Effektiv implementering av Helmholtz ekvation med applikationer inom medicinsk bildbehandling

Abstract

I denna studie utforskar och analyserar vi olika numeriska metoder för att lösa Helmholtz ekvation. Detta är av betydelse för att förstå det elektriska fältet i kroppen, vilket kan vara värdefullt för att identifiera cancertumörer. Vi jämför konvergensen, effektiviteten och tillförlitligheten av 13 lösare från paketet PETSc, vilka använder olika förkonditionerare för att lösa ekvationen. Vi använder till att börja med en Gaussfördelad dielektrisk funktion och kräver att lösningen ska satisfiera antingen Dirichlets-, eller Neumanns homogena randvillkor. Vidare studerar vi även konvergensen av lösningen av Helmholtz ekvation under Neumanns homogena randvillkor för dielektrisk data tagen från ISIC dataset. Resultaten från vår studie visar att vilken förkonditionerare vi väljer gör stor skillnad för resultatet av beräkningarna. Den som givit mest stabilt och tillförlitligt resultat är LU, vilket är en direkt lösare (i motsats till många av de andra som löser ekvationen iterativt). Denna förkonditionerare genererar små relativa fel och en jämförelsevis hög och stabil konvergensordning. Den är även mest effektiv hastighetsmässigt, speciellt när vi använder finare nätstorlek i vår diskretisering av området, då detta genererar stora datamängder. Vårt resultat antyder följaktligen att LU kan vara ett bra val av förkonditionerare i vidare forskning inom området. Våra resultat visar även att Helmholtz ekvation kan lösas även med diskret dielektrisk data tagen från verkliga värden. Helmholtz ekvation är alltså lämplig att fortsätta undersökas i vidare studier med syfte att effektivisera diagnosticeringen av cancer.