t i e r a s
48 %( en bl å s t j’arna ( ’∗ ’ ) ) som i samt l i ga t e x t e r kommer k a l l a s "
in t e rakt i onspunkten " ,
49 %f’or a t t s’ar s k i l j a den f r ån punkten i BR, som kommer k a l l a s "
klotpunkten " .
50 %Planen kommer k a l l a s " i n t e r ak t i on sp l an en " . Planen kommer o f t a
be sk r i va s
51 %som att de " t i l l h ’or " det rum som p r o j i c e r a d e s ned på det
52 %( exempelv i s h’ar i VR kan texten "vektorrummets plan " f’orekomma) .
53 %Bland de ob jekt som f i nn s v i s u e l l t r ep r e s en t e rade i planen f i n n s
54 %komponenter som kan i n t e r a g e r a med in te rakt i onspunkte r ,
55 %v i l k a kommer k a l l a s ’ i n t e r ak t i on s ob j ek t ’ .
56 %inte rakt i onspunkten gå r a t t f l y t t a , och
57 %genom att komma t i l l r ’ac k l i g t n’ara e t t i n t e r a k t i o n s ob j e k t
38
58 %kommer det a t t f l y t t a s i g s å den hamnar s å n’ara
59 %inte rakt i onspunkten den kan .
60 %in t e r ak t i on sp l an en ’ar a l l t i d x−y , z−x , och y−z plan .
61 Det ’ar v’ar t a t t anm’arka at t jag va l t a t t k a l l a e t t plan z−x .
62
63 %I samt l iga rum f’orekommer en "vektor− och bivektorrymd"
64 %Vektorrymden v i s u e l l a komponenter ’ar t r e stycken vektorer ,
65 %som s k a l l r ep r e s en t e r a e t t koordinatystem
66 %(x−axel , y−axe l och en z−axe l ) och i en bredare bem’ark e l s e , vek to re r i
67 %tr e dimens ioner .
68
69 %Bivektorrymden ’ar k l o t med rad i e 2∗ pi
70 %som ’ar en v i s u e l l r e p r e s en t a t i on av enhetskvatern iornerna , v i l k a utg’or
71 %en t r ed imen s i o n e l l s f’ar inb’addad i f y ra dimensioner , och
72 %om b=[b1 b2 b3 ] ’ar en punkt i B(0 ,2∗ pi ) kan den r e l a t e r a s t i l l en
s p e c i f i k
73 %kvatern ion v ia b−>exp ( ( b1∗ i+b2∗ j+b3∗k ) /2)
74 %Klote t s f r’amsta komponent ’ar en punkt ( ka l l ad klotpunkt , kommer ib land
i kod understryka
75 %att den ’ar r’od , f’or a t t s’ar s k i l j a den f r ån inte rakt ionspunkten , och n’a
r jag d i s ku t e r a r
76 %den som en kvatern ion e l l e r vektor kommer jag k a l l a den b)
77 %bo l l en har f’or ’ov r i g t e t t modulus på 4∗ pi ( exp ((4∗ pi ∗ j ) /2)=1) , s å n’ar
b kommer "’over " 4∗ pi
78 %kommer den f’or f l y t t a s t i l l e t t motsvarande l’age på andra s idan k l o t e t .
79 %f’or a t t ge en b’at t r e b i l d av var i k l o t e t punkten be f i nne r s i g har
80 %" skuggb i l d e r s a t t s ut , v i l k a b e sk r i v e r b ’ s l p r o j e k t i o n e r på B’ s ax l a r .
81
82 %I VR ’ar det vektorrummet som ’ar p r o j i c e r a t på i n t e r ak t i on sp l an en .
83 %vektorrummets i n t e r a k t i o n s ob j e k t ’ar de o l i k a vektore rnas p i l s p e t s a r ;
84 %n’ar in t e rakt i onspunkten kommer n’ara p i l s p e t s e n kommer dess vektor
85 %ro t e r a s in mot interakt ionspunkten ,
86 %va r e f t e r he la koordninatsystemet kommer ro t e r a e f t e r samma axe l och
87 %med samma v i nk e l u t s l a g .
88 %Varje system av koord ina tax l a r (x ’ , y ’ , z ’ ) , motsvarar en
r o t a t i on sma t r i s :
89 %[ x ’ y ’ z ’ ] ( e f te r som x ’ y ’ z ’ ’ar ortonormerade , v i har
90 %R[ e1 e2 e3 ]=[R( e1 ) R( e2 ) R( e3 ) ]=[x ’ y ’ z ’ ]
91 %I f r ån denna r o t a t i on sma t r i s kan man f å ut en b ivekto r
92 %genom att betrakta matr i sens " c l i f f o r d t r a c e " , v i l k e t v i kan
93 %r e l a t e r a t i l l en s p e c i f i k axe l och en s p e c i f i k v inke l , v i l k e t
94 %då ’ar en b−vektor som motsvarar k lotpunktens nya l’age i bivektorrymden
.
95
96 %Det som t yd l i g t m’arks ’ar a t t ’aven då ro ta t i on s sy s t emet r o t e r a t 360
grader
97 %kommer i n t e b−vektorn ha å t e rg å t t t i l l [ 0 0 0 ] , utan det ’ar f’or s t
e f t e r
98 %två r o t a t i o n e r som systemet har å t e r s t’a l l t s h e l t .
99
100
101 %I BR ’ar det bivektorrummet som ’ar p r o j i c e r a t på in t e rak t i on sp l anen ,
och
102 %in t e r a k t i o n s ob j e k t e t ’ar klotpunkten . Då in te rakt i onspunkten kommer n’a
ra
103 %klotpunkten f l y t t a s klotpunkten t i l l i n t e rak t i on spunktens l’age .
39
104 %I var j e i n t e r a k t i o n sp l an f i n n s ’aven en c i r k e l ut r i tad , som motsvarar
105 %randen av BR.
106 %klotpunkten motsvarar (’ar ) ju en b−vektor , v i l k e t v i kan r e l a t e r a t i l l
en enhets−
107 %kvatern ion q=exp (b/2) , d’ar v i nu kan ro t e r a koord inatsystemet
108 %med qvq^−1. Mer d e t a l j r i k f’or k l a r i n g f i n n s i p ro j ek t rappor t en .
109 %I koden i s i g anv’ands e t t b e f i n t l i g t program som fanns i quatern ion .m,
110 %som jag e j vet hur den ’ar uppbyggd .
111
112 %I SR har v i spinorrummet , v i l k e t l i k t BR ’ar e t t k l o t av rad i e 2∗pi ,
113 %var i det l i g g e r f y ra stycken punkter ( å t e r i g e n ’ s t j’arnor ’ , (∗ ) )
114 %som motsvarar sp i no r e r .
115 %Spinore r b e sk r i v s o f t a som vekto re r i C^2 , d’ar det f i n n s en
116 %kvat e rn i on r ep r e s en ta t i on p(q )=[z w;−w’ z ’ ] , som ’ verkar ’ på
117 %sp inore rna . I SR gå r v i ’over t i l l R^4 , oh e f te r som p bevarar l’angder
118 %kommer " enhe t s sp ino r e r " be f inna s i g i s f’aren , s å v i r e p r e s en t e r a r
119 %sp inore rna i någon mening som om de vore " kvate rn ione r " .
120 %I SR ’ar det å t e r i g e n BR som p r o j i c e r a s på in t e rak t i on sp l anen , med
121 %samma in t e r ak t i on s sy s t em som i BR, och n’ar b o l l e n s r’or e l s e r e s u l t e r a r
122 %i f’or’andr ingar av kvatern ionens l’age genom det p(q ) som beskrevs ovan .
123
124 %f’or a t t hj’alpa v i s u a l i s e r i n g e n av sp ino r e rna s l’agen f i n n s ’aven
125 %pro j ek t i on sp l an som be sk r i v e r dess l’agen i xy och zx planen , s a t t a i
126 %deras k lot , på niv å erna z=−10 r e sp ek t i v e x=10,
127
128 %samt l iga i n t e r a k t i o n e r mellan program och anv’andare
129 %i va r j e kod hanteras inom en whi le loop , som a l l t i d ’ar s a t t t i l l ’ true
’ .
130 %inte rak t i onspunkte rna ’ar " impoint"−ob jekt ( e l l e r i 2019 : drawpoint ) .
131 %Som i n s t a n t i e r a s med p lanet det b e f i nne r s i g i .
132 %Dessa k a l l a s på i loopen med en " get "
133 %(F’or den ovane : get / g e t t e r s och s e t / s e t t e r s ’ar
134 %i programmering typ i ska funkt i one r a t t ge k l a s s e r . En " get " l å t e r
135 %anv’andaren l’asa av v a r i a b l e r /h’amta in fo rmat ion som e t t ob jekt har
136 %( i detta f a l l har v i en impoint , vars v a r i ab e l v i p lockar ’ar " Pos i t i on
"
137 %Den kan i n s t a n t i e r a s v ia h . impoint ( ) ; , och po s i t i on en f å s då
138 %via h . g e tPo s i t i on . ) )
139 %inte rak t i on spunktens l’age sparas , och en s e r i e i f−s a t s e r k o l l a r om
140 %den nuvarande punkten ’ar n’ara nå got i n t e r a k t i o n s ob j e k t .
141 %po in td i s t anc e garante ra r a t t de i n t e r ak t i on spunk t e r som in t e v id r’or s
142 %e j kan i n t e r a g e r a med s i t t p lans i n t e r ak t i on s ob j e k t , v i l k e t hade g j o r t
143 %koden svå rnav igerad .
144
145 %Det f i n n s en de l k r i t e r i e r u t sa t t a f’or a t t se t i l l a t t s å f å "on’odiga "
146 %loopar g’or s som m’oj l i g t f’or a t t snabba upp programmetn som i nul’aget
147 %’ar r’at t l ångsamma .
148 %Om inte rakt i onspunkten kommer n’ara e t t objekt , ber’aknar programmet
v i l k a ope ra t i one r
149 %som s k a l l u t f’ora s .
150 %d’ar e f t e r har va r j e programs whi l e loop en s e r i e set−f unk t i one r ( en "
s e t "/ s e t t e r
151 %l å t e r anv’andaren ans’at ta e t t nytt v’arde i e t t objekt ,
152 % exempelv i s : s e t (u , ’ XData ’ , b (1 ) , ’YData ’ , b (2 ) , ’ ZData ’ , b (3 ) ) s’at t e r ut
153 %klotpunkten i dess nya l’age i BR. ) v i l k a uppdaterar a l l a g r a f i s k a
ob jekt .
40
154 %}
155
156 c l e a r a l l ; c l f ;
157
158
159 %nedan in t r oduce ra s konstanter som anv’andaren kan v’al j a a t t
160 %ju s t e r a e f t e r behov , beroende på dennes dator s prestandakrav osv .
161 %{
162 %Detta program (BR) verkar vara mindre kr’avande ’an VR
163 %så det f i n n s mer f r i h e t i hur man v i l l ans’at ta konstanterna h’ar , och
164 %jag har inga d i r ek ta rekommendationer , om anv’andaren ’ar i n t r e s s e r a d
165 %b’or denne t e s t a s j’al v .
166
167 %1. ’ pause length ’ bes t’ammer , i sekunder , den t i d det s k a l l ta mellan
va r j e
168 %i t e r a t i o n av at t l’asa av vektorpunktens l’age och po s i t i o n e r a
vektorsystemet och
169 %klotpunkten e f t e r det .
170
171 %2. ’ d i s t ’ b e s k r i v e r f r ån v i l k e t avst ånd de b l å punkterna
172 %akt i v e r a r p i l a rna s å at t de kan f’or f l y t t a s
173
174 %3. Po in td i s tance uts’at t e r e t t krav
175 %som begr’ansar an t a l e t p r o c e s s e r som g’or s i whi l e loopen , genom att
176 %kon t r o l l e r a v i l k e t avst ånd den nuvarande in te rakt i onspunkten har
177 %r e l a t i v t den t i d i g a r e i t e r a t i on spunk t en
178 %dvs om man s’at t e r po in td i s t anc e 0 .01 må s t e in t e rakt i onspunkten ha f’o
r f l y t t a t s
179 %0.01 enheter f r ån det l’age den var sedan sena s t e gra f ikuppdate r ing ,
innan
180 %programmet k on t r o l l e r a r huruvida klotpunkten s k a l l f l y t t a s r e l a t i v t
181 %inte rak t i on spunktens nuvarande l’age .
182
183 %Den g’or ’aven s å at t in t e rak t i onspunkte rna
184 %in t e på verkar systemet om in t e anv’andaren r’or vid dem . Om man
185 %s’at t e r po in td i s t anc e t i l l n o l l f i n n s det ingen f’or s’akr ing t i l l detta .
186
187 %( Jag t r o r detta ’ar pga at t impoint , som gene r e ra r
in te rakt ionspunkte rna ,
188 %verkar f l y t t a s i g s j’alv , om ’an v’al d i g t l i t e , i s i n egen uppdater ing .
189 %( jag ’ar os’aker på dessa d e t a l j e r , kan ju ocks å tex vara r e l a t e r a t t i l l
190 %gra f i k e n s uppdater ingar ) . )
191 %}
192 d i s t =1.5 ;
193 pause length =0.05;
194 po in td i s t anc e =0.005;
195
196 %nedan i n s t a n t i e r a s de l o g i s k a /matematiska objekten
197
198 %b ’ar punkten i klotrymden som , som r e l a t e r a r t i l l kvaternionrummet
199 %via q=exp (b/2) . H’ar r e l a t e r a r den t i l l r o t a t i o n e r med T(v )=qvq^(−1)
200 %( punkten kommer i texten k a l l a s " klotpunkten " då dess v i s u e l l a
a spekte r be t rakta s
201 % och b om jag s k a l l be sk r iva den som e t t matematiskt ob jekt )
202
203 b=[0 0 0 ] ;
41
204 x= [1 , 0 , 0 ] ;
205 y= [0 , 1 , 0 ] ;
206 z = [ 0 , 0 , 1 ] ;
207
208
209 %koden nedan r i t a r ut k l o t e t i v i l k e t klotpunkten (b) be f i nne r s i g
210
211 f i g u r e (1 )
212
213 s e t ( gcf , ’ Po s i t i on ’ , [ 100 , 100 , 1000 , 500 ] )
214
215
216 subplot ( 1 , 2 , 1 )
217
218 [m n o]= sphere ; %t o t a l sphere bdry => q=−1
219 s u r f (2∗ pi ∗m,2∗ pi ∗n ,2∗ pi ∗o , ’ f a c e c o l o r ’ , ’ b lue ’ , ’ f a c ea lpha ’ , . 3 , ’ EdgeAlpha
’ , 0 ) ;
220 hold on
221 s u r f ( p i ∗m, pi ∗n , p i ∗o , ’ f a c e c o l o r ’ , ’ green ’ , ’ f a c ea lpha ’ , . 5 , ’ EdgeAlpha ’ , 0 ) ;
222 hold on
223 phi=l i n s p a c e (0 ,2∗ pi ) ;
224 x l ab e l ( ’ x ’ )
225 y l ab e l ( ’ y ’ )
226 z l a b e l ( ’ z ’ )
227 t i t l e ( ’ Bivektorrymden BR’ , ’ FontSize ’ ,14) ;
228
229 p lo t (2∗ pi ∗ cos ( phi ) ,2∗ pi ∗ s i n ( phi ) , ’ b lack ’ ) % c i r c l e f o r v i s u a l i s a t i o n
230 hold on
231 p lo t3 ([−10 1 0 ] , [ 0 0 ] , [ 0 0 ] , ’ b lack ’ , [ 0 0] , [−10 10 ] , [ 0 0 ] , ’ b lack ’ , [ 0
0 ] , [ 0 0 ] , [−10 10 ] , ’ b lack ’ )
232
233 %klotpunkten r i t a s ut ,
234 %samt t r e stycken " skuggb i l d e r " ; p r o j e k t i o n e r av b på klotrummets x , y
och z ax la r
235 %ut r i t ad e i gr å ska l a med svag l j u s i n s t’al l n i n g , f’or a t t ge mer i n s i k t
236 %i var inom klotrummet bo l l en be f i nne r s i g i .
237 %( bo l l en s t å r s i s t i koden s å at t den i n t e ’ove r t’acks av skuggb i lde rna )
238
239 uxyz=plo t3 ( [ 0 0 0 ] , [ 0 0 0 ] , [ 0 0 0 ] , ’ ∗ ’ , ’ Color ’ , [ 0 . 5 0 . 5 0 . 5 ] ) ;
240 u=su r f ( 0 . 35∗m,0 . 3 5∗n , 0 . 3 5∗ o , ’ f a c e c o l o r ’ , ’ red ’ , ’ f a c ea lpha ’ ,1 , ’ EdgeAlpha
’ , 0 ) ;
241
242 g r id on
243 ax i s ([−7 7 −7 7 −7 7 ] )
244 ax i s equal
245 hold on
246
247 subplot ( 1 , 2 , 2 ) ;
248
249 %Koden nedan r i t a r ut vektorsystemet som ro t e r a s av
250 %den kvatern ion (q ) som be sk r i v s av klotpunkten v ia q=exp (b/2) .
251 vec1=quiver3 (0 , 0 , 0 , x (1 ) , x (2 ) , x (3 ) , ’b ’ ) ; hold on ;
252 vec2=quiver3 (0 , 0 , 0 , y (1 ) , y (2 ) , y (3 ) , ’ r ’ ) ;
253 vec3=quiver3 (0 , 0 , 0 , z (1 ) , z (2 ) , z (3 ) , ’ g ’ ) ;
254
255 %et t mindre vektorsystem som v i s a r vektor sys temets u r sp rung spo s i t i on
42
256 %(b=0, e l l e r [ x , y , z ]=[1 0 0 ] , [ 0 1 0 ] , [ 0 0 1 ] )
257 smal lx=quiver3 (−0.5 ,−0.5 ,−1 ,0.5 ,0 ,0 , ’b ’ ) ;
258 smal ly=quiver3 (−0.5 ,−0.5 ,−1 ,0 ,0 .5 ,0 , ’ r ’ ) ;
259 smal l z=quiver3 (−0.5 ,−0.5 ,−1 ,0 ,0 ,0 .5 , ’ g ’ ) ;
260
261
262 xlim ([−1.2 1 . 2 ] )
263 ylim ([−1.2 1 . 2 ] )
264 z l im ([−1.2 1 . 2 ] )
265 t i t l e ( ’ Vektorrymden VR’ , ’ FontSize ’ ,14) ;
266
267 %kod som ’ p r o j i c e r a r ’ bollrymden på x−y , z−x och y−z planen ,
268 %inom v i l k a t r e separata punkter (h’ar ka l l ade i n t e r ak t i on spunk t e r ( de
b l å punkter )
269 %v i l k a l å t e r d ig manipulera k lotpunktens ( den r’oda ) l’age .
270 %Om man f’or f l y t t a r e t t p lans in t e rak t i on spunkt s å a t t den hamnar
271 %t i l l r ’ac k l i g t n’ara klotpunkten ( avst åndet bes t’ams av ’ d i s t ’ ) kommer
272 %klotpunkten at t f’or f l y t t a s t i l l i n t e rak t i on spunktens p l a t s .
273
274 %c i r k e l n i n r i t a t i p lanet b e s k r i v e r avst åndet punkten har f r ån
275 %k l o t e t s rand i detta plan , dess s t o r l e k uppdateras e f t e r
276 %klotpunktens nya l’agen .
277
278 %( koden f’or samt l i ga plan ’ar i al lm’anhet analoga )
279
280 %genom att g’ora subp lot ten som e t t objekt , kan den dek l a r e r a s
281 %t i l l en " parent " f’or impointen , v i l k e t t i l l å t e r mig at t bes t’amma
282 %impointens l’age i n u t i koden
283 %xyz=subplot ( 3 , 4 , [ 9 1 0 ] ) ;
284
285 f i g u r e (2 ) ;
286 s e t ( gcf , ’ Po s i t i on ’ , [ 100 , 100 , 600 , 200 ] )
287
288 bxyz=p lo t ( [ b (1 )−20 b (3 ) b (2 ) +20 ] , [ b (2 ) b (1 ) b (3 ) ] , ’ red ∗ ’ ) ; hold on
289
290 c i r c z=p lo t (2∗ pi ∗ cos ( phi )−20 ,2∗ pi ∗ s i n ( phi ) , ’ g ’ ) ;
291
292 c i r c y=p lo t (2∗ pi ∗ cos ( phi ) ,2∗ pi ∗ s i n ( phi ) , ’ r ’ ) ;
293
294 c i r c x=p lo t (2∗ pi ∗ cos ( phi )+20 ,2∗ pi ∗ s i n ( phi ) , ’ b ’ ) ;
295
296 xlim ([−30 30 ] ) ;
297 ylim ([−8 8 ] ) ;
298 ax i s ([−30 30 −10 10 ] )
299
300 txtxy = ’x−y plan ’ ;
301 txtzx = ’ z−x plan ’ ;
302 txtyz = ’y−z plan ’ ;
303 t ex t (−23 ,−7.5 , txtxy ) ;
304 t ex t (−3 ,−7.5 , txtzx ) ;
305 t ex t (17 ,−7.5 , txtyz ) ;
306 t i t l e ( ’ i n t e r a k t i v a plan ’ , ’ FontSize ’ ,12) ;
307
308 h=impoint ( gca , [ 0 7 ] ) ;
309
310 p=[0 7 ] ;
43
311 p2=p ;
312
313 d i s t=d i s t ^2;
314
315
316 %inom whi le loopen d e f i n i e r a s a l l i n t e r a k t i o n mellan programmet
317 %och anv’andare . F’or s t i n i t i e r a s programmets get−f unk t i one r f’or
318 %att f i nna in t e rak t i on spunkt e rna s nuvarande l’agen , v a r e f t e r
319 %i f s a t s e r k o l l a r om inte rak t i onspunkte rna ’ar t i l l r ’ac k l i g t n’ara
klotpunkten
320 %f’or a t t klotpunkten s k a l l f’or f l y t t a s , v a r e f t e r b o l l e n s l’age j u s t e r a s
321 %och vektorsystemet r o t e r a s e f t e r den b o l l i rummet som va l t s ut .
322
323 bt=b ;
324 whi le ( t rue )
325 pause ( pause length )
326 p=h . g e tPo s i t i on ;
327
328 i f ( po in td i s tance<=norm(p−p2 ) ) ;
329 i f ( ( p (1 )−b (1)+20)^2+(p (1 )−b (2) )^2<=d i s t )
330 b (1)=p (1) +20;
331 b (2)=p (2) ;
332 e l s e i f ( ( p (1 )−b (3) )^2+(p (2 )−b (1) )^2<=d i s t )
333 b (3)=p (1) ;
334 b (1)=p (2) ;
335 e l s e i f ( ( p (1 )−b (2)−20)^2+(p (2 )−b (3) )^2<=d i s t )
336 b (2)=p (1) −20;
337 b (3)=p (2) ;
338 end
339
340 %Då b ’ s norm ( phi ) ’ar s t’or r e ’an 2∗ pi r e f l e k t e r a s den genom den
l i n j e som
341 %de la r dess r i k t n i n g med s t o r l e k en (4∗ pi−phi )
342
343 %{
344 %Om phi=2∗pi+phi ’ , phi ’>0 f å r v i phi−>phi2=2∗pi−phi ’ , e f t e r som v i
har
345 %modulo 2∗pi , motsvarar ju denna punkt samma kvatern ion som man drog
t i l l ,
346 %f a s t b s k a l l hå l l a s inom k l o t e t .
347 %}
348
349 i f (2∗ pi<=norm(b) )
350 b=−(4∗pi−norm(b) ) ∗b/norm(b) ;
351 end
352
353 %i f ( b a l l d i s t <(bt (1 )−b (1) )^2+(bt (2 )−b (2) )^2+(bt (3 )−b (3) ) ^2)
354
355 %uppdaterar s t o r l e k en hos c i r k l a r n a i planen e f t e r b−vektorns nya l
’age
356
357
358 rx=sq r t ( (2∗ pi )^2−b (1) ^2) ;
359 ry=sq r t ( (2∗ pi )^2−b (2) ^2) ;
360 rz=sq r t ( (2∗ pi )^2−b (3) ^2) ;
361
44
362 s e t ( c i r cx , ’XData ’ , rx∗ cos ( phi )+20, ’YData ’ , rx∗ s i n ( phi ) )
363 s e t ( c i r cy , ’XData ’ , ry∗ cos ( phi ) , ’YData ’ , ry∗ s i n ( phi ) )
364 s e t ( c i r c z , ’XData ’ , r z ∗ cos ( phi )−20, ’YData ’ , r z ∗ s i n ( phi ) )
365
366 %se t funkt i one r som uppdaterar k lotpunktens l’age
367 s e t ( bxyz , ’XData ’ , [ ( b (1 )−20) b (3 ) b (2 ) +20] , ’YData ’ , [ b (2 ) b (1 ) b
(3 ) ] ) ;
368 s e t (u , ’XData ’ ,b (1 )+m∗0 .35 , ’YData ’ ,b (2 )+n ∗0 .35 , ’ ZData ’ ,b (3 )+o
∗0 . 35 )
369 s e t ( uxyz , ’XData ’ , [ b (1 ) 0 0 ] , ’YData ’ , [ 0 b (2 ) 0 ] , ’ ZData ’ , [ 0 0 b
(3 ) ] )
370
371 %kvatern ionen exp (b/2) ta s ut , och RotateVectorQ ’ar en funkt ion
372 %i quatern ion .m som ro t e r a r systemet g i v e t en kvatern ion
373 q=exp ( quatern ion (0 , b (1 ) /2 ,b (2 ) /2 ,b (3 ) /2) ) ;
374 x=RotateVectorQ (q , [ 1 0 0 ] ) ;
375 y=RotateVectorQ (q , [ 0 1 0 ] ) ;
376 z=RotateVectorQ (q , [ 0 0 1 ] ) ;
377
378 %se t funkt i one r som uppdaterar vektorrummet
379 s e t ( vec1 , ’ udata ’ , x (1 ) , ’ vdata ’ , x (2 ) , ’ wdata ’ , x (3 ) ) ;
380 s e t ( vec2 , ’ udata ’ , y (1 ) , ’ vdata ’ , y (2 ) , ’ wdata ’ , y (3 ) ) ;
381 s e t ( vec3 , ’ udata ’ , z (1 ) , ’ vdata ’ , z (2 ) , ’ wdata ’ , z (3 ) ) ;
382 bt=b ;
383 %end
384 p2=p ;
385 end
386 end
C.3 SR
1 c l e a r a l l ; c l f ;
2
3 %{
4 %Detta program ’ar skapat i samband med e t t kandidatpro jekt ,
5 %och ’ar menat at t vara en de l i e t t paket av t r e
6 %(VR,BR och SR( detta program ) , d’ar VR s t å r f’or vektorrummet , BR f’or
7 %Bivektorrummet
8 %och SR f’or spinorrummet ) .
9
10 %F’or a t t BR och SR s k a l l kunna k’ora kr’avs a t t man laddar hem quatern ion
.m
11 %F’or SR kr’avs ’aven p l a t on i c_so l i d .m
12
13 %Vardera program s k a l l gå a t t anv’anda utan t i l l g ång t i l l de andra , och
gå r
14 %att anv’anda utan djupare kunskap i matematiken om bara f’or n’oj e s s k u l l
.
15
16 %Denna in l edn ing ’ar sk r i v en f’or a t t ge i n s i k t i vad de o l i k a
17 %programmen g’or , vad de ’ar t i l l f’or , hur man anv’ander dem , och hur de ’a
r
18 %uppbyggda .
19 %Den ’ar sk r i v en f’or a t t f’or s’oka s å l ångt det gå r e nh e t l i g t
20 %beskr iva samt l i ga t r e program samtid igt , s å
21 %att det i n t e f i n n s behov av at t l’asa in l edn ingen i någon av de andra .
45
22
23 %Mer s p e c i f i k a d e t a l j e r r e l a t e r ad e t i l l v a r j e kods uppbyggnad ; vad de
o l i k a
24 %momenten g’or och va r f’or de s k r i v s på det s’at t de g’or s s k a l l s k r i v a s n’a
ra
25 %t i l l h ’orande kodstycke .
26
27 %Kunskaper kr ing programmering tenderar a t t var i e ra , s å jag har
28 %f’or e d r a g i t a t t ta upp " f’or många d e t a l j e r " ’an f’or f å i texten , s å
koden
29 %sk a l l vara enke l a t t f’or s t å ’aven utan t i d i g a r e kunskaper .
30
31 %BR och VR ’ar en v i s u e l l demonstrat ion av hur kvatern ionerna
32 %dubbelt t’acker gruppen SO(3) , som be sk r i v e r r o t a t i o n e r i 3D.
33 %SR ’ar en v i s u a l i s e r i n g av sp inore r , som på v i s a r r o t a t i o n e r s "Spin 2
minne " .
34
35 %Programmens s t ruk tu r e r ’ar på många s’at t l i k a ;
36 %Den f’or s t a koden i va r j e program har jag s a t t ut parametrar som ’ar
d i t s a t t a
37 %så at t anv’andaren s k a l l kunna j u s t e r a e f t e r datorprestanda och
pe r s on l i g a p r e f e r en s e r ,
38 %sedan s t å r s å många som m’oj l i g t av de l o g i s k a /matematiska objekten ,
39 %vektore r osv
40
41 %D’ar e f t e r i n s t a n t i e r a s d i v e r s e geometr i ska ob jekt s a t t i s i na
42 %" s t a r t l’agen " .
43
44 %I vardera program f i nn s t r e plan ned på v i l k a e t t rum p r o j i c e r a s
45 %( I BR och SR p r o j i c e r a s "Bivektorrymden " , i VR p r o j i c e r a s "
Vektorrummet ") .
46 %Dessutom kommer i vardera plan en punkt i n s t a n t i e r a s
47 %( en bl å s t j’arna ( ’∗ ’ ) ) som i samt l i ga t e x t e r kommer k a l l a s "
in t e rakt i onspunkten " ,
48 %f’or a t t s’ar s k i l j a den f r ån punkten i BR, som kommer k a l l a s "
klotpunkten " .
49 %Planen kommer k a l l a s " i n t e r ak t i on sp l an en " och kommer o f t a be sk r i va s
50 %som att de " t i l l h ’or " det rum som p r o j i c e r a d e s ned på det
51 %( exempelv i s h’ar i VR kan texten "vektorrummets plan " f’orekomma) .
52 %Bland de ob jekt som f i nn s v i s u e l l t r ep r e s en t e rade i planen f i n n s
53 %komponenter som kan i n t e r a g e r a med in te rakt i onspunkte r ,
54 %v i l k a kommer k a l l a s ’ i n t e r ak t i on s ob j ek t ’ .
55 %inte rak t i onspunkte rna gå r a t t f l y t t a i det plan i v i l k e t det ’ar
d e f i n i e r a t
56 %Genom att komma t i l l r ’ac k l i g t n’ara e t t i n t e r a k t i o n s ob j e k t
57 %kommer f’oremå l e t a t t f l y t t a s i g s å den hamnar på samma p l a t s som
58 %inte rakt i onspunkten .
59 %in t e r ak t i on sp l an en ’ar a l l t i d x−y , z−x , och y−z planen .
60 %Det ’ar v’ar t a t t anm’arka at t jag va l t a t t k a l l a e t t plan z−x . Det var
61 %de l v i s f’or a t t behå l l a o r i e n t e r i n g och s å at t samt l i ga g r u n d t i l l s t ånd
62 %hos vektorrummets plan har samma form , samt at t det f i n n s nå got
t r e v l i g t
63 %’over lapp i meningen at t n’ar man i Spin−Algebran o f t a n’amner
64 %bivektorn e13 som e31 ( e l l e r snarare har v i i , j , k−> −e23 ,−e31 ,−e12 ) .
65
66 %"Vektorrummet" och "Bivektorrummet" r ep r e s en t e r a s i samt l i g kod
46
67 %vektorrummets v i s u e l l a komponenter ’ar t r e stycken vektorer ,
68 %som s k a l l r ep r e s en t e r a e t t koordinatystem
69 %(x−axel , y−axe l och en z−axe l ) och i en bredare bem’ark e l s e , vek to re r i
70 %tr e dimens ioner .
71 %Bivektorrummet best å r av e t t k l o t med rad i e 2∗ pi
72 %som ’ar en v i s u e l l r e p r e s en t a t i on av enhetskvatern iornerna , v i l k a utg’or
73 %en t r ed imen s i o n e l l s f’ar inb’addad i f y ra dimensioner , och
74 %om b=[b1 b2 b3 ] ’ar en punkt i B(0 ,2∗ pi ) kan den r e l a t e r a s t i l l en
s p e c i f i k
75 %kvatern ion v ia b−>exp ( ( b1∗ i+b2∗ j+b3∗k ) /2)
76 %Bol l ens f r’amsta komponent ’ar en punkt ( ka l l ad klotpunkt , kommer ib land
i kod understryka
77 %att den ’ar r’od , f’or a t t s’ar s k i l j a den f r ån inte rakt ionspunkte rna , och
n’ar jag d i s ku t e r a r
78 %den som en kvatern ion e l l e r vektor kommer jag k a l l a den b)
79 %bo l l en har f’or ’ov r i g t e t t modulus på 4∗ pi ( exp ((4∗ pi ∗ j ) /2)=1) , s å n’ar
b kommer "’over " 4∗ pi
80 %kommer den f’or f l y t t a s t i l l e t t motsvarande l’age på andra s idan k l o t e t .
81 %som be sk r i v e r en s p e c i f i k punkt i k l o t e t .
82 %f’or a t t ge en b’at t r e b i l d av var i k l o t e t punkten be f i nne r s i g har
83 %" skuggb i l d e r s a t t s ut , v i l k a b e sk r i v e r b ’ s p r o j e k t i on e r på
Bivektorrymdens ax la r .
84
85 %I VR ’ar det vektorrummet som ’ar p r o j i c e r a t på i n t e r ak t i on sp l an en .
86 %vektorrummets i n t e r a k t i o n s ob j e k t ’ar de o l i k a vektore rnas p i l s p e t s a r ;
87 %n’ar in t e rakt i onspunkten kommer n’ara p i l s p e t s e n kommer dess vektor
f l y t t a s
88 %mot punkten på s å s’at t a t t vektorns l’angd i n t e
89 %’andras , dvs den r o t e r a r mot inte rakt ionspunkten ,
90 %va r e f t e r he la koordninatsystemet kommer ro t e r a e f t e r samma axe l och
91 %med samma v i nk e l u t s l a g .
92 %Varje system av koord ina tax l a r (x ’ , y ’ , z ’ ) , motsvarar en
r o t a t i on sma t r i s :
93 %[ x ’ y ’ z ’ ] ( e f te r som x ’ y ’ z ’ ’ar ortonormerade , v i har
94 %R[ e1 e2 e3 ]=[R( e1 ) R( e2 ) R( e3 ) ]=[x ’ y ’ z ’ ]
95 %I f r ån denna r o t a t i on sma t r i s kan man f å ut en vektor i Bivektorrymden
96 %genom att betrakta matr i sens " c l i f f o r d t r a c e " , v i l k e t v i kan
97 %r e l a t e r a t i l l en s p e c i f i k axe l och en s p e c i f i k v inke l , v i l k e t
98 %då ’ar en b−vektor som motsvarar k lotpunktens nya l’age i bollrummet .
99
100 %Det som t yd l i g t m’arks ’ar a t t ’aven då ro ta t i on s sy s t emet r o t e r a t 360
grader
101 %kommer i n t e b−vektorn ha å t e rg å t t t i l l [ 0 0 0 ] , utan det ’ar f’or s t
e f t e r
102 %två r o t a t i o n e r som systemet har å t e r s t’a l l t s h e l t .
103
104
105 %I BR ’ar det bollrummet som ’ar p r o j i c e r a t på in t e rak t i on sp l anen , och
106 %in t e r a k t i o n s ob j e k t e t ’ar klotpunkten . Då in te rakt i onspunkten kommer n’a
ra
107 %klotpunkten f l y t t a s klotpunkten t i l l i n t e rak t i on spunktens l’age .
108 %I var j e i n t e r a k t i o n sp l an f i n n s ’aven en c i r k e l ut r i tad , som motsvarar
109 %randen av BR.
110 %klotpunkten motsvarar (’ar ) ju en b−vektor , v i l k e t v i kan r e l a t e r a t i l l
en enhets−
111 %kvatern ion q=exp (b/2) , d’ar v i nu kan ro t e r a koord inatsystemet
47
112 %med qvq^−1. Mer d e t a l j r i k f’or k l a r i n g f i n n s i p ro j ek t rappor t en .
113 %I koden i s i g anv’ands e t t b e f i n t l i g t program som fanns i quatern ion .m,
114 %som jag e j vet hur den ’ar uppbyggd .
115
116 %I SR har v i spinorrummet , v i l k e t l i k t BR ’ar e t t k l o t av rad i e 2∗pi ,
117 %var i det l i g g e r f y ra stycken punkter ( å t e r i g e n ’ s t j’arnor ’ , (∗ ) )
118 %som motsvarar sp i no r e r .
119 %Spinore r b e sk r i v s o f t a som vekto re r i C^2 , d’ar det f i n n s en
120 %kvat e rn i on r ep r e s en ta t i on p(q )=[z w;−w’ z ’ ] , som ’ verkar ’ på
121 %sp inore rna . I SR gå r v i ’over t i l l R^4 , oh e f te r som p bevarar l’angder
122 %kommer " enhe t s sp ino r e r " be f inna s i g i s f’aren , s å v i r e p r e s en t e r a r
123 %sp inore rna i någon mening som om de vore " kvate rn ione r " .
124 %I SR ’ar det å t e r i g e n BR som p r o j i c e r a s på in t e rak t i on sp l anen , med
125 %samma in t e r ak t i on s sy s t em som i BR, och n’ar b o l l e n s r’or e l s e r e s u l t e r a r
126 %i f’or’andr ingar av kvatern ionens l’age genom det p(q ) som beskrevs ovan .
127
128 %f’or a t t hj’alpa v i s u a l i s e r i n g e n av sp ino r e rna s l’agen f i n n s ’aven
129 %" skuggb i l d e r " , men e f te r som det inneb’ar a t t spinorrymden har 16
stycken
130 %v i s u a l i s e r a d e punkter , ’ar det va lba r t a t t s’at ta på dem .
131 %det f i n n s ’aven p r o j e k t i on e r av sp inore rna ned på " go lv e t " och ena
132 %"v’aggen " , f’or a t t ge mer i n s i k t i deras l’agen . Den ’ar s a t t som "på" om
133 %anv’andaren i n t e s t’anger av dem .
134
135
136 %samt l iga i n t e r a k t i o n e r mellan program och anv’andare
137 %i va r j e kod hanteras inom en whi le loop , som a l l t i d ’ar s a t t t i l l ’ true
’ .
138 %inte rak t i onspunkte rna ’ar " impoint"−ob jekt .
139 %Som i n s t a n t i e r a s s t rax e f t e r p lanet det b e f i nne r s i g i .
140 %Dessa k a l l a s på i loopen med en " get "
141 %(F’or den ovane : get / g e t t e r s och s e t / s e t t e r s ’ar
142 %i programmering typ i ska funkt i one r a t t ge k l a s s e r . En " get " l å t e r
143 %anv’andaren l’asa av v a r i a b l e r /h’amta in fo rmat ion som e t t ob jekt har
144 %( i detta f a l l har v i en impoint , vars v a r i ab e l v i p lockar ’ar " Pos i t i on
"
145 %Den kan i n s t a n t i e r a s v ia h . impoint ( ) ; , och po s i t i on en f å s då
146 %via h . g e tPo s i t i on . ) )
147 %inte rak t i on spunktens l’age sparas , och en s e r i e i f−s a t s e r k o l l a r om
148 %den nuvarande punkten ’ar n’ara nå got i n t e r a k t i o n s ob j e k t .
149 %po in td i s t anc e garante ra r a t t de i n t e r ak t i on spunk t e r som in t e v id r’or s
150 %e j kan i n t e r a g e r a med s i t t p lans i n t e r ak t i on s ob j e k t , v i l k e t hade g j o r t
151 %programmet svå rnav i g e r a t .
152 %}
153
154 %nedan in t r oduce ra s en de l konstanter som anv’andaren kan v’al j a a t t
155 %ju s t e r a e f t e r behov , beroende på dennes dator s prestandakrav osv .
156 %{
157
158 %1. ’ pauselength ’ bes t’ammer , i sekunder , den t i d det s k a l l ta mellan
va r j e
159 %i t e r a t i o n av at t l’asa av vektorpunktens l’age och po s i t i o n e r a
vektorsystemet och
160 %klotpunkten e f t e r det .
161
162
48
163 %2. ’ d i s t ’ b e s k r i v e r f r ån v i l k e t avst ånd inte rakt i onspunkten s k a l l vara
164 %f r ån någon av klotpunktens p r o j e k t i on e r innan r’or e l s e ak t i v e r a s .
165
166 %3. Po in td i s tance uts’at t e r e t t krav
167 %som begr’ansar an t a l e t p r o c e s s e r som g’or s i whi l e loopen , genom att
168 %kon t r o l l e r a v i l k e t avst ånd den nuvarande in te rakt i onspunkten har
169 %r e l a t i v t den t i d i g a r e i t e r a t i on spunk t en
170 %dvs om man s’at t e r po in td i s t anc e 0 .01 må s t e in t e rakt i onspunkten ha f’o
r f l y t t a t s
171 %0.01 enheter f r ån det l’age då klotpunkten senas t f l y t t ad e s , innan
172 %programmet k on t r o l l e r a r huruvida klotpunkten s k a l l f l y t t a s r e l a t i v t
173 %inte rak t i on spunktens nuvarande l’age .
174 %Den har ’aven funkt ionen at t utan den hade ’aven de in t e r ak t i on spunkt e r
175 %i planen du i n t e be f i nne r d ig i hade kunnat påverka systemet .
176 %Jag hade t i d i g a r e f’or s’okt med en l iknande funkt ion , ekv i va l en t
177 %med denna om po in td i s t anc e var n o l l .
178 %Av någon anledning f i c k jag dock s t’orn ingar , jag t r o r det kan bero på
179 %impoint , men ’ar d e f i n i t i v t i n t e s’aker .
180
181 %Med b a l l d i s t k o n t r o l l e r a s hur l ångt klotpunkten s k a l l ha r’or t
182 %s i g innan g r a f i k en uppdateras . Dess analog i VR ’ar " v e cd i s t "
183
184 %}
185
186 d i s t =1.5 ;
187 pause length =0.05;
188 po in td i s t anc e =0.1 ;
189 ba l l d i s t a n c e =0.1 ;
190
191 %shadeon s’at t e r ut " skuggade" v e r s i o n e r av sp inore rna (mer t ransparenta
)
192 %som ’ar u t sa t t a på x−y−z ax larna
193 %pro j e c t i onon s’at t e r ut p r o j e k t i on e r av sp inorerna , plana b i l d e r
194 %på z=−10 och x=10 planen .
195 %de syns om konstanten ’ar s a t t t i l l 1 .
196 %shadeon ’ar f’or t i l l f ’a l l e t av , det b l i r l’at t v’al d i g t många punkter
v i l k e t
197 %kan g’ora det svå r t a t t se
198
199 shadeon=0;
200 pro j e c t i onon =1;
201
202 %de matematiska/ l o g i s k a objekten
203 %b ’ar punkten i k l o t e t av rad i e 2∗pi , som r e l a t e r a r t i l l
kvaternionrummet
204
205 %som en exponent i a l . b1 , b2 , b3 , b4 ’ar de vekto r e r som be sk r i v e r
206 %sp inore rna som rep r e s en t e rade i kvaternionrummet ( sp inorpunkter )
207 %sp inore rna ’ar i s i g vekto re r i e t t 4 d imen s i on e l l t rum , som v i h’ar
208 %r e l a t e r a r t i l l k l o t e t genom att betrakta vardera index som e t t b idrag
t i l l
209 %en kvatern ion : q=[q1 q2 q3 q4]−> q1+i ∗q2+j ∗q3+k∗q4
210
211 %x , y , z ’ar basvektorerna i vektorrymden
212
213 %r best’ammer s t o r l e k en hos sp inore rna
49
214
215 b=[0 0 0 ] ;
216
217 b1=[0 0 0 ] ;
218 b2=[ p i 0 0 ] ;
219 b3=[0 p i 0 ] ;
220 b4=[0 0 p i ] ;
221
222 x = [ 1 ; 0 ; 0 ] ;
223 y = [ 0 ; 1 ; 0 ] ;
224 z = [ 0 ; 0 ; 1 ] ;
225
226 r =0.5 ;
227
228 shaded i s t =10;
229
230
231 %f’or s t r i t a s bollrymden (BR) ut
232
233 f i g u r e (1 )
234
235 s e t ( gcf , ’ Po s i t i on ’ , [ 100 , 100 , 1800 , 600 ] )
236
237
238 subplot ( 2 , 6 , [ 1 2 7 8 ] )
239
240 %koden nedan r i t a r ut k l o t e t i v i l k e t klotpunkten (b) be f i nne r s i g
241
242 [m n o]= sphere ; %t o t a l sphere bdry => q=−1
243 s u r f (2∗ pi ∗m,2∗ pi ∗n ,2∗ pi ∗o , ’ f a c e c o l o r ’ , ’ b lue ’ , ’ f a c ea lpha ’ , . 1 5 , ’
EdgeAlpha ’ , 0 ) ;
244 hold on
245
246 s u r f ( p i ∗m, pi ∗n , p i ∗o , ’ f a c e c o l o r ’ , ’ green ’ , ’ f a c ea lpha ’ , . 3 , ’ EdgeAlpha ’ , 0 ) ;
247 phi=l i n s p a c e (0 ,2∗ pi ) ;
248 p lo t (2∗ pi ∗ cos ( phi ) ,2∗ pi ∗ s i n ( phi ) , ’ b lack ’ ) % c i r c l e f o r v i s u a l i s a t i o n
249 hold on
250 p lo t3 ([−10 1 0 ] , [ 0 0 ] , [ 0 0 ] , ’ b lack ’ , [ 0 0] , [−10 10 ] , [ 0 0 ] , ’ b lack ’ , [ 0
0 ] , [ 0 0 ] , [−10 10 ] , ’ b lack ’ )
251
252 %klotpunkten r i t a s ut
253 %samt t r e stycken " skuggb i l d e r " ; p r o j e k t i o n e r av b på klotrummets x , y
och z ax la r
254 %ut r i t ad e i gr å ska l a med svag l j u s i n s t’al l n i n g , f’or a t t ge mer i n s i k t
255 %i var inom klotrummet bo l l en be f i nne r s i g i .
256 %( bo l l en s t å r s i s t i koden s å at t den i n t e ’ove r t’acks av skuggb i lde rna )
257
258 %uxyz=plo t3 ( [ 0 0 0 ] , [ 0 0 0 ] , [ 0 0 0 ] , ’ ∗ ’ , ’ Color ’ , [ 0 . 5 0 . 5 0 . 5 ] ) ;
259
260 uxyz=su r f ( [ 0 . 3 5 ∗m;0 . 3 5∗m;0 . 3 5∗m] , [ 0 . 3 5 ∗ n ; 0 . 3 5∗ n ; 0 . 3 5∗ n ] , [ 0 . 3 5 ∗ o ; 0 . 3 5∗ o
; 0 . 3 5∗ o ] , ’ f a c e c o l o r ’ , ’ red ’ , ’ f a c ea lpha ’ , 0 . 2 , ’ EdgeAlpha ’ , 0 ) ;
261
262 u=su r f ( 0 . 35∗m,0 . 3 5∗n , 0 . 3 5∗ o , ’ f a c e c o l o r ’ , ’ red ’ , ’ f a c ea lpha ’ ,1 , ’ EdgeAlpha
’ , 0 ) ;
263
264 x l ab e l ( ’ x ’ )
50
265 y l ab e l ( ’ y ’ )
266 z l a b e l ( ’ z ’ )
267 t i t l e ( ’ Bivektorrymden BR’ , ’ FontSize ’ ,14) ;
268 g r id on
269 ax i s ([−7 7 −7 7 −7 7 ] )
270 ax i s equal
271
272 %kodstycket nedan v i s u a l i s e r a r gene r e ra r spinorrymden och sp inore rna
273
274 %k l o t e t d’ar sp inore rna ’ar u t sa t ta ( Spinorrymden )
275
276 subplot ( 2 , 6 , [ 3 4 9 10 ] )
277
278 s u r f (2∗ pi ∗m,2∗ pi ∗n ,2∗ pi ∗o , ’ f a c e c o l o r ’ , ’ b lue ’ , ’ f a c ea lpha ’ , 0 . 1 5 , ’
EdgeAlpha ’ , 0 ) ;
279 hold on
280 s u r f ( p i ∗m, pi ∗n , p i ∗o , ’ f a c e c o l o r ’ , ’ green ’ , ’ f a c ea lpha ’ , . 3 , ’ EdgeAlpha ’ , 0 ) ;
281
282 x l ab e l ( ’ x ’ )
283 y l ab e l ( ’ y ’ )
284 z l a b e l ( ’ z ’ )
285
286 p lo t (2∗ pi ∗ cos ( phi ) ,2∗ pi ∗ s i n ( phi ) , ’ b lack ’ ) % c i r c l e f o r v i s u a l i s a t i o n
287
288 p lo t3 ([−10 1 0 ] , [ 0 0 ] , [ 0 0 ] , ’ b lack ’ , [ 0 0] , [−10 10 ] , [ 0 0 ] , ’ b lack ’ , [ 0
0 ] , [ 0 0 ] , [−10 10 ] , ’ b lack ’ )
289
290
291 %spinorerna , r ep r e s en t e rade som platonska s o l i d e r inom e t t k l o t
292 %samt skuggb i l d e r
293
294 i f ( shadeon==1)
295 [ Vt ,F]= p l a t on i c_so l i d (5 , r ) ;
296 Vt=[Vt ( : , 1 )+b1 (1 ) ,Vt ( : , 2 ) ,Vt ( : , 3 ) ; Vt ( : , 1 ) ,Vt ( : , 2 )+b1 (2) ,Vt ( : , 3 ) ; Vt ( : , 1 )
,Vt ( : , 2 ) ,Vt ( : , 3 )+b1 (3 ) ] ;
297 u1xyz=patch ( ’ Faces ’ , [F ;F+20;F+20] , ’ Ve r t i c e s ’ ,Vt , ’ FaceColor ’ , ’ b ’ , ’
FaceAlpha ’ , 0 . 2 , ’ EdgeColor ’ , ’ k ’ , ’ Edgealpha ’ , 0 . 2 , ’ LineWidth ’ , 0 . 1 ) ;
298 [ Vt ,F]= p l a t on i c_so l i d (2 , r ) ;
299 Vt=[Vt ( : , 1 )+b2 (1 ) ,Vt ( : , 2 ) ,Vt ( : , 3 ) ; Vt ( : , 1 ) ,Vt ( : , 2 )+b2 (2) ,Vt ( : , 3 ) ; Vt ( : , 1 )
,Vt ( : , 2 ) ,Vt ( : , 3 )+b2 (3 ) ] ;
300 u2xyz=patch ( ’ Faces ’ , [F ;F+8;F+16] , ’ Ve r t i c e s ’ ,Vt , ’ FaceColor ’ , ’ r ’ , ’
FaceAlpha ’ , 0 . 2 , ’ EdgeColor ’ , ’ k ’ , ’ Edgealpha ’ , 0 . 2 , ’ LineWidth ’ , 0 . 1 ) ;
301 [ Vt ,F]= p l a t on i c_so l i d (3 , r ) ;
302 Vt=[Vt ( : , 1 )+b3 (1 ) ,Vt ( : , 2 ) ,Vt ( : , 3 ) ; Vt ( : , 1 ) ,Vt ( : , 2 )+b3 (2) ,Vt ( : , 3 ) ; Vt ( : , 1 )
,Vt ( : , 2 ) ,Vt ( : , 3 )+b3 (3 ) ] ;
303 u3xyz=patch ( ’ Faces ’ , [F ;F+6;F+12] , ’ Ve r t i c e s ’ ,Vt , ’ FaceColor ’ , ’ g ’ , ’
FaceAlpha ’ , 0 . 2 , ’ EdgeColor ’ , ’ k ’ , ’ Edgealpha ’ , 0 . 2 , ’ LineWidth ’ , 0 . 1 ) ;
304 [ Vt ,F]= p l a t on i c_so l i d (4 , r ) ;
305 Vt=[Vt ( : , 1 )+b4 (1 ) ,Vt ( : , 2 ) ,Vt ( : , 3 ) ; Vt ( : , 1 ) ,Vt ( : , 2 )+b4 (2) ,Vt ( : , 3 ) ; Vt ( : , 1 )
,Vt ( : , 2 ) ,Vt ( : , 3 )+b4 (3 ) ] ;
306 u4xyz=patch ( ’ Faces ’ , [F ;F+12;F+24] , ’ Ve r t i c e s ’ ,Vt , ’ FaceColor ’ , ’ y ’ , ’
FaceAlpha ’ , 0 . 2 , ’ EdgeColor ’ , ’ k ’ , ’ Edgealpha ’ , 0 . 2 , ’ LineWidth ’ , 0 . 1 ) ;
307 end
308
309 %pr o j e k t i o n s b i l d e r f’or sp inore rna
310 %1. b l å , dodekahedronens p ro j ek t i on ( dodekagon )
51
311 %2. r’od , kubens p ro j ek t i on ( kvadrat )
312 %3. gr’on , hexaederns p ro j ek t i on ( romb)
313 %. gul , i sokahedronen ( hexagon )
314 i f ( p ro j e c t i onon==1)
315
316 dodecax =[1/2; s q r t (3 ) /4;1/2^2;0;−1/2^2;− s q r t (3 ) /4;−1/2;− s q r t (3 )
/4;−1/2^2;0 ;1/2^2; s q r t (3 ) / 4 ] ;
317 dodecay =[0 ;1/2^2; s q r t (3 ) /4 ; 1 /2 ; s q r t (3 ) /4;1/2^2;0;−1/2^2;− s q r t (3 )
/4;−1/2;− s q r t (3 ) /4;−1/2^2] ;
318 d3 = [ 1 0 ; 1 0 ; 1 0 ; 1 0 ; 1 0 ; 1 0 ; 1 0 ; 1 0 ; 1 0 ; 1 0 ; 1 0 ; 1 0 ] ;
319
320 v1=[dodecax+b1 (1 ) dodecay+b1 (2) −d3 ; d3 dodecax+b1 (2) dodecay+b1 (3 ) ] ;
321
322 Fdodeca=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 ] ;
323
324 u12xyz=patch ( ’ Faces ’ , [ Fdodeca ; Fdodeca+12] , ’ Ve r t i c e s ’ , v1 , ’ FaceColor ’ , ’
b lue ’ ) ; hold on
325
326 squarex =[−1/2;1/2;1/2;−1/2] ;
327 squarey =[−1/2;−1/2;1/2;1/2] ;
328 d1 = [ 1 0 ; 1 0 ; 1 0 ; 1 0 ] ;
329
330 u22xyz=patch ( ’ Faces ’ , [ 1 2 3 4 ;5 6 7 8 ] , ’ Ve r t i c e s ’ , [ squarex+b2 (1 )
squarey+b2 (2) −d1 ; d1 squarex+b2 (2) squarey+b3 (3 ) ] , ’ FaceColor ’ , ’ red ’
) ; hold on
331
332 rhombusx=[ −1/2 ;0 ; 1/2 ; 0 ] ;
333 rhombusy=[0 ; 1/2 ;0 ; −1/2 ] ;
334 d4 = [ 1 0 ; 1 0 ; 1 0 ; 1 0 ] ;
335
336 v1=[rhombusx rhombusy −d4 ; d4 rhombusx rhombusy ] ;
337
338 F=[1 2 3 4 ] ;
339
340 u32xyz=patch ( ’ Faces ’ , [F ;F+4] , ’ Ve r t i c e s ’ , [ rhombusx+b3 (1 ) rhombusy+b3 (2)
−d4 ; d4 rhombusx+b3 (2) rhombusy+b3 (3 ) ] , ’ FaceColor ’ , ’ green ’ ) ; hold on
341
342
343 i c o s ax =[0; s q r t (3 ) /4 ; s q r t (3 ) /4;0;− s q r t (3 ) /4;− s q r t (3 ) / 4 ] ;
344 i c o s ay =[1/2;1/4;−1/4;−1/2;−1/4;1/4] ;
345 d2 = [ 1 0 ; 1 0 ; 1 0 ; 1 0 ; 1 0 ; 1 0 ] ;
346
347 u42xyz=patch ( ’ Faces ’ , [ 1 2 3 4 5 6 ;7 8 9 10 11 12 ] , ’ Ve r t i c e s ’ , [ i c o sax+b4
(1) i c o say+b4 (2 ) −d2 ; d2 i co sax+b4 (2) i c o say+b4 (3) ] , ’ FaceColor ’ , ’
ye l low ’ ) ; hold on
348
349 end
350
351
352 [ Vt ,F]= p l a t on i c_so l i d (5 , r ) ;
353 Vt=[Vt ( : , 1 )+b1 (1 ) ,Vt ( : , 2 )+b1 (2) ,Vt ( : , 3 )+b1 (3 ) ] ;
354 u1=patch ( ’ Faces ’ ,F , ’ Ve r t i c e s ’ ,Vt , ’ FaceColor ’ , ’ b ’ , ’ FaceAlpha ’ ,1 , ’
EdgeColor ’ , ’ k ’ , ’ LineWidth ’ , 0 . 1 ) ;
355 [ Vt ,F]= p l a t on i c_so l i d (2 , r ) ;
356 Vt=[Vt ( : , 1 )+b2 (1 ) ,Vt ( : , 2 )+b2 (2) ,Vt ( : , 3 )+b2 (3 ) ] ;
357 u2=patch ( ’ Faces ’ ,F , ’ Ve r t i c e s ’ ,Vt , ’ FaceColor ’ , ’ r ’ , ’ FaceAlpha ’ ,1 , ’
52
EdgeColor ’ , ’ k ’ , ’ LineWidth ’ , 0 . 1 ) ;
358 [ Vt ,F]= p l a t on i c_so l i d (3 , r ) ;
359 Vt=[Vt ( : , 1 )+b3 (1 ) ,Vt ( : , 2 )+b3 (2) ,Vt ( : , 3 )+b3 (3 ) ] ;
360 u3=patch ( ’ Faces ’ ,F , ’ Ve r t i c e s ’ ,Vt , ’ FaceColor ’ , ’ g ’ , ’ FaceAlpha ’ ,1 , ’
EdgeColor ’ , ’ k ’ , ’ LineWidth ’ , 0 . 1 ) ;
361 [ Vt ,F]= p l a t on i c_so l i d (4 , r ) ;
362 Vt=[Vt ( : , 1 )+b4 (1 ) ,Vt ( : , 2 )+b4 (2) ,Vt ( : , 3 )+b4 (3 ) ] ;
363 u4=patch ( ’ Faces ’ ,F , ’ Ve r t i c e s ’ ,Vt , ’ FaceColor ’ , ’ y ’ , ’ FaceAlpha ’ ,1 , ’
EdgeColor ’ , ’ k ’ , ’ LineWidth ’ , 0 . 1 ) ;
364
365 g r id on
366 ax i s ([−7 7 −7 7 −7 7 ] )
367 ax i s equal
368 t i t l e ( ’ Spinorrymden SR ’ , ’ FontSize ’ ,14) ;
369
370
371 subplot ( 2 , 6 , [ 5 6 11 12 ] )
372
373
374 vecx=quiver3 ( [ 0 −0 .5 ] , [ 0 −0 .5 ] , [ 0 −1 .2 ] , [ x (1 ) 0 . 5 ] , [ x (2 ) 0 ] , [ x (3 ) 0 ] , ’ b
’ , ’ Autosca le ’ , ’ o f f ’ ) ; hold on ; %generate a r o t a t e ab l e x−y−z
coord inate system
375 vecy=quiver3 ( [ 0 −0 .5 ] , [ 0 −0 .5 ] , [ 0 −1 .2 ] , [ y (1 ) 0 ] , [ y (2 ) 0 . 5 ] , [ y (3 ) 0 ] , ’ r
’ , ’ Autosca le ’ , ’ o f f ’ ) ;
376 vecz=quiver3 ( [ 0 −0 .5 ] , [ 0 −0 .5 ] , [ 0 −1 .2 ] , [ z (1 ) 0 ] , [ z (2 ) 0 ] , [ z (3 ) 0 . 5 ] , ’ g
’ , ’ Autosca le ’ , ’ o f f ’ ) ;
377
378 ax i s ( [−1.2 1 .2 −1.2 1 .2 −1.2 1 . 2 ] )
379
380 pbaspect ( [ 1 1 1 ] ) ;
381 x l ab e l ( ’ x ’ )
382 y l ab e l ( ’ y ’ )
383 z l a b e l ( ’ z ’ )
384 t i t l e ( ’ Vektorrymden VR’ , ’ FontSize ’ ,14) ;
385
386
387 %{
388 %kod som p r o j i c e r a r klotrummet på x−y , z−x och y−z planen ,
389 %in r i t a d e i en gemensam plot , d’ar en punkt (h’ar ka l l ade
in t e rakt i onspunkten ( den b l å )
390 %l å t e r d ig manipulera k lotpunktens ( den r’oda ) l’age .
391 %Om man f’or f l y t t a r in t e rakt i onspunkten s å den hamnar
392 %t i l l r ’ac k l i g t n’ara klotpunkten ( avst åndet bes t’ams av ’ d i s t ’ ) kommer
393 %klotpunkten at t f’or f l y t t a s t i l l i n t e rak t i on spunktens p l a t s .
394
395 %c i r k e l n i n r i t a t i p lanet b e s k r i v e r avst åndet punkten har f r ån
396 %k l o t e t s rand i detta plan , dess s t o r l e k uppdateras e f t e r
397 %klotpunktens nya l’agen .
398 %}
399
400 f i g u r e (2 ) ;
401 s e t ( gcf , ’ Po s i t i on ’ , [ 100 , 100 , 600 , 200 ] )
402
403 bxyz=p lo t ( [ b (1 )−20 b (3 ) b (2 ) +20 ] , [ b (2 ) b (1 ) b (3 ) ] , ’ red ∗ ’ ) ; hold on
404
405 c i r c z=p lo t (2∗ pi ∗ cos ( phi )−20 ,2∗ pi ∗ s i n ( phi ) , ’ g ’ ) ;
53
406 c i r c y=p lo t (2∗ pi ∗ cos ( phi ) ,2∗ pi ∗ s i n ( phi ) , ’ r ’ ) ;
407 c i r c x=p lo t (2∗ pi ∗ cos ( phi )+20 ,2∗ pi ∗ s i n ( phi ) , ’ b ’ ) ;
408
409 ax i s ([−30 30 −10 10 ] )
410
411 txtxy = ’x−y plan ’ ;
412 txtzx = ’ z−x plan ’ ;
413 txtyz = ’y−z plan ’ ;
414 t ex t (−23 ,−7.5 , txtxy ) ;
415 t ex t (−3 ,−7.5 , txtzx ) ;
416 t ex t (17 ,−7.5 , txtyz ) ;
417 t i t l e ( ’ i n t e r a k t i v a ytor ’ , ’ FontSize ’ , 12) ;
418
419
420 h=impoint ( gca , [ 0 7 ] ) ;
421
422 %p sparar impointens l’age i loopen ,
423 %p2 anv’ands f’or a t t k on t r o l l e r a huruvida in te rakt i onspunkten f l y t t a t s
424 %t i l l r ’ac k l i g t f’or a t t g r a f i k en s k a l l uppdateras
425
426 p=[0 7 ] ;
427 p2=p ;
428
429 po in td i s t anc e=po in td i s t anc e ^2;
430 d i s t=d i s t ^2;
431 ba l l d i s t a n c e=ba l l d i s t a n c e ^2;
432
433
434 %{
435 %inom whi le loopen d e f i n i e r a s a l l i n t e r a k t i o n mellan programmet
436 %och anv’andare . F’or s t i n i t i e r a s programmets get−f unk t i one r f’or
437 %att f i nna in t e rak t i on spunkt e rna s nuvarande l’agen , v a r e f t e r
438 %i f s a t s e r k o l l a r om inte rak t i onspunkte rna ’ar t i l l r ’ac k l i g t n’ara
klotpunkten
439 %f’or a t t klotpunkten s k a l l f l y t t a s , v i l k e t r e l a t e r a s t i l l en kvatern ion
440 %som vi r ep r e s en t e r a r som en matr i s som kommer trans formera sp inorerna ,
441 %vars l’agen kan r e l a t e r a s t i l l en b o l l på samma s’at t som man kan
442 %enhetskvate rn ionerna
443 %}
444 whi le ( t rue )
445 pause ( pause length )
446 p=h . g e tPo s i t i on ;
447 i f ( po in td i s tance <=(p (1 )−p2 (1 ) )^2+(p (2 )−p2 (2 ) ) ^2)
448 d i s t 1=(p (1)−b (1)+20)^2+(p (2 )−b (2) ) ^2;
449 d i s t 2=(p (1)−b (3) )^2+(p (2 )−b (1) ) ^2;
450 d i s t 3=(p (1)−b (2)−20)^2+(p (2 )−b (3) ) ^2;
451 i f ( b a l l d i s t an c e<=d i s t 1 | | po in td i s tance<=d i s t 2 | | po in td i s tance<=
d i s t 3 )
452 i f ( ( p (1 )−b (1)+20)^2+(p (1 )−b (2) )^2<=d i s t )
453 b (1)=p (1) +20;
454 b (2)=p (2) ;
455 e l s e i f ( ( p (1 )−b (3) )^2+(p (2 )−b (1) )^2<=d i s t )
456 b (3)=p (1) ;
457 b (1)=p (2) ;
458 e l s e i f ( ( p (1 )−b (2)−20)^2+(p (2 )−b (3) )^2<=d i s t )
459 b (2)=p (1) −20;
54
460 b (3)=p (2) ;
461 end
462
463 %{
464 %Om phi=2∗pi+phi ’ , phi ’>0 f å r v i phi−>phi2=2∗pi−phi ’ , e f t e r som v i
har
465 %modulo 2∗pi , motsvarar ju denna punkt samma kvatern ion som man drog
t i l l ,
466 %f a s t b s k a l l hå l l a s inom k l o t e t .
467 %}
468 i f (2∗ pi<=norm(b) )
469 b=−(4∗pi−norm(b) ) ∗b/norm(b) ;
470 end
471
472
473 %skippar uppdater ingar om b−vektorn i n t e f’or f l y t t a t s
474 %t i l l r ’ac k l i g t ( kan vara ’ov e r f l’od ig ide . . . )
475 % i f ( b a l l d i s t <=(bt (1 )−b (1) )^2+(bt (2 )−b (2) )^2+(bt (3 )−b (3) ) ^2)
476
477
478
479 %kvatern ionens nya l’age bes t’ammer sp ino r e rna s
480
481 %d’ar e f t e r b e sk r i v s sp inore rna som enhet skvate rn ione r
482 %i den andemening at t de kan r ep r e s en t e r a s med deras r e s p ek t i v e
483 %deras j , phi , som best’ammer
484 %deras p o s i t i o n e r som punkter inom e t t kva t e rn i onk l o t
485 %( dvs ) b1=phi1 ∗ j1 , d’ar de r e l a t e r a s t i l l en
486 %kvatern ion v ia q1=exp (b1/2) ( ana logt f’or b2 , b3 , b4 )
487
488 %{
489 %Av något sk’al s t’al l d e jag om systemet s å mat r i smu l t i p l i k a t i onen
g j o rde s
490 %inu t i koden , d’ar man p lockar ur m
491 %K’anner mig manad at t å t e r s t’al l a den r ep r e s en t a t i on som anv’andes ,
492 %i f a l l det f i n n s i n t r e s s e ( k o n t r o l l e r i n g av r’akne r e g l e r osv ) :
493
494 %rho (q )=rho ( q1+i ∗q2+j ∗q3+k∗q4 )=
495 %q1∗ I+q2∗ Î+q3∗J+q4∗K =
496 %[ q1 0 0 0 ; [ 0 q2 0 0 ; [ 0 0 q3 0 ; [ 0 0 0 q4 ;
497 % 0 q1 0 0 ; + −q2 0 0 0 ; + 0 0 0 −q3 ; + 0 0 q4 0 ;
498 % 0 0 q1 0 ; 0 0 0 q2 ; −q3 0 0 0 ; 0 −q4 0 0 ;
499 % 0 0 0 q1 ] 0 0 −q2 0 ] 0 q3 0 0 ] −q4 0 0 0 ]
500 %}
501
502 q=exp ( quatern ion (0 , b (1 ) /2 ,b (2 ) /2 ,b (3 ) /2) ) ;
503 J1=[q . e (2 ) ; q . e (3 ) ; q . e (4 ) ] ;
504 J2=[q . e (1 ) ; q . e (4 ) ;−q . e (3 ) ] ;
505 J3=[−q . e (4 ) ; q . e (1 ) ; q . e (2 ) ] ;
506 J4=[q . e (3 ) ;−q . e (2 ) ; q . e (1 ) ] ;
507
508 phi1=2∗acos ( q . e (1 ) ) ;
509 phi2=2∗acos(−q . e (2 ) ) ;
510 phi3=2∗acos(−q . e (3 ) ) ;
511 phi4=2∗acos(−q . e (4 ) ) ;
512
55
513 b1=phi1 ∗J1 ;
514 b2=phi2 ∗J2 ;
515 b3=phi3 ∗J3 ;
516 b4=phi4 ∗J4 ;
517
518 %RotateVectorQ ’ar en funkt ion i quatern ion .m som
519 %ro t e r a r systemet g i v e t en kvatern ion
520 x=RotateVectorQ (q , [ 1 0 0 ] ) ;
521 y=RotateVectorQ (q , [ 0 1 0 ] ) ;
522 z=RotateVectorQ (q , [ 0 0 1 ] ) ;
523
524 %set−f unk t i one r som uppdaterar skuggb i lde rnas l’agen
525
526 %uppdaterar s t o r l e k en hos c i r k l a r n a i planen e f t e r b−vektorns nya l
’age
527 %( c i r k l a r n a s k a l l ge i n b l i c k hur n’ara klotpunkten ’ar k l o t e t s rand )
528
529 rx=sq r t ( (2∗ pi )^2−b (1) ^2) ;
530 ry=sq r t ( (2∗ pi )^2−b (2) ^2) ;
531 rz=sq r t ( (2∗ pi )^2−b (3) ^2) ;
532
533 s e t ( c i r cx , ’XData ’ , rx∗ cos ( phi )+20, ’YData ’ , rx∗ s i n ( phi ) )
534 s e t ( c i r cy , ’XData ’ , ry∗ cos ( phi ) , ’YData ’ , ry∗ s i n ( phi ) )
535 s e t ( c i r c z , ’XData ’ , r z ∗ cos ( phi )−20, ’YData ’ , r z ∗ s i n ( phi ) )
536
537 %se t funkt i one r som uppdaterar k lotpunktens l’age
538 %samt i n t e r a k t i o n s ob j e k t ( klotpunkt i plan ) och skuggb i l d e r
539
540 s e t ( bxyz , ’XData ’ , [ ( b (1 )−20) b (3 ) b (2 ) +20] , ’YData ’ , [ b (2 ) b (1 ) b
(3 ) ] ) ;
541 s e t (u , ’XData ’ ,b (1 )+m∗0 .35 , ’YData ’ ,b (2 )+n ∗0 .35 , ’ ZData ’ ,b (3 )+o
∗0 . 35 ) ;
542 s e t ( uxyz , ’XData ’ , [ b (1 ) +0.35∗m;0 . 3 5∗m;0 . 3 5∗m] , ’YData ’ , [ 0 . 3 5 ∗ n ; b
(2 ) +0.35∗n ; 0 . 3 5∗ n ] , ’ ZData ’ , [ 0 . 3 5 ∗ o ; 0 . 3 5∗ o ; b (3 ) +0.35∗o ] )
543
544
545
546 %Spinore r samt dess ’ skuggb i lder ’ och p r o j e k t i on e r uppdateras
547
548 i f ( shadeon==1)
549
550 [ Vt ,F]= p l a t on i c_so l i d (5 , r ) ;
551 Vt=[Vt ( : , 1 )+b1 (1 ) ,Vt ( : , 2 ) ,Vt ( : , 3 ) ; Vt ( : , 1 ) ,Vt ( : , 2 )+b1 (2) ,Vt ( : , 3 )
; Vt ( : , 1 ) ,Vt ( : , 2 ) ,Vt ( : , 3 )+b1 (3) ] ;
552 s e t ( u1xyz , ’ Faces ’ , [F ;F+20;F+20] , ’ Ve r t i c e s ’ ,Vt) ;
553 [ Vt ,F]= p l a t on i c_so l i d (2 , r ) ;
554 Vt=[Vt ( : , 1 )+b2 (1 ) ,Vt ( : , 2 ) ,Vt ( : , 3 ) ; Vt ( : , 1 ) ,Vt ( : , 2 )+b2 (2) ,Vt ( : , 3 )
; Vt ( : , 1 ) ,Vt ( : , 2 ) ,Vt ( : , 3 )+b2 (3) ] ;
555 s e t ( u2xyz , ’ Faces ’ , [F ;F+8;F+16] , ’ Ve r t i c e s ’ ,Vt) ;
556 [ Vt ,F]= p l a t on i c_so l i d (3 , r ) ;
557 Vt=[Vt ( : , 1 )+b3 (1 ) ,Vt ( : , 2 ) ,Vt ( : , 3 ) ; Vt ( : , 1 ) ,Vt ( : , 2 )+b3 (2) ,Vt ( : , 3 )
; Vt ( : , 1 ) ,Vt ( : , 2 ) ,Vt ( : , 3 )+b3 (3) ] ;
558 s e t ( u3xyz , ’ Faces ’ , [F ;F+6;F+12] , ’ Ve r t i c e s ’ ,Vt) ;
559 [ Vt ,F]= p l a t on i c_so l i d (4 , r ) ;
560 Vt=[Vt ( : , 1 )+b4 (1 ) ,Vt ( : , 2 ) ,Vt ( : , 3 ) ; Vt ( : , 1 ) ,Vt ( : , 2 )+b4 (2) ,Vt ( : , 3 )
; Vt ( : , 1 ) ,Vt ( : , 2 ) ,Vt ( : , 3 )+b4 (3) ] ;
56
561 s e t ( u4xyz , ’ Faces ’ , [F ;F+12;F+24] , ’ Ve r t i c e s ’ ,Vt) ;
562
563 end
564
565 i f ( p ro j e c t i onon==1)
566 s e t ( u12xyz , ’ Faces ’ , [ Fdodeca ; Fdodeca+12] , ’ Ve r t i c e s ’ , [ dodecax+b1
(1) dodecay+b1 (2 ) −d3 ; d3 dodecax+b1 (2) dodecay+b1 (3 ) ] ) ;
567 s e t ( u22xyz , ’ Faces ’ , [ 1 2 3 4 ;5 6 7 8 ] , ’ Ve r t i c e s ’ , [ squarex+b2 (1)
squarey+b2 (2) −d1 ; d1 squarex+b2 (2) squarey+b3 (3 ) ] ) ;
568 s e t ( u32xyz , ’ Faces ’ , [ 1 2 3 4 ;5 6 7 8 ] , ’ Ve r t i c e s ’ , [ rhombusx+b3 (1)
rhombusy+b3 (2) −d4 ; d4 rhombusx+b3 (2) rhombusy+b3 (3 ) ] ) ;
569 s e t ( u42xyz , ’ Faces ’ , [ 1 2 3 4 5 6 ;7 8 9 10 11 12 ] , ’ Ve r t i c e s ’ , [
i c o s ax+b4 (1) i c o say+b4 (2) −d2 ; d2 i co sax+b4 (2) i c o say+b4 (3)
] ) ;
570
571 end
572
573
574 [ Vt ,F]= p l a t on i c_so l i d (5 , r ) ;
575 Vt=[Vt ( : , 1 )+b1 (1 ) ,Vt ( : , 2 )+b1 (2) ,Vt ( : , 3 )+b1 (3 ) ] ;
576 s e t (u1 , ’ Faces ’ ,F , ’ Ve r t i c e s ’ ,Vt) ;
577 [ Vt ,F]= p l a t on i c_so l i d (2 , r ) ;
578 Vt=[Vt ( : , 1 )+b2 (1 ) ,Vt ( : , 2 )+b2 (2) ,Vt ( : , 3 )+b2 (3 ) ] ;
579 s e t (u2 , ’ Faces ’ ,F , ’ Ve r t i c e s ’ ,Vt) ;
580 [ Vt ,F]= p l a t on i c_so l i d (3 , r ) ;
581 Vt=[Vt ( : , 1 )+b3 (1 ) ,Vt ( : , 2 )+b3 (2) ,Vt ( : , 3 )+b3 (3 ) ] ;
582 s e t (u3 , ’ Faces ’ ,F , ’ Ve r t i c e s ’ ,Vt) ;
583 [ Vt ,F]= p l a t on i c_so l i d (4 , r ) ;
584 Vt=[Vt ( : , 1 )+b4 (1 ) ,Vt ( : , 2 )+b4 (2) ,Vt ( : , 3 )+b4 (3 ) ] ;
585 s e t (u4 , ’ Faces ’ ,F , ’ Ve r t i c e s ’ ,Vt) ;
586
587 s e t ( vecx , ’ udata ’ , [ x (1 ) 0 . 5 ] , ’ vdata ’ , [ x (2 ) 0 ] , ’ wdata ’ , [ x (3 ) 0 ] ) ;
588 s e t ( vecy , ’ udata ’ , [ y (1 ) 0 ] , ’ vdata ’ , [ y (2 ) 0 . 5 ] , ’ wdata ’ , [ y (3 ) 0 ] ) ;
589 s e t ( vecz , ’ udata ’ , [ z (1 ) 0 ] , ’ vdata ’ , [ z (2 ) 0 ] , ’ wdata ’ , [ z (3 ) 0 . 5 ] ) ;
590 end
591 p2=p ;
592 end
593
594 end
57